Black-Scholes モデル

とかける．

これは確率積分を含む一種の微分方程式であり，確率微分方程式と言われるものの特別なものである．確率微分方程式に関してはここでは述べないが，存在や一意性など詳しい性質が調べられている．ここで扱うものは全て存在や一意性が成り立つものばかりであるので，

それらの結果は断りなく使っていく．

ギルサノフの定理

最後にギルサノフ(Girsanov)の定理と呼ばれる測度の変換について述べておく．この定理はファイナンスでは同値マルチンゲール測度の構成をするときに重要になってくる．

定理 6.6. (θ_t)を _T

0 θ_s²ds <∞P-a.s. をみたす(Ft)-適合過程であり，次の確率過程 L_t = exp

− _t

θ_sdW_s− 1 2

θ²_sds

(6.9) がマルチンゲールになるものとする．Q =L_TP と定めると，Qは P と同値な測度であり，

Qの下でB_t=W_t+_t

0 θ_sds は Wiener 過程となる．

上の定理で (L_t)がマルチンゲールになることを仮定したが，十分条件として exp

1 2

θ²_sds

∈L¹(P) が知られている(Novikovの条件といわれている)．

ここで，B_t= ^μ−r

σ t+W_tとおけば

dS_t=σS_tdB_t (7.3)

となる．ここで θ_t = (μ−r)/σ とおいて Girsanov の定理を使えばP^∗ = L_TP の下で (B_t) はブラウン運動となり，Sは確率積分でかけるからマルチンゲールとなる．Sは実際つぎのようにかける：

S_t=S₀exp{σB_t−σ²t/2}. (7.4) 従ってこの場合は同値マルチンゲール測度は P^∗ であることが分かった．

Black-Scholes の公式

さて，具体的にコールオプションの価格を求めてみよう．コールオプションはH= (S_T −K)₊ で記述されるから，価格π(H)はそれを割り引いたe^−rT(S_T −K)₊ = (S_T −e^−rTK)₊ の期待値として表される．即ち

π(H) =E^P^∗[(S_T −e^−rTK)₊] =E^P^∗[(S₀exp{σB_T −σ²T /2} −e^−rTK)₊]

=E^P^∗[(S₀e^Z−e^−rTK)₊].

ここでZ =σB_T−σ²T /2とおいた．容易に分かるように，P^∗ のもとでは Zは平均−σ²T /2, 分散σ²T の正規分布である．これは離散の極限として導いた (7.2) の結果と一致している．

伊藤解析を使うとこれらのことが容易に導かれたことになる．

自己充足戦略

ポートフォリオ φ = (η, θ)を与えたときの価値過程は

V_t(φ) =η_tS_t⁰+θ_tS_t (7.5) で定義される．self-ﬁnancing strategyは，離散のときはΔV_t(φ) = φ_t·ΔS_tであったから

dV_t(φ) =η_tdS_t⁰+θ_tdS_t (7.6) が成り立つことと定義する．これが意味を持つために

0 |η_t|dt <∞, _T

0 |θ_t|²dt <∞ P-a.s. (7.7) を仮定する．(Ft)-適合な確率過程 φが (7.6), (7.7) をにたすときself-ﬁnancing strategy と呼ぶ．

割り引かれた株価過程は S_t =e^−rtS_t で定義される．

命題 7.1. φ が (7.7) を満たすとき，V_t(φ) を(7.5)で定め V_t(φ) = e^−rtV_t(φ) とおく．このとき φが self-ﬁnancingであるための必要十分条件は

V_t(φ) =V₀(φ) + _t

θ_tdS_t (7.8)

が全ての t ∈[0, T]で成り立つことである．

証明 V(φ)の定義から

dV_t(φ) = −rV_t(φ)dt+e^−rtdV_t(φ) であるから，

dV_t(φ) =−re^−rt(η_te^rt+θ_tS_t)dt+e^−rtη_td(e^rt) +e^−rtθ_tdS_t

=θ_t((−re^−rtS_t)dt+e^−rtdS_t)

