Factorization Property

である.

さて各点でのLaurent級数展開によってLie代数としての埋め込み g⊗(˜πD,A)∗(OC˜D,A(∗SA¯+∗[0A])) → M

a∈A¯

g⊗ OD((ξa))⊕g⊗ OD((zA))⊕ ODc g⊗(˜πD,B)∗(OC˜D,B(∗SB¯+∗[∞B])) → M

b∈B¯

g⊗ OD((ξa))⊕g⊗ OD((z⁻¹_B ))⊕ ODc

を考えて,その像をそれぞれbg^out_D,A,bg^out_D,Bとおく. そこでbg^out_D,A,bg^out_D,BのHD(JA¯, j),HD(j, JB¯)への作用 の coinvariantの空間を

VD,A(JA¯, j) = HD(JA¯, j)/bg^out_D,A(HD(JA¯, j)) VD,B(j, JB¯) = HD(j, JB¯)/bg^out_D,B(HD(j, JB¯))

と定義してV_D(J_C)とは異なる余真空の層V_D,A(JA¯, j),V_D,B(j, JB¯)を構成する. このとき ι:HD(JC) −→ M

j∈Pl

VD,A(JA¯, j)⊗ VD,B(j, JB¯) (7.7)

|u⊗vi 7→ X

j

|u⊗ωj⊗vi と言う写像を定義する. ただし,上でωjは

ωj=X

i

u0,i⊗uⁱ₀∈Vj⊗Vj⊂ Hj⊗ Hj

とし, ここで{u0,i}はVjの基底であり© uⁱ₀ª

はその不変内積(p. 45)に関する双対基底とする. 次の補 題の証明は,後の補題7.14と同様である.

補題 7.4. 任意のX∈gに対して

(ρ0A(X) +ρ∞B(X))ωj = 0

命題 7.5. (7.7)の写像ιは余真空の層からの写像

ι:VD(JC)−→M

j∈Pl

VD,A(JA¯, j)⊗ VD,B(j, JB¯) を誘導する.

証明. ι(bg^out_D HD(JC)) = 0 を示せばよい. u ∈ HD(JA¯), v ∈ HD(JB¯), X ⊗f ∈ bg^out_D とする. f は 0A=∞Bで正則であり,f(0A) =f(∞B)である. よって補題7.4より

(ρ0A(X⊗f) +ρ∞B(X⊗f))ωj = f(0A) (ρ0A(X) +ρ∞B(X))ωj

= 0 であるので,これを用いて

ι(X⊗f|u⊗vi) = ιµX

a∈A¯

|ρa(X⊗f)u⊗vi+X

b∈B¯

|u⊗ρb(X⊗f)vi

¶

= X

a∈A¯

X

j∈Pl

|ρ_a(X⊗f)u⊗ω_j⊗vi+X

b∈B¯

X

j∈Pl

|u⊗ω_j⊗ρ_b(X⊗f)vi

= X

a∈A∪B

X

j∈P_l

ρa(X⊗f)|u⊗ωj⊗vi

= (X⊗f)X

j∈Pl

|u⊗ωj⊗vi

= 0 を得る.

命題 7.5で定義された写像が同型になることを示すのがここでの目的である. 定理の証明のために チャージ付きの余真空の空間と呼ばれるベクトル空間を導入する. H⁰(P¹_A,O_P¹

A(∗wA¯−[0A]))はP¹_A上 の有理函数で0A に零点を持ち,wA¯にのみ極を持つもの全体とする. Lie代数としての埋め込み

g⊗H⁰(P¹_A,O_P¹

A(∗wA¯−[0_A])),→M

a∈A¯

g⊗C((ξ_a))⊕Cc

の像をbg^out_wA,0とし,表現空間H(JA¯)上のbg^out_wA,0の作用に対するcoinvariantの空間 VwA,0(JA) =H(JA¯)/bg^out_wA,0H(JA¯)

をチャージ付きの余真空の空間と呼ぶ. また同様に g⊗H⁰(P¹_B,O_P¹

B(∗wB¯−[∞B])),→M

b∈B¯

g⊗C((ξb))⊕Cc の像をbg^out_wB,0とし,表現空間H(JB¯)上のbg^out_wB,0の作用のcoinvariantの空間

H(JB¯)/bg^out_wB,0H(JB¯)も考える. すると真空の伝播(定理5.2)に類似した命題が成立する. そのためにも うひとつ補題を用意しておこう. 補題の証明にはWedderburnの定理を用いる.

