Linking 型式

M をn次元向き付き閉多様体とする.

まず準備として, 交叉形式を復習しよう. ポアンカレ双対P.D.:Hk(N;Z)∼=H^n−k(N;Z)と する. この時, 交叉形式とは次の双線形型式で定義された

⟨•,•⟩:H_k(N;Z)×H^n−k(N;Z)−→Z, (p, q)7→P.D.⁻¹(P.D.(p)⌣P.D.(q)).

これは次の様な幾何的意味がある. つまりpをk-cycleとしqを(n−k)-cycleとし, それが二 つに横断的に交わっていたとすると, 交叉形式はその交点数の和と一致する.

次に, アーベル群P に対して, 捩れ部分群を次の様に書こう：

T P :={p∈P | ^∃a∈Z ap= 0}.

19ついでながら,歪対称的な場合を言及すると, [MH, 1章]にある通り,シンプレクティック型式ですぐ分類されやすい.その為,多くの 場合,対称的な場合を考える.

20ψを⊗Rした後, Sylvesterの慣性則により,正の固有値が全て

すると交叉形式とは, ホモロジーの捩れ部分からQ/Zに値を持つ双線形型式 L_N :T H_ℓ(N;Z)×T H_n−ℓ−1(N;Z)−→Q/Z

として定義される(次数に注意). その定義は以下の様：[x]∈T H_ℓ(N;Z)と[y]∈T H_n−ℓ−1(N;Z) を代表するようなサイクルx ∈ C_ℓ(N;Z)とy ∈ C_n−ℓ−1(N,Z)に対して, w ∈ C_n−ℓ(N;Z)を

∃s∈Zで∂w =syとなるものを取る.

L_N(x, y) := ⟨x, w⟩/s∈Q/Z.

定義から気づきたい事に, もしNとN^′がホモトピー同値のとき,L_N は一致する.

命題 8.5. この定義が, x, y, w, sの取り方によらない. さらに双線形であり, 非退化である.

Proof. まずwelldefinedと双線形を示す. 単完全系列

0→Z→Q→Q/Z→0

のボクシュタイン作用素を考えよう: B : H_k+1(N;Q/Z) → H_k(N;Z). そのB の像は, H_k(N;Z)→H_k(M;Q)の核に等しい. つまり,T H_k(N;Z)に一致し, さらに定義より

LN(x, y) =B⁻¹(x)• y,

となる. ここで•:H_k+1(N;Q/Z)⊗H_k(N;Z)→Q/Zは交叉形式とする. したがって, xのB による代表元u, u^′に対して, (u−u^′)•y= 0を示せばよい. しかし,  u−u^′がv ∈H₂(N;Q) からとするv•y= 0 (∵ y∈H_k(N;Q)の像は自明)という事実に気づけばよい.

次に非退化性を示そう。次の可換図式に気づこう：

Hk+1(N;Q/Z) ^{Poincar´e双対} //

B

Hn−k−1(N;Q/Z) ^evaluation //Hom(Hn−k−1(N),Q/Z)

制限

TorHk(N;Z) ^λˆ //Hom(TorHn−k−1(N;Q/Z)

ここでλˆはx7→L_N(x,−)という随伴写像とする. ここでλˆは全射なので, よって, 全単射で ある. よって, この同型性から, 非退化を意味する.

演習 8.6. 対称性L_N(y, x)(−1)^n(n−k)L_N(x, y)が知られている. それを示せ. 1つ計算例を出した後に, 色々な知られている性質を見ていこう:

例 8.7. L(p, q)を3次元レンズ空間とする. T H₁(L(p, q);Z) = H₁(L(p, q);Z) = Z/pを思い 起こし,その生成元をθとする. するとリンキング型式は次となる.

LN(θ, θ) = −q/p.

Proof. S¹ ={

z ∈C |z|= 1}

, D² ={

z ∈C |z| ≤1}

とし, 整数p, q, r, sがpr−qs= 1を満 たすとする. 次の同相写像を考える.

f :S¹×S¹ −→S¹×S¹, (z, w)7−→(z^qw^p, z^sw^r).

