Perron‑ Fr obenius 作用素による相関関数の評価 - 値系列の相関関数の厳密評価

‑ 一

チェビシェフ 2 値系列の相関関数の厳密評価

4.3 Perron‑ Fr obenius 作用素による相関関数の評価

式(3.10)で定義された P‑F作用素 P_T は重要な性質

か(む)引⁽^.^r⁾^d^.^r= か (T ( ，1' ) ) h ( x ) d.1 ( 4.4) をもつので，後で示されるように相関関数の空間平均値の評価に非常に有効で、ある.

C(:c，f;ムr)= (.1'ーヤ

)

) ( T( (ヱ)一 (，r)) (4.5 )

とすると，(C(e;X，l'))は，通常の実数値系列の自己相関関数を表す.テント写像やロジスティック写像，およびチェピシェフ写像等の良く知られている幾つかの写像については，その自己相関関数 (c(e;x，x))は既に評価されている[18]，しかしながら，一般の写像の解析的な不変密度を得ることは困難であるので，ガレルキン(Galerkin)法"に基づいた ACI測度の近似アルゴリズムが提案されている[22，][23]，

一方，近年，実数値の擬似乱数生成器のランダム性の検定や[12]， SS通信や暗号通信などの工学的応用のために，実数値のカオス軌道から 2値系列を生成しようとする試みが幾っか見られる[27]，[28]，既に第3章において，実数値系列を 2値系列に変換する方法を与えた.

その2値系列の相関関数の空間平均値についての厳密評価を P‑F作用素を用いて行なう.

チェピシェフ 2進系列 {t1c(T^η(x) )}之。と {1tc'(Tⁿ(エ))}之。との聞の相関関数，およびチェピシェフピット系列 {bi ( Tn

( X ) )}立。と{句(Tn(.r))}ヱ。との間の相関関数は，それぞれ，

(C(

仇ん))

( l

¹^t^c^(X)‑^伊^c⁾⁾⁽¹^t^c^'⁽^Te⁽^x⁾⁾^‑

^(ん)

⁾^j^*⁽^;^T⁾^d^x ⁽⁴^.⁶⁾

(C(山 j))

= か

い)

一(ん)

) ( bj (〆(x))

一(め))内)伽

(4.7)

で与えられる.ここで，PTの性質(式(4.4))を用いると，

(C(

仇ん ) ) こがれい)

‑伊c)

)内)}

(削)‑

(ん)

)dx^ぅ ⁽4.8) (c(e;

丸山

1

^P^;^{⁽^bⁱ⁽^x⁾^ー ⁽^bⁱ⁾⁾^j^"⁽

^り}

^{(片付)一作}^j⁾⁾^d^x ⁽⁴^.⁹⁾

が得られる.

次に重要な定理を与える.

[定理]T'( c)

ヂ

0^{であるよつな} rεI^{に対して，}

PT {

州

が成り立つ.ただし，

である.

[証明]T(X)の導関数は，

(Oc) = l cos‑i c

π ( 4.11)

(4.12)

戸(x)=

よ千州

^c^o^s^‑¹x) (4.13)

¥/ 1 ‑:r<'

である.また，チェピシェフ写像ァの下での zの m 番目の逆像(図 4.1参照)は，

o <

<

k ‑1 (4.14) で与えられる.式 (3.10)を用いると，

PT {(Bc(x) ‑

( ん

))f*(x)}=

~f

*(x) ど(川(:r)) 。

^‑

^(削)

⁽⁴^日)

が得られるので， _~B c (Ym ( x ) ) ，すなわち，領域

u

三cにおける Ymの個数を考えなければならない . その個数が

X = T ( C )

を境界に変化することは容易にわかる.ここで，

N

を

Y N (

T( C))

=

Cを満足する整数とすると， !v^T は式 (4.14)にZ^二 T(C)を代入することによって，

のように得られる.