補題7.6 (Wedderburnの定理の系). 代数閉体K上の1を持つ有限次元半単純結合代数Aの既約表 現の同型類の完全代表系をVi 'Kⁿⁱ (i= 1, . . .,h)とするとき,K上の代数の同型

A ' HomK(V1, V1)× · · · ×HomK(Vh, Vh) ' Mn1(K)× · · · ×Mn_h(K)

が存在する. ここでMni(K)はK上のni次の全行列環である.

補題の証明は[山崎]定理7.30 (p.505)や[寺田原田]定理2.36 (p.159)などを参照せよ.

一般に結合代数A1,A2の直積A1×A2の既約表現はA2が自明に作用するA1の既約表現またはA1

の自明に作用するA2の既約表現に同型になる. よって補題7.6の結論の形の結合代数Aの既約表現は Vi =Kⁿⁱ(i= 1,. . .,h)のどれかに同型である. ただしKⁿⁱ にはMn1(K)× · · · ×Mnh(K)の第i成分 が縦ベクトルの空間とみなされたKⁿⁱに自然に作用し,他の成分は自明に作用するものとする.

補題7.7. U(g)の両側イデアルIを

I={x∈U(g)|xVj= 0 (0≤j ≤l/2)}

とする. このとき,結合代数としての同型

U(g)/I ' M

j∈Pl

HomC(Vj, Vj)

' M

j∈Pl

Vj⊗V_j^∗ が存在する.

証明. この証明は[Li]によるものである. まずA =

def U(g)/Iが有限次元の代数である事に注意しよう. なぜならば, U(g)の表現ϕ : U(g) → L

j∈PlHomC(Vj, Vj)から(ϕ(I) = 0なので)Aの表現A→L

j∈PlHomC(Vj, Vj)が誘導されるが, Iの 定義よりこの表現は忠実である. 一方,L

j∈PlVjは有限次元表現なので,Aは有限次元代数である. 従っ て補題7.6よりAが半単純結合代数であることと,Aの既約表現がVj(j∈Pl)であることを示せば求め る同型を得る.

まず,M を0でない任意のA加群とするとき, MはあるVj (j ∈Pl)を含むことを示す. r∈Z≥0を E^rM 6= 0, E^r+1M = 0となるようにとる. E^l+1∈IゆえE^l+1M = 0,従ってr≤lである. r= 0のと き,HM = [E, F]M = 0,F M = 1/2 [F, H]M = 0よりM はV0を含む. 一方,r6= 0とすると

£E^r+1, F¤

= (r+ 1)(H−r)E^r

ゆえ,任意のu∈E^rM はEu= 0かつHu=ruである. 従ってuから生成されるMの部分加群はVr/2

に同型である. 特にMが既約ならば,M はVj (j∈Pl)のいずれかに同型である.

Aが半単純であることを示すには, 任意のA加群M が完全可約であることを示せばいい. M⁰をM のVj (j ∈Pl)と同型な全ての部分加群の和とする. M =M⁰を示せばいい. そうでないと仮定すると, 上で証明した事を商加群M/M⁰ 6= 0に適用すれば,M の部分加群WでW/M⁰があるVj (j ∈Pl)に同 型なものが存在する. W/M⁰, M⁰上ではE,F の作用は巾零であるので,W 上でE, Fの作用は巾零で ある. 従ってW はg加群として可積分なので, ある既約部分加群M⁰⁰が存在してW =M⁰⊕M⁰⁰とな る. ところでW/M⁰はあるVj (j∈Pl)と同型であったから,

M⁰⁰'W/M⁰'Vj

となり, これはM⁰の定義に反する. 従ってM は完全可約である. 従って補題7.6より求める同型を得る.

