付録A 第2章の付録
A．1 臨界値の大小関係についての証明
証明を明快にするため、生産に参入していないプロジェクトの期待現在価値を v（x）＝BXβ
で表し、生産に参入しているプロジェクトの期待現在価値を w（x）＝AXα ＋・cx
で表す。ここで、A，B＞0で、α＜0、β＞1である。
投資コストを1とし、サルベージ価値をSとする。裁定の機会を排除するため、
∫＞Sでなければならない。
参入・撤退モデルでの参入の臨界値をXflとし、撤退の臨界値をXLとすると
112
付録A 第2章の付録
（A．5）式と（A．6）式からそれぞれ次の関数を定義する。
F（X）＝（β一α）AXα＋（β一1）OX一βf G（x）一（β一α）BX，B ＋（（．・・一・1）ox一αs
したがって、F（Xfl）＝O、 G（XL）＝0となる。（A，3）を利用すると F（X∫．）＝一β（1－S）＜0
（A．7）
（A．8）
となる。limx→o F（X）＝oc、 limx→． F（X）＝Oc、 F”（X）＝α（α一1）（β一α）Axa－2＞
0であるから、F（XL）＝一β（」－S）＜0により、 F（X）はX軸（横軸）と交差する凸 曲線である。その交点のどちかがX」1である。
同様に、（A．1）式を利用すると
G（XH）＝α（1－S）〈0
となる。limx→o G（X）＝一αS、 limx＿。c G（X）＝oc、 G”（X）・＝β（β一1）（β一 α）Bxx3－2＞OであるからG（XH）＝α（1－S）〈0より、 G（X）はX軸（横軸）
とで交差する凸曲線である。その交点のどちかがXLである。
ここで、F（X）はoc≧X＞XLの範囲でのみ定義され、 G（X）はO≦X〈XHの範 囲でのみ定義されいるので、XH＞XI．であるから、図A．1で示したように1、 F（X）
とG（X）は実線部分の値をとり、F（X）は正の傾きで横軸とXHで交差し、 G（X）は 負の傾きで横軸とXLで交差する。
他方、一一方的参入モデルでの臨界条件を考えてみる。…方的な参入モデルでの参入 の臨界点をXHoとすると、
Bxll。－CXH。－1 （A．9）
βBX｛｝〔｝＝OXHO （A．10）
となる。この2本の方程式から
x…一β≧、6 となる。したがって、
F（XI∬o）＝（β一α）A碍o＞0
となる。図A．1から分かるように、X＞XHときのみF（X）＞Oとなるので、 Xl∬o＞
XHとなる。
同様に、・・方的な撤退モデルでの撤退の臨界値をXLoとすると
Axtto十CXLO＿S＝O （A．11）
玉グラフの作成には標準ケースのパラメータ値を用いた。
F（．￥）、G（X）
15
12
9
6
玉
0
一3
F（x）
X
図A．1：参入と撤退の臨界条件
α．4×20十CXLO＝0 （A．12）
となり、
α s Xi・・＝α＿ii となる。したがって、
G（XLO）一（β一α）BX2。〉（）
となる。図A．1から分かるように、X〈XLときのみG（X）＞0となるので、 XLO＜XL
となる。
115
付録B 第4章の付録
B．1 補題1の証明
Z＝X／Yとし、III X＝z， lnγ＝y，III Z＝2とすると、
E（mar（（X－y，0））＝E（eY（e⊆1）1。＞o）
と書ける，，ここで、1。＞oは指標関数である。
εを平均が0、分散が陥の2と独立の正規確率変数とし、y＝α＋β2＋6とすると、
E（el（eZ －1）1。＞o）
＝exp（α十q2／2）［E（exp（（1十β）z）1z＞o）－E（exp（fiz）lz＞〔〕）］
となる。
：1；，、；Y，、zの平均をそれぞれ侮，々，μ。、分散をそれぞれσ…，％2，σLl、共分散をそれぞれ
axy． ， ageとする。
平均がμ、分散がσ2の正規確率変数’（IJと定数kについて、
E（ek”’1w＞。）＝・XP（kl・ ＋ k・2σ2／2）N（（μ＋kσ2）／σ）