か l

N =

二cos‑1C ‑ ~ ^COS‑¹⁽⁽̲l)N

T ( C ) )

7r (4.16)

(i) T'( C)

>

0を満たすような cに対して，

N

が偶数になることは，図 4.1から明らかである.この場合，式(4.16)は

̲N

= ト

^OS‑lC

ート

^OS‑l^T⁽^C) ⁽⁴^.¹⁷⁾

となる.図 4.2(a)から，

L

^B^c⁽^Y^m⁽^x⁾⁾⁼^N

+

BT(c)(x) ⁽⁴^.¹⁸⁾

が得られ，さらに，式 (4.11)および式 (4.17)を用いると，

乞

Bc(Ym(x))=ん(Bc)‑(BT(

吋 )十九)

(1') ( 4.19)

と表される.従って，

乞

(Bc(Ym

( . r ) )

一(Bc))

二九 ) ( . r ) ‑

(BT(

け

) (4.20 )

T礼

となる.

(ii) T' (c)^く Oを満たすような cに対しては，図 4.1から N は偶数となる.この場合，式 (4.16)は

二三

cos‑lc‑ lπ(‑cos‑¹T(C))

7r 7r

となり，また，図 4.2(b)から (i)と同様にして

乞

Bc ( Ym ( x ) ) = N

+

1 ‑B T( C ) ( :r )

二 k( B c)

+

(B T( c)) ‑B T( c) ( X )

が得られる.よって，

玄(

B c (Ym ( x )) ‑(B c)) = ‑B T( c) ( x)

+

(B T(

け

)

となる.

ゆえに (i)および(ii)から，式(4.10)を得る.(証明終)

(1‑.21 )

( 4.22) (4.23)

( 4.24)

[Remark 1J PT{(Bc(x)一(Bc))f*(x)}の評価は，領域

u

三cにおける逆像 Ym(:r)の個数の数え上げの問題に帰着する.

。

^Y

図 4.1:チェピシェフ写像における zの逆像

τ(c)

τ(c) X

v d

C (a)

y

tD r'

F 4︑︑

図 4.2:(a)

， ' (

^c⁾

>

0の場合， (b)

， '

従って，定理より，

P 巧刷印f汽何川~れ仰{仇(川(伊仇⁸0孔C^c

が得られる.ただし，

( Tf

)' (.T)

= ト t 壬

^∞

^州

=三 L 入

^τ^?^川^T

νi 一 1~~^ん

である.これを，式(4.8)に適用することにより，次の系が得られる.

(4.26) ( 4.27)

[系 1]次数 kのチェピシェフ 2進系列の相関関数は， T'( C)ヂ0であるような cεIに対して

( c ( ; e

8 c

，

8 c' ))

= か ( (

^T^f⁾^'⁽^c⁾⁾⁽^C⁽⁰^;⁸^T^e⁽^c⁾

^ん) ⁾

のように評価される.ここで，仏bεIに対して，

(C(O; 8α，8_b)) = (8max[a，bj)一(8α)(8_b) である.

[Remark 2] T'( c) = 0の時， PT{8_c(x)f^収(x)}は定数となるので，

( c ( e ;

8 c， 8 c' ))

=

(C (0; 8 c ， 8 c' )

) 九。

が得られる.よって，式 (4.28)は，任意の cεIについて成り立つ.

次に，チェピシェフピット系列の相関関数

似川

( 4.28)

(4.29 )

( 4.30)

について考える . 区聞が 1=

ト

1，1]であることから， c三0に対して，えい)および(むは，それぞれ，

。 ^c ⁽ ^x ⁾ ⁼

⁸

^c ⁽

¹^'⁾

⁺

¹^‑⁸^‑

c ( x )

， (8

c ) =

c ) +

1 ‑(8‑

c )

( 4.32) (4.33 )

と表せる.従って，式 (4.31)は，

(c(e; bi， bj)) ニ

E

^Z ⁽^‑¹⁾¹

^吋

⁽^C⁽^{げゾ会 )}⁾^‑⁽^c⁽

^叫

一(c(げ

‑ t 作)) +

(C(

: c ) ( ̲μ‑

^去)⁾^} ⁽⁴^.³^c^l⁾

と書き直すことが出来る.従って，次の系を得る.