この補題はイデアルIをイデアルhE^l+1iで置き換えてもそのまま成立し, 結果としてI=hE^l+1iが 示せる. 実際[Li], Prop. 5.1.1ではhE^l+1iの場合に同じ証明で補題を証明している.

命題 7.8. 次のベクトル空間の同型が存在する:

H(JA¯)/bg^out_wA,0H(JA¯) ' M

j∈Pl

VwA(JA¯, j)⊗V_j^∗ (7.8) H(JB¯)/bg^out_wB,0H(JB¯) ' M

j∈Pl

V_j^∗⊗ VwB(j, JB¯) (7.9)

ただし,ここでVwA(JA¯, j),VwB(j, JB¯)はVD,A(JA¯, j),VD,B(j, JB¯)のx= (0, wA, wB)∈Dでの特殊化 VwA(JA¯, j) =VD,A(JA¯, j)⊗ODCx

=H(JA¯)⊗ Hj/bg^out_wA(H(JA¯)⊗ Hj) VwB(j, JB¯) =VD,B(j, JB¯)⊗ODCx

=Hj⊗ H(JB¯)/bg^out_wB(Hj⊗ H(JB¯)) である.

証明. 証明の基本的な部分は定理5.2と同様である. Step 1. まず

A1 = bg^out_wA A2 = M

a∈A¯

g⊗C((ξa))⊕g⊗zAC[[zA]]⊕Cc V = H(JA¯)⊗C·1

として補題3.4を用いる. ただし,A2のV 上の作用ではg⊗zAC[[zA]]はC·1に自明に作用するものと

する. すると

A1∩A2 = bg^out_wA,0 A1+A2 = M

a∈A¯

g⊗C((ξa))⊕g⊗C((zA))⊕Cc V˜ = H(JA¯)⊗U

U =

def U(bg^f0)/(U(bg^f0)bg^f_>0+U(bg^f0)(c−l)) である. ただし上で

b g^f0=£

b g^f,bg^f¤

=g⊗C[zA, z_A⁻¹]⊕Cc⊂bg^f とする. 補題3.4よりベクトル空間の同型

VwA,0(JA)' H(JA¯)⊗U /bg^out_wA(H(JA¯)⊗U) (7.10) を得る. またUは

U(bg^f0)'U(bg^f_<0)⊗U(g)⊗C[c]⊗U(bg^f_>0) を用いてベクトル空間として

U 'U(bg^f_<0)⊗U(g) となる.

Step 2. H(JA¯)上にはgがX ∈gと|ui ∈ H(JA¯)に対して X|ui=X

a∈A¯

ρa(X)|ui (7.11)

で作用しているが, £

g,bg^out_wA,0¤

⊂bg^out_wA,0ゆえV_wA,0(J_A)上にgの作用が誘導される. このときg加群とし ての既約分解が

H(JA¯)/bg^out_wA,0H(JA¯) = M

j∈Pl

V_j^⊕nj (nj∈Z≥0) (7.12)

となることを示す.

まず,VwA,0(JA)が有限次元であることを定理3.6と同様の証明で示す. A = bgA¯

A₁ = bg^out_wA,0=g⊗H⁰(P¹_A,O_P¹

A(∗wA¯−[0_A])) A2 = M

a∈A¯

g⊗C[[ξa]]⊕Cc V = V(JA¯)

として補題3.4を適用する. するとA=A1+A2, A1∩A2= 0であるので,補題3.4よりベクトル空間 の同型V(JA¯)' M(JA¯)/bg^out_wA,0M(JA¯)を得る. 従って M(JA¯)/bg^out_wA,0M(JA¯)は有限次元である. 一方, VwA,0(JA)は M(JA¯)/bg^out_wA,0M(JA¯)の商ベクトル空間なのでVwA,0(JA)も有限次元である.

