CMB 多重極成分

CMB温度ゆらぎを球面調和関数を用いて

∆T

T (x0,n, η₀) =

∞ l=0

l m=−l

a_lm(x0)Y_lm(n) (12.8) と展開する。多重極a_lmの統計平均を考えるとa_lm= 0、標準偏差C_l =

|a_lm|²は

a_lma^∗_lm=C_lδ_llδ_mm (12.9) で与えられる。これよりCMBゆらぎの2点相関は、ルジャンドル多項式 についての公式

m m=−l

Y_lm(n)Y_lm^∗ (n) = 1

4π(2l+ 1)P_l(n·n) (12.10) とn·n = cosθであることを使うとCMB温度ゆらぎに2点相関は

C(θ) =

"∆T

T (x0,n, η₀)∆T

T (x0,n, η₀)

#

=

l,l,m,m

a_lma^∗_lmY_lm(n)Y_l^∗m(n)

= 1

4π

l

(2l+ 1)C_lP_l(cosθ) (12.11)

と書ける。

以下では偏光のないCMB温度ゆらぎ異方性スペクトル、通常TTスペ クトルと呼ばれる多重極成分を計算する。スカラーゆらぎからとテンソ ルゆらぎからの寄与があり、それらを加えたものが観測にかかる。スカ ラーゆらぎはTTスペクトル全体に寄与するのに対して、テンソルゆら ぎはl <50の低多重極(大角度成分)にしか寄与しない。

スカラーゆらぎ多重極成分 ここでは簡単のためCMB温度ゆらぎスペ クトルのなかで主要な寄与を与える部分、すなわち式(11.12)の中の積分 を含まない項を考える。さらにΨ = Φと置いて

∆T

T (x0,n, η₀) =

1

4D^γ+∂_iV^bnⁱ+ 2Ψ

(η_dec,xdec). (12.12) この式のフーリエ成分はxdec =x0−(η₀−η_dec)nより

∆T

T (k,n, η₀) =

1

4D^γ−ikˆ·nV^b + 2Ψ

(k, η_dec)

e

^{−ik·n(η0−ηdec)}

=

1

4D^γ+ 2Ψ + V^b

k ∂_η (k, η_dec)

e

^−ik·nη)_{|η=η0−ηdec}

(12.13) で与えられる。ここで、kˆ=k/k= (θ_k, ϕ_k)である。

はじめにordinary Sachs-Wolfe関係が成り立つ比較的大きいサイズの ゆらぎ(l < 30)について考える。この場合式(11.15)で見たようにCMB 温度ゆらぎは脱結合時のBardeenポテンシャルで与えられ、フーリエ成 分(12.13)は

∆T

T (k,n, η₀) 1

3Ψ(k, η_dec)

e

^{−ik·n(η0−ηdec)} (12.14) と簡単になる。この関係式を使ってC(θ)を書くと

C(θ) = 1 (2π)⁶

d³k k³

d³k k³

"

∆T

T (k,n, η₀)∆T

T (k,n, η₀)

#

e^i(k+k)·x0 1

(2π)⁶

d³k k³

d³k

k³ e^i(k+k)·x01

9Ψ(k, η_dec)Ψ(k, η_dec)

×e^{−ik·n(η0−ηdec)}e^{−ik·n(η0−ηdec)}

= 1

(2π)³

d³k k³

1

9|Ψ(k, η_dec)|²e^{−ik·n(η0−ηdec)}e^{ik·n(η0−ηdec)} (12.15)

を得る。ここで、2点相関の式(12.2)を使っている。

右辺の位相項を球ベッセル関数による展開公式

e^ik·y= 4π

∞ l=0

l m=−l

i^lj_l(ky)Y_lm^∗ (ˆk)Y_lm(ˆy) (12.16) を使って展開する。ここでyˆはkˆと同様に定義されている。これより

C(θ) = (4π)² (2π)³

d³k k³

$1

3Ψ(k, η_dec)

2%

j_l(kd_dec)j_l(kd_dec)

× ^∞

l,l=0

i^l−l

l m=−l

Y_lm(ˆk)Y_lm^∗ (n)

l

m=−l

Y_l^∗m(ˆk)Y_lm(n) (12.17) を得る。ここで、d_dec =η₀−η_decは最終散乱面までの距離を表す。k積分 を動径方向と角度方向に分けてd³k=k²dkdΩ_k、dΩ_k=dθ_kdϕ_kと分解し て、球面調和関数の公式

dΩ_kY_lm^∗ (ˆk)Y_lm(ˆk) =δ_llδ_mm (12.18) とルジャンドル多項式についての公式(12.10)を使うと

C(θ) = 1 4π

∞ l=0

(2l+ 1)P_l(cosθ)2 π

dk k

1

9|Ψ(k, η_dec)|²j_l²(kd_dec) (12.19) を得る。この式と定義式(12.11)を比較するとC_lを求めることができる。球 ベッセル関数の形より積分にもっとも寄与する領域としてl kd_dec(2.28) の関係式が出てくる。