であるから
exp（α十σ…／2）E（eXp（（1十β）勾13＞o）
＝eXp（α十（1十β）μ2十（1十β）2σL2／2十σ；2／2）N（（μ之十（1十β）σ》）／σz）
となる。
E［・xP（α＋（1＋β）・＋・）］一・xP（α＋（1＋β）μ。＋（1＋／ヲ）2σLe／2＋σ…／2）
であり、4x’＝α斗（1＋β）z＋εであるから
E［exP（α＋（1＋β）之＋ε）］＝E（X）
となる。
殉。＝tio－L4であり、σ。，y＝σ．。、y一σ；であるから、
μ。＋（1＋β）・…一μ⊂μ，＋・、，ザq，2＋・》
＝＝ tL：：＋・茎一（μ，＋・；）＋・i／2
となる，，
したがって、
・・P（α＋σ…／2）E（・XP（（1＋β）・）1。〉。）：：＝ E（X）N（d）
となる。
同様に
exp（α十σ…／2）E（exp（βz）1之＞o）
＝eXP（α＋σ12／2＋βμz＋β2σ婁／2）N（（μ2＋βσ》）／σ2）
となるので、
exp（α＋βμz＋β2σ》／2＋σ…／2）＝E［exp（α＋βz＋ε）］
であり、y＝α＋β之＋εであるから
exp（α十βμz→一β2σ》／2十σ～／2）＝E（y）
となる。
（μ。＋βσ》）／σ。一（（μ。＋（1＋β）σ》）／σ。）一σx
を利用すると
exp（α＋σ1？／2）E（exp（β2）1z＞o）＝E（γ）N（d一σz）
となる。 証明終
117
付録C 第5章の付録
C．1 補題2の証明
第4章の付録を参照。
C．2 補題3の証明
対数正規確率変数XとYについて、hn X＝x， ln Y ・yとする。正規確率変数：vとy の平均をそれぞれμ。，μy、分散をそれぞれσ三σ；、共分散をσ矧とする。定数ψ＝II1Ψ
とする。2変量確率変数の性質から、
E（arl：t／＝ψ）＝＝μ、，＋β（ψ一μy）， var＠ly＝ψ）＝σ…－／32σ12
となる。ここで、
β一・卿／σ12
である。したがって、
となる。
E（exp（．x）ly＝ψ） ＝exp（E＠1：tl＝ψ）十var（．T l y＝ψ）／2）
一・xp（μ。＋σ茎／2＋βψ一（β1・，＋β2σ12／2））
＝E（x）Ψβ／E（γβ）
証明終
付録D 第6章の付録
D．1 命題7の証明
（1，（2＝1，2，＿，、・n）が企業乞の均衡生産量であるならば、（6．1）式と（6．3）式から
晋P－・1－・6伍一・ （D・1）
が成り立つ。（D．1）式を乞について合計すると、n（P一ε）一εP＝0となり、均衡価格は δ
（D．2）
P＝
1一ε／n となる。企業↑の市場占有率y，＝9i／Qは（D．1）式から
2Yz＝η（1－Ci／P） （D．3）
となる。
1一ε〈竺く 1 仁ε／’n一ε一1一ε／n であれば、（D．3）式の坊は0≦’Y，1≦1となる］。
（6．1）式と（D．1）式から、Xt＝xのときの企業iの利潤は
rl、＝εy…P1一η必η （D．4）
となる、，
幾何ブラウン運動の性質から
醐IX・＋・・exp｛［μη＋；σ2η（η一1）］t｝
であるから
E・［f，°c・・x；1・酬x・一・1］
…ピ・元゜◇ex・｛［・・＋；σ2η（・－1）一輌
一醐［・－1σ2η（η一・）一μ・1〕 （D・5）
1ここで考えている寡占的競争市場は、この条件を満たしていると仮定している（脚注2参照）。
120 付録D 第6章の付録
となる。期待値が有限の値になるように、R＝’r－iσ2∫ノ（η一1）一μη＞0であると仮
定する，，（証明終）
D．2 参入順序と参入水準の関係についての証明
企業フがか番目に市場に参入し、企業んがη＋1番目に市場に参入する場合を考え る。命題1から企業1について
π，（n）＝・〃，（n）2P（・）1－77 となる。ここで
Cj yj（Tl・）＝η（1－
），
P（γt，）
7～ε P（’rt，） ＝ γ1、一ε