よってVwA,0(JA)はgの有限次元表現なので VwA,0(JA) = M

j∈1 2Z≥0

V_j^⊕nj (7.13)

と直和分解できる. j 6∈Plのときnj = 0を示せばいい. そこでV_w^†_A,0(JA) = Hom(VwA,0(JA),C)とお こう. つまり,

V_w^†_A,0(JA) =

½

hΦ| ∈ H(JA¯)^†

¯¯

¯¯hΦ|X

a∈A¯

ρa(X⊗f) = 0 (∀X⊗f ∈bg^out_wA,0)

¾

である. H(JA¯)^†にはbg^fの右表現が定義される. つまりX(n)∈bg^fとhΦ| ∈ H(JA¯)^†,|ui ∈ H(JA¯)に対 して

(hΦ|X(n))|ui=X

a∈A¯

hΦ|ρa(X⊗z⁻ⁿ)|ui

とする. この表現においてn <0のときX⊗z⁻ⁿ∈bg^out_wA,0なのでhΦ| ∈ V_w^†_A,0(JA)ならばhΦ|X(n) = 0 であり, またn = 0のとき(7.11)で定義したgの表現の双対表現に一致する. 従ってVb_w^†_A,0(JA)を V_w^†_A,0(JA)から生成されるH(JA¯)^†の右bg^f 部分加群

Vb_w^†_A,0(JA) =V_w^†_A,0(JA)U(bg^f) = X

hΦ|∈V_wA,^† ₀(JA)

hΦ|U(bg^f)

と定義すると

Vb_w^†_A,0(J_A) =V_w^†_A,0(J_A)U(bg^f_>0) (7.14) となる. (7.14)よりVb_w^†_A,0(JA)の双対表現を考えればそれはcategoryOに含まれる.

さらにVb_w^†_A,0(JA)はbg^fの可積分表現の双対表現になることを示そう. 任意のa∈A¯に対してHjaが 可積分表現なので,任意のu∈ H(JA¯)に対してnを十分大きくとると

ρa(E⊗z)^k|ui= 0 µ

k > n

|A|¯

¶

が成立する. 従って任意のhΦ| ∈Vb_w^†_A,0(JA)に対して (hΦ|E(−1)ⁿ)|ui = (−1)ⁿ X

P

ana=n

Qn!

ana!hΦ|Y

a∈A¯

ρa(E⊗z)^na|ui

= 0

となる. よってVb_w^†_A,0(JA)はbg^f の可積分表現である. 従って事実2.34,事実2.48よりVb_w^†_A,0(JA)は

Vb_w^†_A,0(JA) =M

j∈Pl

(H^†_j)^⊕n0j

と直和分解できる. 一方(7.13)より

V_w^†_A,0(JA) = M

j∈1 2Z≥0

(V_j^∗)^⊕nj

であり, (7.14)より上で全てのjに対してn⁰_j =njが成り立つ. つまりj6∈Plなるjに対してnj= 0で ある.

Step 3. Step 2のgの表現(7.11)はStep 1の同型(7.10)を用いれば H(JA¯)⊗U /bg^out_wA(H(JA¯)⊗U)上でX ∈gとu∈ H(JA¯),x∈U に対して

X(u⊗x) =u⊗xS(X) (7.15)

と作用する. ここでS は(2.20)で定義したU(g)の反同型写像である. 実際, x= X1(n1)· · ·Xk(nk) (Xi(ni)∈bg^f)とし,ρA¯=P

a∈A¯ρaとおくとmodbg^out_wA(H(JA¯)⊗U)で X(u⊗x) =X(u⊗ρ0A(X1⊗zⁿ¹)X2(n2)· · ·Xk(nk))

≡X(ρA¯(−X1⊗zⁿ¹)u⊗X2(n2)· · ·Xk(nk)) ...

