・・
?允丁 吋
0一→Q。」㌧片」㌧R。一→0
is commutative and−we have
ψプ・δ月。（dゴ）・・ん・δ月。（ψチ）＝δNん・（dゴ）＝δW（ηゴ）＝δWψ（mゴ）＝ψδM（mゴ）
and hence
δ〃（mゴ）一∫・δ月。（dゴ）一ΣW（〜1）
｛∈∫
for someα加∈B．De丘ne a modu1e d−erivationδ昂。n片byδ片（e4）＝δρ。（θ4）
f・・1∈∫・ndδ・。（dゴ）＝δ・。（dゴ）十Σ｛∈∫α棉f・・ゴ∈J・Si…δQ。（・1）：δ・。（・1）
for each乞∈∫，the B−homomorphismψo：Qo→片is aδ一homomorphism．
We have
仙（ξ㎞㌻）
一心（ξ㎏）・ξ1（！）・ゴ・讐（・））
一Σδ（・ゴ）dゴ十Σ・ゴψ・δ・。（♂ゴ）
ゴ∈J ゴ∈ノ
一ξ舳・ξ小（・ゴ）・一
一ξ1（！）／・ξ州一・伽（恥・ξ刈
32
CHAPTER2．MODσLE DER工VAT工ONS
and henceψo：片→Ro is aδ一homomorphism．We have
商（ξ㎏・ξ一
一九1 ｫ㎏）・／ル・ゴ）
一肌（ξ㎏）・九（ξ帆・ξ／軌））
一価 i刈・看／（1）叫ψ一（・ゴ）
一1舳 iξ㎏）・ξ／（1）・ゴ・ン九（舳）・一
一1・
ﾐ㎏）・ξ／（／）叫小・（／）・ξw（／））
一1・允
iξ㎞）・ξ／（！）叫ψ（・ゴ）
一1・
ﾐ㎏）・1・（ξ戦）
一1・
ﾐ∴・一
and−hence∫o：片→M is aδ一homomorphism．The other片and modu1e
d−erivations on the片are constructed in a simi1ar fashion by rep1acing L，M and W by Ker go，Ker∫o and Kerん。 etc． □
lLemma2．4．6．〃M6θα伽伽佃ge雌m亡e6（B，δ）一m0 θ．舳〃08θ伽亡B づ8αη0e伽r乞㎝r伽g．τんθ肌伽ree挑左3α伽θヅe501州㎝
P：・・一＞＾一→凡＿r→…一→P1一→昂一→0
舳わ洗ατeαCん片→片一1㎝d昂→Mαグeδ一ん0mOm0ψ45m8．・
2．4．THE HαM OLOG∫CAL PROPERTY OFδ一M ODσLES
33 ProoヅWe on1y give a way of cons廿ucting片and a modu1e derivation on片、SupPose that M＝Σ；＝1B肌fo工m1∈M・Le㍑：max｛μM（m1）；乞＝
1，．．．，r｝（for七he deinition ofレ〃，see§2．2）．We prove the assertion by induction on4．First we consider the case where4：0．Thenδ〃（m4）＝0for a11づ．Let片＝㊥；＝1Bε乞be a free B−mod−u1e with a free basis｛e1，＿，e。｝，
de丘ne a B−modu1e homomorphism∫：片→M−by∫（e｛）：mパand d−e丘ne a mod−u1e derivationδp．on片byδp。（e包）＝0．Then we have
1巾・4）一1（さ1（・4）θ壱）一言1（小4
−1・
iξ1＋・仏ゼ）・
Thus∫is a surjectiveδ一homomorphism．
Next we consider七he genera1case．We have a natura1exact sequence of δ＿modu1es
0→BM。→M→〃／BM。一合0，
Then both BMo and M／BMo are丘nite1y generated。（B，δ）一mod−u1e by the assumption．By induction hypothesis，there exist free（B，δ）一mod−u1es Qo and月。 with surjectiveδ一h−o皿。morphisms go：ρo→BM；o andん。：五〇→
M．^BMo．Lemma2．4．5imp1ies that there exists a free（B，δ）一modu1e片with surjectiveδ一homomorphism∫o：片→M such that the fo11owing diagram is COmmutatiVe．
0一一→BMo一→M一→M／BM。一一÷0・
・・
?允／ 吋
O→ ρo 一一一→昂一一一一→一 Ro 一一一一→・0