Ordinary Sachs-Wolfe関係が成り立つスーパーホライズンゆらぎでは Ψの遷移関数はほぼT_Ψ 1になるため、|Ψ(η_dec)|² |Ψ_i|² = 2π²P_s として多重極成分を計算すると

C_l^osw = 4π

_∞

0

dk k

1

9P_s(k)j_l²(kd_dec)

= 2π²A_s (md_dec)^ns−1

1 9

Γ (3−n_s) Γl−¹₂ +ⁿ₂^s

2^3−nsΓ²2−ⁿ₂^sΓl+ ⁵₂ −ⁿ₂^s (12.20) となる。Harrison-Zel’dovichスペクトル(n_s = 1)の場合

l(l+ 1)C_l^osw 2π = A_s

9 (12.21)

と書ける。このように、低多重極成分では宇宙初期の原始スペクトルP_s(k) がほとんど影響を受けずに現在まで伝わっていると考えられれている。

音響振動が見えるもう少し小さいサイズのゆらぎまで考えたい場合は フーリエ成分(12.13)のすべての項からの寄与を取り扱う必要がある。上 と同じように計算すると

C(θ) = 1 (2π)⁶

d³k k³

d³k

k³ e^i(k+k)·x0

"D^γ 4 + 2Ψ

(k, η_dec) + V^b(k, η_dec) k ∂_η

×D^γ 4 + 2Ψ

(k, η_dec) + V^b(k, η_dec) k ∂_η

#

e^−ik·nηe^−ik·nη| ^η=η=

η0−ηdec

(12.22) を得る。2点相関の式(12.2)を使って波数の一方のk積分を実行し、位 相の項を球ベッセル関数による展開公式を使って展開すると

C(θ) = (4π)² (2π)³

d³k k³

∞ l,l=0

i^l−l

l m=−l

Y_lm(ˆk)Y_lm^∗ (n)

l

m=−l

Y_l^∗m(ˆk)Y_lm(n)

×^"D^γ 4 + 2Ψ

(k, η_dec)j_l(kη) + V^b(k, η_dec)

k ∂_ηj_l(kη)

D^γ 4 + 2Ψ

(k, η_dec)j_l(kη) + V^b(k, η_dec)

k ∂_ηj_l(kη)

_∗#

η=η0−ηdec

(12.23) を得る。k積分を動径方向と角度方向に分けてd³k = k²dkdΩ_k、dΩ_k = dθ_kdϕ_kと分解して、球面調和関数の公式(12.18)とルジャンドル多項式に ついての公式(12.10)を使うと

C_l = 2 π

dk k

"

D^γ 4 + 2Ψ

(k, η_dec)j_l(kd_dec) +V^b(k, η_dec)j_l(kd_dec)

2#

(12.24) で得る。ここで、j_l(x) = ∂_xj_l(x)。

考えているゆらぎは放射優勢の時期に設定された初期時間η_iではまだ スーパーホライズンサイズであった。このゆらぎの脱結合時η_decまでの

遷移関数をそれぞれTγ、Tb、TΨとすると脱結合時の値は初期値を使って

D^γ 4 + 2Ψ

(k, η_dec) = 1

4TγD^γ(k, η_i) + 2TΨΨ(k, η_i)

=

−3

2Tγ+ 2TΨ

Ψ_i(k), V^b(k, η_dec) = T_bV^b(k, η_i) =T_b1

2kη_iΨ_i(k) (12.25) と書ける。ここで、放射優勢時代の解からスーパーホライズンゆらぎ(x= kη →0)ではD^γ → −6Ψ_i、Ψ→Ψ_i、V^b(=V^γ)→kη_iΨ_i/2であることを 使った。

先にも述べたように、CMB多重極成分はΨの初期値を表す原始パワー スペクトルが与えられれば計算できる。すなわち、

C_l= 4π

dk k

−3

2Tγ+ 2TΨ

j_l(kd_dec) +Tb

1

2kη_ij_l(kd_dec)