≡X(ρA¯((−Xk⊗z^nk)· · ·(−X1⊗zⁿ¹))u⊗1)

≡ρA¯(X(−Xk⊗z^nk)· · ·(−X1⊗zⁿ¹))u⊗1

≡ρA¯((−Xk⊗z^nk)· · ·(−X1⊗zⁿ¹))u⊗S(X) ...

≡u⊗x·S(X) である.

Step 4. ベクトル空間の同型

H(JA¯)⊗U /bg^out_wA(H(JA¯)⊗U)' H(JA¯)⊗(U/U(bg^f0)I)/bg^out_wA(H(JA¯)⊗(U/U(bg^f0)I)) (7.16) を示す. ここでIは補題7.7で定義したU(g)の両側イデアルである.

任意のu∈ H(JA¯)とx∈U(bg^f0), y ∈ Iに対してu⊗xy がmodbg^out_wA(H(JA¯)⊗U)で0になればい い. しかし, modbg^out_wA(H(JA¯)⊗U)によってxはuへの左作用とすることができるのでx= 1として も構わない. さらにu∈V(JA¯)について考えれば十分であることを帰納法で示そう. u⁰ ∈FpH(JA¯)と X(−n)∈bg^f(n >0)によってu=ρa(X(−n))u⁰とする. 各a∈A¯に対して

f_a⁽ⁿ⁾=





(z−wa)⁻ⁿ−(−wa)⁻ⁿ a6=∞A

zⁿ a=∞A

とおくとfa⁽ⁿ⁾はz=wa(またはz=∞A)にn位の極を持ち,他のA¯の点では正則でz= 0で零点を持 つ有理函数である. 従って

u⊗y=ρa(X(−n))u⁰⊗y

≡ − X

a⁰6=a,0

ρa⁰(X⊗f_a⁽ⁿ⁾)u⁰⊗y

となるが,fa⁽ⁿ⁾はz=wa⁰(またはz=∞A)で正則なので

ρa⁰(X⊗f_a⁽ⁿ⁾)u⁰∈FpH(JA¯)

である. 従ってpについて帰納的にF0H(JA¯) =V(JA¯)にまで帰着できる. よってu∈V(JA¯),y ∈Iに 対して

u⊗y≡0 modbg^out_wA(H(JA¯)⊗U) を示せばいいが, Step 3のgの表現を用いれば,

u⊗y=S(y)(u⊗1)

である. ここでIは両側イデアルI =hE^l+1iなのでy ∈IのときS(y)∈Iであり, この表現はStep 2

より(7.12)の分解を持つので

S(y)(u⊗1)≡0

である. これで(7.16)の成立が示せた.

Step 5. 補題7.7を用いてベクトル空間の同型

U/U(bg^f0)I ' U(bg^f_<0)⊗(U(g)/I) ' U(bg^f_<0)⊗µM

j∈Pl

Vj⊗V_j^∗

¶

' M

j∈Pl

Mj⊗V_j^∗

を得る. 実際にはこの同型写像はベクトル空間としての写像であるだけでなく, 左bg^f0, 右g加群として の写像である事が容易に確められる. これとStep1の同型(7.10)とStep4の同型(7.16)よりベクトル空 間の同型

VwA,0(JA) ' M

j∈Pl

H(JA¯)⊗Mj⊗V_j^∗/bg^out_wA(H(JA¯)⊗Mj⊗V_j^∗)

' M

j∈Pl

¡H(JA¯)⊗Mj/bg^out_wA(H(JA¯)⊗Mj)¢

⊗V_j^∗

を得る.

Step 6. 各j∈Plに対してベクトル空間の同型

H(JA¯)⊗Mj/bg^out_wA(H(JA¯)⊗Mj)' H(JA¯)⊗ Hj/bg^out_wA(H(JA¯)⊗ Hj) が存在する. この証明は定理5.2の証明で示したj= 0の場合と同様であるので省略する.