であり、ε＝；Σ；こ1である。猟η）とP（n）をπti（n）に代入し、整理すると
・」（’n）一・（γ↓ε÷ε）c・）2（γ三ε）7’＋1 （D・6）
となる，，
（D．6）式について対数をとり、さらにcフについて微分すると
∂1票φ）－2，二≡9÷（η＋・）÷ （D・7）
となる。rf場占有率y戊（n）の内点解の条件からCj／＠司〈1／（n一ε）となるので、ηε〉
（71，一ε）弓である。したがって、
∂1’rb7r3（’rt・）
〈0 ∂e．」
とあり、π」（n）はc．」の減少関数である。
Ckがcソに等しいと仮定したときの企業hについてのπk．（nヰ1）を毎（n＋1）で表
すと、
ft・（n ＋ 1）一η漂≡笥2（冤≒ε）7”－1（D・8）
と書ける。π★（n＋1）はCkの減少関数であり、 Cle＞Cjであれば、元★ぴ＋1）＞7rk（n＋1）
である。
拠）一巴≒cり2（’rt 十1一ε（n＋1）ε）”＋1 （D・9）
とし、生産コストが低い企業から順に参入するので、η王＋（㌦〉（n＋1巨であり、
ftk（n ＋ 1）〈πゴ（n＋1）となる、）（D．6）式の右辺と（D．9）式の右辺の異なる所を’mで表 すと
・，ぴ）一・（γ正一（’rt・・一・s γη、一子）c・）2（器ε）rl ’一 1 （D・6’）
となる。（D．6り式について対数をとり、mを連続変数として、γ〃について微分すると
∂1雲η）一識惣 （D・1・）
となる。m≧1で∂1γ砺ぴ）／∂m＜0となり、π．」（η）はmの減少関数である。したがっ
て、πゴ（n）〉π」（n＋1）である。
上の議論を総合すると、次の関係式が成り立つ。
πk （n ＋1）＜旭（n＋1）＜元ソ（n十1）＜π」（n）
投資コストがすべての企業について等しく1とすると、生産コストが低い企業から順
次に参入した場合、1／7rj （n）＜1／πk（n＋1）となり、 x7、＜．Tn ＋1が成り立つ。
123
付録E 第7章の付録
E．0．1 （7．4）式の導出
n 」k土の企業が市場に参入したときに、4漁＝1，2，．．
ると、企業iの利潤は
nη．zぴ）＝（P－cD （lz
となる。P＝魂一εであり、 Qはη社の企業の総供給量である。そのときに ∂震ユーP－ed－・6俵一・
価格は
P＿Σ窪Ic・
η、一ε となる。企業1の市場占有率yz＝（lf．／Qは（E．2）式から y、＝η（1－ Ci／1））
となる。
1一ε Ci 1 万＝言≦Σ；こ1G≦’n＿ε であれば1、（E．4）式の’yiは0≦y，≦1となる。
（E．1）式と（E．2）式から、Xt＝zのときの企Xl ，；の利潤は n。，，ω＝・汐1一η〆v
となる。（E3）式と（E．4）式を（E．5）式に代入すると、（7．4）式を得る。
E．0．2 （7．6）式の導出 幾何ブラウン運動の性質から
X間・XP［（η・一呈σ2）・＋或鵬］
1ここで考えている競争市場は、この条件を満たしていると仮定する。
，，n）を企業’iの均衡生産量とす
（E．1）
（E．2）
が成り立つ。（E2）式をiについて合計すると、 nP一Σ；㌔cz一εP＝0となり、均衡
（E3）
（E．4）
（E．5）
Zt－Z・e・・←T－ i・》）t一砺£蝿
となるので、
E・［Z，XZ・IX・一・・Z・－1］－u・’・exp｛［（μ一・・a・）・＋1σ2η（・－1）］t｝
となる。これから
E・鵬゜CZ・π叩X；・dflX・－x，Z・－1
一砲・L。aC exp｛［（1・・一ρ・az）η÷2η（η一1）・一・・］・｝dt
－・n，i aY］／［弓σ2η（’・1・一・1）一（・一ρσσ・）η］ （E・6）
となる。期待値が有限の値になるように、R＝γ一▲σ2η（η一1）一 （Pt 一 pσσz）η＞Oで あると仮定する。
125
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