加えて,U1 :=D²×S¹, U2 :=S¹×D²とする. 境界∂UiをS¹×S¹とみなし,同値関係 x₁ ∼x₂ ⇐⇒^def x₂ =f(x₁) x_i ∈∂U_i.

を考える. すると,この商空間U₁⊔U₂/∼はレンズ空間L(p, q)と同相である(演習とする²¹).

H1(U1)∼=ZとH1(U2)∼=Zの生成元を夫々µとKとおく. 次の完全列に気づく: 0−→Zµ−→^p H₁(U₁)−→H₁(L(p, q))−→0.

他方で, レンズ空間内で見た類[K]∈H₁(L(p, q))をとると, pKはU₁ =D²×S¹の2-core(な いしザイフェルト膜に)張られる(例えばMayer-Vietoris完全列を見よ). 特に,次を得る：

lk([K],[µ]) = 1/p.

ここで気づきたい事に, [µ]がH₁(L(p, q)) ∼= Z/pの生成元なので, あるx ∈ Z/pがあり, [K] =x[µ]と書ける. xを調べよう. まずfの誘導射f_∗ :H_∗(∂U₁)→H_∗(∂U₁)∼=Z⟨µ, λ⟩の行 列表示は, ^{( p r}

q s )

に気づこう. 特に, この行列表示から次の対応が見れる:

µ7→pµ+qλ, K 7−→rµ+sλ∈H₁(∂U₁).

λ∈H₁(U₁)はゼロなので, [K] =s[µ]である. s=−q⁻¹ mod pZより,次の式が得られ, それ にq倍する事で, 結論を得る:

L_N(−q⁻¹µ, µ) = 1/p.

注意 8.8. • 単連結でH₂(M;Z) =T H₂(M;Z)となる閉5次元多様体M に対して, リンキン グ型式で全てが分類されている事が知られている.

•有限アーベル群Tに対し,非退化な双線形型式b :T×T →Q/Zを考える. b(x, y) =b(y, x) のとき対称といい,b(x, y) =−b(y, x)のとき歪対称という. 対称の場合[Wall]も,歪対称の場 合[Kawauchi-Kojima]も完全にbが分類されている.

• 3次元多様体の場合,ヒーガード図式からリンキング型式を決定する方法がある[?].

また3次元に関して, リンキング型式の性質なり定理を紹介しよう. まずライデマイスター トーションから, リンキング型式が(ほぼ)書ける事が知られている：

定理 8.9 ([Tu4]). Mが閉3次元多様体とし, ベッチ数がβ₁(M) = 0とする. また有限アーベ ル群H :=H₁(M;Z)とする. この時, 次が成立する:

∀g, g^′ ∈H, τ(M)·(g−1)(g^′−1) =−λ_M(g, g^′)·Σ_H ∈Q[H]/Z[H], ここで右辺のΣ_H は∑

h∈Hhと定義される.

最後に, リンキング型式の強さについて言及しておく. その為に, 二つ用語を準備する. 一 つ目は,r ∈Zに対して,

H¹(M;Z/r)−−−−→^{•⌣•⌣•} H³(M;Z/r)−−−−→^•∩[M] Z/r.

ここで一つ目の写像はカップ積であり, 2つ目のは基本類[M]とのキャップ積である. この3 重線形型式をトリプルカップ積とか言ったりする. λ^(r)と書こう.

次に, アーベル化α : π1(M) → H1(M;Z) =: Γを考える. すると群のホモロジー²²の押 だし

α_∗ :H_k(M;Z)−→H_k^gr(π₁(M))−→H_k^gr(Γ)

が考えられる. このk = 3で基本類[M]をevaluateしよう：α_∗([M])∈H₃^gr(Γ).

21Dehn手術を知っている人向け：レンズ空間は(p/q)-手術したものと見做せる

22すみません、群のホモロジーの知識を前提とします. 定義は昨年度の授業のプリント参照.

定理 8.10 (Cochran-Gerges-Orr). M, M^′ が閉3次元多様体とする. 同型ψ : H₁(M;Z) → H₁(M^′;Z)があってψ(α_∗([M])) = α_∗([M^′])となる事との必要十分条件は, MとM^′のリンキ ング型式が同値であり, ∀r ∈Zでλ^(r)と(λ^(r))^′が同値である事である.