Step 7. Step 5, Step 6の同型をまとめて VwA,0(JA) ' M

j∈Pl

¡H(JA¯)⊗Mj/bg^out_wA(H(JA¯)⊗Mj)¢

⊗V_j^∗

' M

j∈Pl

¡H(JA¯)⊗ Hj/bg^out_wA(H(JA¯)⊗ Hj)¢

⊗V_j^∗

= M

j∈Pl

VwA(JA¯, j)⊗V_j^∗ を得る. これで(7.8)が証明された. (7.9)についても同様である.

定理 7.9 (factorization property). 各点x= (0, wA, wB)∈Dに対して同型 ιx:Vπ⁻¹(x),wC(JC)'M

j∈P_l

VwA(JA¯, j)⊗ VwB(j, JB¯) が成立する.

証明. まず,

bg^out_wC =

defg⊗H⁰(π⁻¹(x),O_π⁻¹_(x)(∗wA¯+∗wB¯)) のLie部分代数bg^out_wC,0を次のように定義する:

bg^out_wC,0=g⊗H⁰(π⁻¹(x),O_π⁻¹_(x)(∗wA¯+∗wB¯−[0A=∞B])).

ただしここで[0A=∞B]はπ⁻¹(x)上の二重点0A=∞Bの因子であり,

H⁰(π⁻¹(x),Oπ⁻¹(x)(∗wA¯+∗wB¯ −[0A = ∞B]))は π⁻¹(x)上のwA¯, wB¯ に極を持つ有理函数f で f(0A) =f(∞B) = 0となるもの全体である.

Vπ⁻¹(x),wC(JC) =H(JC)/bg^out_wCH(JC) を計算するのに次の完全列を用いる:

0→bg^out_wCH(JC)/bg^out_wC,0H(JC)→ H(JC)/bg^out_wC,0H(JC)→ Vπ⁻¹(x),wC(JC)→0 (7.17) まずH(JC)/bg^out_wC,0H(JC)を計算しよう.

H⁰(π⁻¹(x),O_π⁻¹_(x)(∗wA¯+∗wB¯−[0A=∞B]))−→

H⁰(P¹_A,O_P¹

A(∗wA¯−[0A]))⊕H⁰(P¹_B,O_P¹

B(∗wB¯−[∞B])) f 7→(f |_P¹

A, f|_P¹

B)

という自然な同型が存在するのでcoinvariantの空間のベクトル空間の同型

H(JC)/bg^out_wC,0H(JC)' H(JA¯)/bg^out_wA,0H(JA¯)⊗ H(JB¯)/bg^out_wB,0H(JB¯) (7.18) を得る. ここで命題7.8を用いると

H(JC)/bg^out_wC,0H(JC)'µM

j∈Pl

VwA(JA¯, j)⊗V_j^∗

¶

⊗µM

j∈Pl

V_j^∗⊗ VwB(j, JB¯)

¶

である. 完全列(7.17)よりVπ⁻¹(x),wC(JC)は上の式のbg^out_wCH(JC)/bg^out_wC,0H(JC)の作用による商をとれ ばよい.

bg^out_wCH(JC)/bg^out_wC,0H(JC)を考える. 任意のf ∈H⁰(π⁻¹(x),Oπ⁻¹(x)(∗wA¯+∗wB¯))に対して f−f(0_A)∈H⁰(π⁻¹(x),O_π−1(x)(∗wA¯+∗wB¯−[0_A=∞_B]))