[系2]次数んのチェピシェフピット系列の相関関数は，

似

仰附

C(印何(げ伏

r h

^{仇川 ;}^沖^九九b久九いⁱ

，

け川

⁾ ⁾ ^ド ⁼ 占 E z (

^一^‑1

^戸

⁾^川+^T

(

トい

^s^州⁽^中^附⁽⁽

^μ

^伶^げ^ア⁽^什^〆^E^今げ)^川^州^川^'^'⁽^ふ^か^か⁾^リ^川⁾⁽

⁽ ^例仰州 ^C ^C

^{仰州}

⁽

⁽^仰^似

^O ^伐 ^州;

⁾⁽^仇^T^T

一《州中州川(7〆什内ゲtり川附げ)州'川f代(一五会かか机)リ以川)(川(代

例

(cc印C

仰

((

附

ゆ似OO仇

M

叫州州;;

ん

(8仇わ())TT〆ペ

← ( ト

ベ

(

+

^{匂削 )}^リ⁾一 (C(O; ()Te( す 9 一会)))} (4.35) のように評価される.

以上，チェピシェフ写像より得られる 2値系列の相関関数の空間平均値を P‑F作用素に基づいて評価したが，他の写像についても同様な評価が可能で、あることを付記しておく.

4 . 3 . 1 数値例

本節では，チェピシェフビット系列の相関関数について，幾つか数値例を示す.まず，

山一T

Pν

7hU

AY七Z T C

N Z

同

7 n υ 一一

ムu

qb 行

司i

c υ

(4.36)

とおしすると，ISr(xぅm;b_iうん)1は第 tピットのチェピシェフピット系列のパワースペクトルを表す.図 4.3は，ある初期値 zから得られる周期

T =

256の系列のパワースペクトルの例を示したものである .Sr(x， m; b_iうん )⁽^あるいは ^C^r(X，¹^η;b_i， b_i)) は確率変数であるので，かなり大きく揺らいでいる.従って，そのようなカオスの振舞いの統計的性質を調べるためには空間平均法"を用いるのが有効である.

チェビシェフ 2値系列の相関関数の厳密評価第 4章

ε

コ﹂

ち ωω﹄ω﹀﹀O立丘

0.5

。 n o r m a l i z e d f r e q u e n c y

( a)

ε

コ﹄

ち o a ω

﹄φ﹀﹀o a

0.5

。 n o r m a l i z e d f r e q u e n c y

︑11/

噌hu/lk

図4.3:チェピシェフピット系列のパワースペクトル

I S T ( X ，

b

， b

i)¹

( k

= 2

，

T = 256

，

i = 2). (a)x=O.3， (b)x=O.7

次に，

T‑l

(S( nlヲbi，bj)) =

乞

(C((; b

i ぅ

^bj)⁾^e-{~-ヂ ⁽^‑¹^.³⁷⁾

T‑l

ST，

L (

爪 (4.38 )

とおくと，I(S(m" bi， bj))1および IST，^L⁽ⁿ^l^ぅb_i，bj) Iは，それぞれパワースペクトル (あるいはクロススペクトル)の空間平均値および経験値を示す . 図 4.4には T = 256および L = 300に対して，ピット番号やチェピシェフ写像の次数を幾っか変えた時の，パワースペクトルの空間平均値および経験値の比較を示しである.同様に，図 4.5にはクロススペクトルの場合の結果を示す.ここで，経験値を計算する際には， 300個の初期値

{ r .

(r)}~~Ol は

x(r)

=

0.003 x r， γ二 l、2，.・'，300 ( 4.39) のように選んだ.もちろん，これらの初期値は任意に選んでも良い.経験値は，初期値の集合 {x(r)}~~Ol に依存し，ある程度の揺らぎをもっ.前述したように，その揺らぎは比較的小さく，むしろ，経験値の平均的振舞いが重要である.図 4.4および図 4.5から，空間平均値と経験値が良く一致していることがわかる.このことは，空間平均法により，ここで取り扱っているような確率変数の統計的性質を厳密に評価することが可能であることを示している.さらに，ピット番号およびチェピシェフ写像の次数を大きくした時に，パワースペクトルは一定値に，クロススペクトルは Oに近づいていることがわかる.