₂

P_s(k) (12.26) と計算される。

テンソルゆらぎ多重極成分 テンソルゆらぎは式(11.14)を使って計算さ れる。スカラーゆらぎのときと同じようにすると

C(θ) = 1 (2π)³

d³k k³

_η0

ηdec

dη

_η0

ηdec

dηe^{−ik·n(η0−η)}e^{ik·n(η0−η)}

×∂_ηh^TT_ij (η,k)∂_ηh^TT∗_lm (η,k)nⁱn^jn^ln^m (12.27) を得る。左辺に時間の異なる2点スペクトル関数が現れる。横波トレー スレスの条件をみたすことからこれを

h^TT_ij (η,k)h^TT∗_lm (η,k)

=h^TT(η,k)h^TT∗(η,k)δ_ilδ_jm+δ_imδ_jl−δ_ijδ_lm + 1

k² (δ_ijk_lk_m+δ_lmk_ik_j −δ_ilk_jk_m−δ_imk_lk_j −δ_jlk_ik_m−δ_jmk_lk_i) + 1

k⁴k_ik_jk_lk_m

(12.28) と書くと、最終的に

C_l = 2 π

dk k

$ _η0

ηdec

dη∂_ηh^TT(η,k)j_l(k(η₀−η)) k²(η₀−η)²

2%

(l+ 2)!

(l−2)! (12.29)

図 11: TTパワースペクトルのパラメータ依存性。上から3種類の密度パラ メータΩ_b、Ω_c、Ω_Λ、Hubble定数h、スペクトル指数n_s、光学的深さ(optical depth)τ を変えたときのスペクトルの変化を表す[E. Martinez-Gonzalez, astro-ph/0610162]。

を得る。

この式を簡単に評価してみる。テンソル方程式からゆらぎがスーパーホ ライズンのとき解はほとんど定数であることが分かっているので、∂_ηh^TT = 0となり多重極成分は生成されない。テンソルゆらぎが変化するのはホラ イズンの内側に入ってからである。そのため、積分が値を持つのは脱結 合時η_decから現在η₀の間にホライズンの内側に入る大きなサイズの低多 重極成分(l <50)のみである。

ホライズンの内側(x=kη ≥2)に入るとh^TT ∝1/aで振幅が減衰する ことが分かっているので、この領域では∂_ηh^TT −aHh^TT = (−2/η)h^TT と書くことができる。最後の等式は、考えている時期がa∝η²の物質優

勢の時代であることを表している。このことから

_η0

ηdec

dη∂_ηh^TTj_l(k(η₀−η))

k²(η₀−η)² j_l(kη₀)) k²η²₀

_η0

η=2/k

−2dη

η h^TT (12.30) と書ける。さらにh^TT ∝1/η²を考慮して積分を実行すると^&(−2dη/η)h^TT = h^TT(η₀)−h^TT(η = 2/k)を得る。ここで、η₀は宇宙のサイズを表すので h^TT(η₀)は無視できる。したがって、多重極はη₀ = d_decと書くとl < 50 に対して

C_l |_l<50 2 π

dk

k |h^TT(η= 2/k,k)|²j_l²(kd_dec) k⁴d⁴_dec

(l+ 2)!

(l−2)! (12.31) を得る。ここで、テンソルゆらぎはホライズンに入るまではほとんど変 化しない、すなわちそれまでは遷移関数が1であることからホライズン に入る直前(η = 2/k)のゆらぎスペクトルは原始スペクトルと同じであ ると考えてよい。そこで|h^TT(η = 2/k,k)|²= 2π²P_t(k)と置くと

C_l |l<50 4π(l+ 2)!

(l−2)!

_∞

0

dk k

j_l²(kd_dec) k⁴d⁴_dec P_t(k)

= 2π²A_t (md_dec)^nt

(l+ 2)!

(l−2)!

Γ(6−n_t)Γl−2 + ⁿ₂^t

2^6−ntΓ²⁷₂ −n_tΓl+ 4−ⁿ₂^t(12.32) を得る。n_t = 0ではl(l+ 1)C_l/2πA_t8l(l+ 1)/15(l−2)(l+ 3)となる。

l= 2に発散があるが、これは近似が粗いことによるものである。

このようにTTスペクトルの大角度成分にはテンソルゆらぎの寄与が 含まれると考えられる。そのためどれだけテンソルゆらぎが含まれてい るかをあらわすテンソル・スカラー比rはTTスペクトルだけでは決まら ない。

その他の多重極成分 詳細については議論しないが、ここでその他の多 重極成分について簡単に述べておく。CMBはトムソン散乱によって偏光 する。主な原因は宇宙が中性化するプロセスでのトムソン散乱による偏光 である。Eモード、Bモードと呼ばれるその偏光のスペクトルが図12に 載せてある。一番上はTTスペクトルである。二番目がTE、三番がEE、

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