QCD 型の理論

量子電磁力学（これはAbel的なゲージ場理論と呼ばれる）の素直な非Abel 的な群への一般化であるQCD（Quantum Chromodynamics、量子色力学) と同じ形をした理論の構成の説明から始めたい。この理論のLagrangianは L= ¯ψ(iD̸ −m)ψ+LY M (6.22) のように書かれる。ここでのDirac^{行列の規約は、}γ^{0 行列はエルミート的で} 空間的な成分γ^kは反エルミート的で、空間の計量をg^µν = (1,−1,−1,−1) として

γ^µγ^ν +γ^νγ^µ = 2g^µν (6.23) が成立し、

γ₅ = iγ⁰γ¹γ²γ³ = γ₅^†, (γ₅)² = 1 (6.24) を満たすγ₅はエルミート的である。共変微分D_µは

̸

D ≡γ^µD_µ = γ^µ(∂_µ−^∑

a

igA^a_µT^a) ≡ γ^µ(∂_µ−igA_µ) (6.25) のようには非Abel的な群の生成演算子T^aを用いて定義される。非Abel的 なゲージ場は生成演算子の数と同じ数の成分を持つ。ただし、今後は同じ 添え字が2回現れるときには、断らない限りその添え字について和をとる

ものとする。あるいは最後の表式のようにA_µ = A^a_µT^aと書かれる場合も多 い。ゲージ場の場の強さのテンソルF_µν^{a （電場}E⃗ ^と磁場B⃗ ^{の一般化）は}

[Dµ, Dν] = −ig(∂µA^a_ν −∂νA^a_µ +gf^abcA^b_µA^c_ν)T^a ≡ −igFµν (6.26) で定義される。L^{Y M は非}Abel的なゲージ場（Yang-Mills場と呼ばれる）

に対して

L^{Y M} = −1 4

∑ µ,ν,a

F_µν^a F^aµν

= −1

4(∂µA^a_ν −∂νA^a_µ+ gf^abcA^b_µA^c_ν)² (6.27)

であり、Maxwellの電磁場理論の作用の一般化である。

ここで、非Abel的な群の復習をしておく。一般のコンパクトで連結な 群は単純群とAbel的な群の直積に分解される。単純な非Abel的な群の生 成演算子T^aはエルミート的な行列で与えられ、

[T^a, T^b] = T^aT^b −T^bT^a = if^abcT^c (6.28) の関係を満たす。添え字a, b, cに関して完全反対称なf^abcは構造定数

（structure constant) と呼ばれる。ただし、生成演算子の規格化は trT^aT^b = 1

2δ_ab (6.29)

で与えられるものとする。具体的には、角運動量でもおなじみの群SU(2) の場合には、生成演算子（の基本表現）は次の3個のPauli行列を用いた式 で与えられ

T¹ = 1 2



 0 1 1 0



, T² = 1 2



 0 −i i 0



, T³ = 1 2



 1 0 0 −1



 (6.30)

代数関係

[T^a, T^b] = iϵ^abcT^c (6.31) を満たす。ただし、ϵ^abcは3個の添え字に関して完全反対称なϵ¹²³ = 1を満 たすシンボルである。

群SU(3)^{の場合には、}Gell-Mann^{行列と呼ばれる}Pauli^行列を3^行3^列 に一般化した8^個の{λ^a, a= 1 ∼ 8}^を用いて

T^a = 1

2λ^a, a = 1∼ 8 (6.32)

で与えられる。一般に、ｎ行ｎ列で行列式が１のユニタリーな行列が作る 群SU(n)は、n² − 1個の生成演算子で定義され、したがってゲージ場も n² −1個現れる。この講義ではSU(n)型の群のみを考えることにする。

さて、上記の経路積分に現われるDirac^場は、群SU(2)^{の場合には詳し} く書くと

ψ(x) =



 ψ₁(x) ψ2(x)



, (6.33)

のように、通常の4成分のDirac場ψ₁(x), ψ₂(x)を二つ含んでいる。した がって、Dirac行列も通常の4行4列のγ行列を対角線に沿って2個並べた 8^行8列の行列で表示するのが正しいが、上記のように略記しても誤解は ないので、通常は上記のように書かれる。現実の強い相互作用を記述する QCD^{のようにゲージ群が}SU(3)^{の場合には}3^個のDirac^{場を一つの組にし} て考えることになる。

例えば、ゲージ群がSU(2)の場合を考えると、群SU(2)に値を持つ任 意の関数はω^a(x)を実の関数として

g(x) = exp[i

∑3 a=1

ω^a(x)T^a] ∈ SU(2) (6.34) のように、上記のPauli行列で表わした群SU(2)の生成演算子T^a を用い て書くことができる。このとき、非Abel的な（局所）ゲージ変換と呼ば れるものは

ψ(x) →ψ(x)^′ = g(x)ψ(x), ψ(x)¯ →ψ¯^′ = ¯ψ(x)g(x)^† (6.35) A_µ(x) ≡ ^∑

a

A_µ(x)^aT^a → A^′_µ(x) = g(x)A_µ(x)g^†(x) + 1

ig(∂_µg(x))g^†(x) という置き換えで定義される。すなわち、ゲージ変換とは物質場ψ(x)^に関 しては時空間の各点において（すなわち局所的な）g(x)で指定される内部 自由度の空間内の回転に対応し、ゲージ場A_µに関しては回転（第一項）と 併進（第2項）の組み合わせで表現される。このときは共変微分D_µは