2 4 8

0.5 0.5 0.5

the開wpr刷ln1C国剖lー‑ーm th@e斤opremIleeaall‑‑‑‑‑‑

2 l i l y ^へ ^l

^{叫戸} ^{・削川」}

0.5 0.5 0.5

n町斤祖IIzedfl9qu9ncy n田作田IIzedfl9qu9ncy n町庁国IIz凶行問U9ncy

0.5 0.5 0.5

I ! ンご二

^t^h^e^e^w^o^p^r^e^l^t^Hⁱ^c^田^all‑^一^‑^一^‑ ^t^h^e^e^π^o^p^r^e^l^r^t^b^田¹^a^l^l^‑^‑^‑^‑^‑

0.5 0.5 0.5

n官庁国Iiz凶frequ9ncy norrr唱IIzedfr9qu9ncy n四malizedflequ9ncy

0.5 0.5 0.5

th@e門opreitnbeaall‑‑ーーーー 1hee叩orel1rぬ1四all‑一‑一‑ 1he@nopreitril回回1!‑一一‑

8 _v _へ._._._._._._._._._._._._._._. ^‑^'^̲^，^.^.^{A ̲ I}

!

⁰^.^{2 5 L}^鍾 ^A ^{此 .}ⁿ

0.5 0.5 0.5

n町庁国IIz凶fr同U9ncy n町内閣IIz凶freqυ9ncy n四maHz

・

^df^r^e^q^u^eⁿ^c^y

0.5 0.5 0.5

山@田wpreitfl出c剖alー‑ー‑ theewopreltr出baall‑‑一‑‑ー th@ewOp『副iri巴CEall‑‑‑‑‑‑

l O . 2 5 Lゐ

山川色、~ ^凸

0.5 0.5 0.5

n町W国IIz凶frequency n町門官lizedfrequency n官庁唱Ilz

・

^df^r^伺^uency

図 4 .4:チェピシェフビット系列のパワースペクトルの空間平均値 I(S( 1ì~ ム，b_i))

I

および経験値 IST，L(m

，

bi)l. (T = 256， L = 300)

ドキュメント内カオス2値系列とその相関特性の評価に関する研究 (ページ 50-60)

Perron‑ Fr obenius 作用素による相関関数の評価

‑ 一

チェビシェフ 2 値系列の相関関数の厳密評価

4.3 Perron‑ Fr obenius 作用素による相関関数の評価

)

仇ん))

( l

(ん)

= か

一(ん)

一(め))内)伽

仇 ん ) ) こ が れ い)

)内)}

(ん)

丸 山

1

り}

ヂ

州

よ 千 州

o <

<

( ん

~f

*(x) ど(川(:r)) 。

(削)

u

X = T ( C )

N

Y N (

=

N =

T ( C ) )

>

N

= ト

ー ト

L

+

乞

吋 )十九)

乞

( . r ) )

二 九 ) ( . r ) ‑

け

二 三

乞

+

+

玄(

+

け

u

。

。

Y

v d

y

， ' (

>

， '

= ト t 壬

∞

州

=三 L 入

( c ( ; e

，

= か ( (

ん) )

( c ( e ;

=

) 九 。

似 川

ト

。 c ( x ) =

c (

+

c ( x )

c ) =

c ) +

^(ん)

仇ん ) ) こがれい)

丸山

^り}

よ千州

^(削)

ート

二九 ) ( . r ) ‑

二三

^Y

^∞

^州

^ん) ⁾

) 九。

似川

。 ^c ⁽ ^x ⁾ ⁼

^c ⁽

⁺

^吋

^叫

け川

⁾ ⁾ ^ド ⁼ 占 E z (

^戸

トい

^μ

⁽ ^例仰州 ^C ^C

⁽

^O ^伐 ^州;

2 l i l y ^へ ^l

I ! ンご二