=θ_tdS_t

となり，(7.8)が得られる．逆も同様にできる．

許容戦略による複製

定義 7.2. self-ﬁnancing strategy φ が許容(admissible)であることを，割り引かれた価値過程 V_t(φ) =η_t+θ_tS_t がすべての t に対して非負でP^∗ の下で2乗可積分であることと定義する．

条件付き請求権H (非負の確率変数)が許容戦略の時刻T での値と等しくできるとき，複製できるという．

定理 7.3. 条件付き請求権H が P^∗ に関して2乗可積分であるとき，H は複製可能である．

このとき時刻 tにおける価値過程は

V_t =E^P^∗[e^−r(T^−t)H|F_t] (7.9) とあらわされる．

証明まず H がφによって複製できるとする．価値過程は V_t(φ) =η_tS_t⁰+θ_tS_t

と定義される．条件から V_T(φ) =H である．割り引かれた価値過程はV_t(φ) =e^−rtV_t(φ)と定義されるから

V_t(φ) =η_t+θ_tS_t. ここで self-ﬁnancing の条件から命題 7.1を使って

V_t(φ) = V₀(φ) + _t

θ_sdS_s=V₀(φ) + _t

θ_sσS_sdB_s.

ところで V_t(φ)は P^∗ の下で2乗可積分で，確率積分で表されるからV_t(φ)は2乗可積分マルチンゲールになる．よって

V_t(φ) = E^P^∗[V_T|F_t].

従って

V_t(φ) = E^P^∗[e^−r(T^−t)H|Ft].

が示せた．

H が複製できることを仮定して議論をしてきたが，実際に複製できることを示すことが残っている．M_t=E^P^∗[e^−rTH|Ft]は2乗可積分マルチンゲールであり，マルチンゲール表現定理から E^P^∗[_T

0 K_s²ds]<∞となる(Ft)-適合な確率過程が存在し M_tが M_t =M₀+

K_sdB_s

とあらわされる．ここで θ_t =K_t/σS_t, η_t=M_t−θ_tS_t とおき，φ = (η, θ)とすると V_t(φ) =η_t+θ_tS_t=M_t=M₀+

K_sdB_s

=M₀+ _t

σθ_sS_sdB_s

=M₀+ _t

θ_sdS_s. (∵(7.3))

これで，命題 7.1 を使えば φ= (η, θ)がself-ﬁnancing であることがわかるその価値過程は V_t(φ) =e^rtM_t =E^P^∗[e^−r(T^−t)H|F_t].

この表現から V_t(φ)は非負の2乗可積分マルチンゲールでV_T(φ) = H が成立している．これで複製できていることがわかった．

複製戦略

価格に関しては上の定理で求まっているが，ヘッジする立場から言えば複製戦略がきちんと求まっている必要がある．その表現を次に述べる．H は f(S_T)の形で与えられている場合を考える．f: (0,∞)→[0,∞は次の条件を満たしているものとする：c >0, k₁ >0, k₂ >0 が存在して

|f(x)| ≤c(1 +x)^k₁x^−k². このとき次を得る．

定理 7.4. H =f(S_T) の複製戦略φ = (η, θ)は次で与えられる:

θ_t=e^−r(T^−t)F_x(T −t, S_t) (7.10) η_t=e^−rT(F(T −t, S_t)−F_x(T −t, S_t)S_t). (7.11) ここで

F(T −t, x) = 1

√2π

f(xexp{σy√

T −t+ (r−σ²/2)(T −t)})e^−y²^/2dy.