D^′_µ = ∂_µ −igA^′_µ(x) =g(x)(∂_µ−igA_µ(x))g^†(x) =g(x)D_µg^†(x) (6.36) のように変換することが確かめられ、したがってD_µψ(x)は

D^′_µψ^′(x) = (∂_µ−igA^′_µ(x))ψ^′(x) = g(x)(∂_µ−igA_µ(x))ψ(x) = g(x)D_µψ(x) (6.37)

のように、場の変数ψ(x)と同じゲージ変換則を持ち、この理由でD_µは共 変微分(covariant derivative)と呼ばれる。また場の強さのテンソルは共 変微分の変換則から

[D_µ^′, D^′_ν] = −igF_µν^′ = g(x)[D_µ, D_ν]g^†(x) = g(x) (−igF_µν)g^†(x) (6.38) のように変換される。

したがって、g(x)g^†(x) = 1に注意すると上記のLagrangianはゲージ変 換に関して

L = ¯ψ(iD̸ −m)ψ− 1

4F_µν^a F^aµν

= ¯ψ(iD̸ −m)ψ − 1

2trFµνF^µν

= ¯ψ^′(iD̸ ^′ −m)ψ^′ − 1

2trF_µν^′ F^′µν (6.39) のように形を変えない、すなわちゲージ不変であることがわかる。ただし trT^aT^b = (1/2)δ^abを用いた。ここで重要なことは、質量項ψmψ¯ もゲージ 不変なことである。関数g(x)自身もゲージ変換と呼ばれることが多い。

非アーベル的なゲージ理論の量子化は、経路積分で

∫

dµexp[i

¯ h

∫

d⁴xL^{ef f}] (6.40)

で与えられる。ここで、有効Lagrangian L^{ef f は} Lef f = ψ(i¯ D̸ −m)ψ− 1

4F_µν^a F^aµν +B^a(x)∂^µA^a_µ

−i¯c^a(x)∂^µ[∂_µc^a(x) +gf^abcA^b_µ(x)c^c(x)] (6.41) で定義され、経路積分の測度は

dµ= Dψ¯DψDA^a_µDB^aD¯c^aDc^a (6.42) で定義される。ただし、ここではLorentz^{（あるいは}Landau)^{ゲージと呼} ばれるゲージ条件

∂^µA^a_µ(x) = 0 (6.43)

を採用した。スカラー場B^a(x)は上記のゲージ条件を定義するための補助 場であり、フェルミ粒子的なスカラー場c^a(x)はFaddeev-Popovのゴー スト場であり¯c^a(x)は反ゴースト場である。

6.2 カイラルなゲージ理論

Weinberg-Salam理論と呼ばれる弱い相互作用と電磁相互作用の統一理論

は、カイラルなゲージ群あるいはカイラルなゲージ場を用いて構成される。

現実的な理論で重要なのは群SU(2)Lなので、この構成の概要を説明した

い。群SU(2)の生成演算子を用いて、カイラルな群の生成演算子を

T_L^a ≡ T^a(1−γ₅

2 ) (6.44)

で定義する。ここで、γ₅はエルミートなDirac行列で (γ5)² = 1,

{γ₅, γ^µ}+ = γ₅γ^µ +γ^µγ₅ = 0 (6.45) の関係を満たす。したがって、(¹⁻₂^γ5)は

(1−γ₅

2 )(1−γ₅

2 ) = (1−γ₅

2 ) (6.46)

の関係を満たし、射影演算子を与える。この射影演算子の性質を用いると、

上の(6.44)で定義したT_L^aは

[T_L^a, T_L^b] = iϵ^abcT_L^c (6.47) の関係を満たすことが示される。このT_L^aで生成されるゲージ群がSU(2)_L である。

カイラルなゲージ場とDirac粒子の結合は L = ψi¯ D(̸ 1−γ₅

2 )ψ − 1

4F_µν^a F^aµν

= ψiγ¯ ^µ(∂_µ−igA^a_µT_L^a)(1−γ₅

2 )ψ − 1

4F_µν^a F^aµν

= ψ¯Liγ^µ(∂µ−igA^a_µT_L^a)ψL − 1

4F_µν^a F^aµν (6.48) で定義され、このLagrangainはゲージ変換のパラメターを

g_L(x) = exp[iω^a(x)T_L^a] (6.49) で定義するとき

ψ_L(x) →ψ_L(x)^′ = g_L(x)ψ_L(x), ψ¯_L(x) → ψ¯^′_L = ¯ψ_L(x)g_R(x)^† (6.50) Aµ(x) ≡ ^∑

a

Aµ(x)^aT_L^a → A^′_µ(x) = gL(x)Aµ(x)g_L^†(x) + 1

ig(∂µgL(x))g_L^†(x)

̸

D_L = γ^µ(∂_µ−igA_µ(x))(1−γ₅

2 ) ↛D^′_L = g_R(x)D̸ _Lg_L^†(x) (6.51)