Wenotethat Ker∫o is a丘ni七e1ygenerated（B，δ）一modu1e bytheassumption．
The other＾and modu1e derivations on the＾are constructed in a simi1ar fashion by rep1acing M by Ker∫o etc． 口
We need the next1emma toshow Proposition2．4．8．
lLemma2．4．7．〃∫：M→Wうeαδ一ん。momoψ乞8m㎝ e左工ろθα δ一mo〃θ．珊㎝ηα亡刎mZB−mo〃eん。momoザ〃5m3M一⑳B工→W⑳B工，
HomB（Z，M）→HomB（ム，N）α〃HomB（N，ム）→HomB（M，ム）αrθδ一ん。mo−
m0ヅ〃5m8．
34
CHAPTER2．M ODσLE DER工VAnONS
PηooヅFor4∈ムand m∈M，we have
δ（（∫⑱1）（m舳））二δ（∫（m）⑳4）＝δ（∫（m））舳十∫（m）⑳δ（4）
＝∫（δ（m））舳十∫（m）⑳δ（Z）＝（∫⑳1）（δ（m）舳十m⑳δ（4））
＝（∫⑳1）（δ（m舳））。
For g∈HomB（ム，M ）and−4∈Z，we have
∫δ（9）（4）＝∫（δ（9）（4））＝∫（δ（9（4））一9（δ（4）））
＝∫（δ（9（4）））一プ（9（δ（4）））＝δ（∫9（4））一∫9（δ（4））＝δ（プ9）（4）・
Forん∈HomB（N，ム）and m∈M，we have
δ（ん）∫（m）＝δ（ん）（∫（m））＝δ（ん（プ（m））一ん（δ（∫（m）））・
＝δ（ん∫（m））一δ（ん∫（m））＝δ（ん∫）（肌）．
□
The next resuit is immed−iate from Lemmas2．4．6and2．4．7．
Proposition2．4．8．工θ亡M，Wわeδ一mo仇Zθ8．舳〃08θ6んα舌B乞8αηoθ仇θれαη ザ初g㎝dM乞・α伽的9・η・m加dB−m・〃e』加ηδMαη∂δNづ〃u・θ1・・α吻
η乞伽。加枇mo∂ωθ知れりα挽。η50ηう。抗Torξ（ルグ，ノV）αηd ExtZ（ル∫，ノV）．
ProoヅTake a free reso1ution
尺：…一→＾一→凡＿1一→…一→P1一→片、一→0
as in Lemma2．4．5．Then we obtain a comp1ex
P．⑭BN：…一→片⑱BW一合片一1⑳BN一→…一→片⑳BW一→0
such that each homomorphism片⑳BW→＾＿1⑳BN is aδ一homomorphism，
Thus we can d−eine a1oca11y ni1p〇七ent mod−u1e deriva七ion on Tor身（M一，N）＝
Hη（P．⑳N）in a natura1fashion．Simi1ar1y since we obtain a comp1ex
HomB（P．，M）：0＿→HomB（片，N）＿→HomB（P1，W）＿→＿
such that each homomorphism HomB（片，W）＿→HomB（片十1，N）is aδ一 homomorphism．Thus we can de丘neムmodu1e d−erivation on Extス（M一，N）＝
∬肌（HomB（P．，W））in a natura1fashion．Since M−is丘nite1y generated over a noetherian ring B，the ＾ are丘nite1y generated over B and hence the HomB（片，N）areδ一mod−u1es．Thus Ext二（M，W）is aδ一m6du1e． □
2．4．THE HOMIOLOG工CAL PROPERTγOFδ一一M ODσLES
35We de丘ne an extension ofaδ一modu1e and give its properties．
DEFINITI0N2．4．9．Let工，N beδ一mod−u1es．A short exact sequence ofδ一
modu1es
0＿→工」∴M・」㌧N一＿→0
is denoted by（M，∫，9）once Z and N are ixed，and−ca11ed an e批θη8乞。ηof N by L We say that extensions（M，∫，g）and（M ，∫ ，g ）are isomorphic if there exists aδ一homomorphismθ：M→M一 such that the fo工Iowi皿g diagram COmmuteS：