証明 φを H の複製戦略とする．

S_t=S₀exp{(r−σ²/2)t+B_t}

であった．(S_t)は次を満たしていることに注意しよう: t > s のとき S_t=S_sexp{(r−σ²/2)(t−s) +σ(B_t−B_s)} このことに注意すれば

V_t(φ) = E^P^∗[e^−r(T^−t)f(S_T)|F_t]

=E^P^∗[e^−r(T^−t)f(S_texp{(r−σ²/2)(T −t) +σ(B_T −B_t))|F_t]

=e^−r(T^−t)F(T −t, S_t). (7.12)

ここで

F(T −t, x) =E^P^∗[f(xexp{(r−σ²/2)(T −t) +σ(B_T −B_t))]

= 1

√2π

f(xexp{σy√

T −t+ (r−σ²/2)(T −t)})e^−y²^/2dy

= 1 x

f(y)g(T −t, y/x, r−σ²/2, σ)dy.

但し，

g(t, z, α, β) = 1 βz√

2π exp

−(logz−αt)² 2βt

f の条件から F(T −t, x)は (t, x)について微分可能である．G(t, x) =F(t, e^rtx)とおけば V_t(φ) = V_t(φ)e^−rt =e^−rTG(t, e^−rtS_t) =e^−rTG(t, S_t).

ここで伊藤の公式を使うと

d(V_t(φ)) = e^−rTd(G(t, S_t))

=e^−rTG_x(t, S_t)dS_t+e^−rTG_t(t, S_t)dt+1

2e^−rTG_xx(t, S_t)dS, S_t

=e^−rTG_x(t, S_t)σS_tdB_t+e^−rTG_t(t, S_t)dt + 1

2e^−rTG_xx(t, S_t)σ²S²_tdt.

積分形で書けば

E^P^∗[e^−rTf(S_T)|F_t] =V_t(φ)

=E^P^∗[e^−rTf(S_T)] +e^−rT _t

G_x(t, S_t)σS_tdB_t

+e^−rT _t

0 {G_t(t, S_t) + 1

2G_xx(t, S_t)σ²S²_t}dt.

左辺はマルチンゲールなので，分解の一意性から G_t+ 1

2G_xxσ²x²＝0 が成り立っている．よって

V_t(φ) =E^P^∗[e^−rTf(S_T)] +e^−rT _t

G_x(t, S_t)dS_t

=E^P^∗[e^−rTf(S_T)] +e^−rT _t

e^rtF_x(t, S_t)dS_t. ここで G_x(t, x) =e^rtF_x(t, e^rtx)を使った．これと (7.8) の表現を比較して

θ_t=e^−r(T^−t)F_x(T −t, S_t) が分かる．さらに η はポートフォリオの定義

V_t(φ) = η_te^rt+θ_tS_t から

η_t=e^−rtV_t(φ)−e^−rtθ_tS_t

=e^−rte^−r(T^−t)F(T −t, S_t)−e^−rte^−r(T^−t)F_x(T −t, S_t)S_t

=e^−rT(F(T −t, S_t)−F_x(T −t, S_t)S_t).

これが求める結果である．

参考文献

[1] R. J. Elliott and P. E. Kopp, “Mathematics of financial markets,” Springer-Verlag, New York, 1999.

[2] I. Karatzas and S. E. Shreve, “Brownian motion and stochastic calculus,” Second edition, Springer-Verlag, New York, 1991.

[3] I. Karatzas and S. E. Shreve, “Methods of mathematical finance,” Applications of Mathemat-ics, 39, Springer-Verlag, New York, 1998.

[4] D. Lamberton and B. Lapeyre, “Introduction to stochastic calculus applied to finance,” Second edition, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2008.

[5] D. Revuz and M. Yor, “Continuous martingales and Brownian motion,” Third edition, Berlin-Heidelberg-New York, Springer-Verlag, 1999.

[6] R. J. Williams, “Introduction to the mathematics of finance,” Graduate Studies in Mathemat-ics, 72, American Mathematical Society, Providence, RI, 2006.

ドキュメント内 mf.dvi (ページ 47-53)