である. 従ってX⊗f ∈bg^out_wC,|uA⊗uBi ∈ H(JC)に対してmodbg^out_wC,0H(JC)で考えると (X⊗f)|uA⊗uBi ≡X

a∈A¯

ρa(X⊗f(0A))|uA⊗uBi+X

b∈B¯

ρb(X⊗f(0A))|uA⊗uBi

となり命題7.8のStep 2 (7.11)で考えたgのテンソル積表現と一致している. 一方命題7.8のStep 3より (7.11)の表現は同型(7.8)を用いるとL

jVwA(JA¯, j)⊗V_j^∗上で(7.15)と作用するので,L

jVwA(JA¯, j)⊗V_j^∗ でのuAの像をP

juj⊗φj, L

j⁰V_j^∗0⊗ VwB(j⁰, JB¯)でのuBの像をP

j⁰φ⁰_j0⊗u⁰_j0 とすると (X⊗f)|uA⊗uBi ≡ f(0A)X

j,j⁰

©uj⊗(φjS(X))⊗φ⁰_j0⊗u⁰_j0+uj⊗φj⊗(φ⁰_j0S(X))⊗u⁰_j0

ª

を得る. これは各j,j⁰に対してV_j^∗⊗V_j^∗0上のgのテンソル積表現であるので,事実3.7よりこの作用に よる商を考えるとj6=j⁰のとき0となり,j=j⁰のときにはCである. 従って,

V_π−1(x),wC(JC) ' (H(JC)/bg^out_wC,0H(JC)). ¡

bg^out_wCH(JC)/bg^out_wC,0H(JC)¢

' M

j,j⁰∈P_l

VwA(JA¯, j)⊗¡

V_j^∗⊗V_j^∗0/g(V_j^∗⊗V_j^∗0)¢

⊗ VwB(j⁰, JB¯)

= M

j∈Pl

VwA(JA¯, j)⊗ VwB(j, JB¯) となり求める同型を得る.

補題7.10. Xを複素多様体,Fを連接OX加群とする. ϕ(x) =

defdimCFx⊗O_X,xCx

が定数函数ならFは局所自由である.

証明. 任意のx∈Xに対してϕ(x) =rとする. x∈Xを固定すると,補題6.20よりOX,x加群の全射 準同型

f :O_X,x^r ³Fx

が存在する. O_X^r のOX自由基底をe1,. . .,erとする. Fxの定義より,xの開近傍Uとu1,. . .,ur∈ F(U) および, OU 準同型φ:O_U^r → F|U でφ(ei|U) =ui(i= 1,. . .,r)かつ,φx=f であるものが存在する.

Fは局所有限生成でφxが全射であるので,U に含まれるxの開近傍V でφ|V :O^r_V → F|V が全射に なるものが存在する. この証明は命題6.17の証明の(1)と同じである.

K= Kerφ|V とする. K= 0を示そう. 任意の点y∈V に対して完全列 0→ Ky→ O^r_V,y→ Fy →0 に⊗OV,yCyを適用すると,テンソル積の右完全性より

K ⊗Cy →C^r→ Fy⊗Cy →0

という完全列を得る. ここでϕ(y) =rであるので, φ_y :C^r→ F_y⊗C_y は同型写像である. 従って任意 の開集合W ⊂V とs∈ K(W)に対して

s= Xr

i=1

aiei|W (ai∈ OV(W))

とおくと,任意のy∈W に対してa_i(y) = 0 (i= 1,. . .,r)である. 複素多様体Xは被約¹ なので,これ からai= 0 (i= 1,. . .,r)であり,s= 0を得る. よってK= 0であり,つまりFは局所自由である.

系 7.11. D上の余真空の層に対して次の同型が存在する.

ι:VD(JC)'M

j∈Pl

VD,A(JA¯, j)⊗ VD,B(j, JB¯)

証明. 定理7.9より任意の点x= (0, wA, wB)∈Dに対して同型 ιx:V_π−1(x),wC(JC)'M

j∈Pl

Vw_A(JA¯, j)⊗ Vw_B(j, JB¯)

が存在する. ここで右辺の次元はxに依らず一定であるので,命題7.1と補題7.10よりVD(JC)は局所 自由である. 従って,定理7.9よりιはOD加群の同型である.

ドキュメント内 数学メモアール 第4巻, （2004） (ページ 99-108)