(=0) ρ= cons t

yielding scale

εmax.

p FEM

=

C

ons

t

Large

(=0)

4 3

3 . 3 有限要素解析方法

大規模降伏後における一点の塑性ひずみとき裂先端および切欠き 底付近の塑性ひずみ場を調べるために， 有限要素法を用いた。 有限 要素解析の手順を図3-2に示す。 本研究で使用した有限要素解析の

概要に ついて以下に説明する。

( 1 )支配方程式

本有限要素解析は変位法に基づいており， 剛性マトリ ッ ク スを介 して荷重と変位が関係づけられる。 荷重一変位関係は次のように表 される。

K u

-

^{f ( 3 - 1 )}

L L で， _K は剛性マトリ ッ ク ス， _u は変位ベクトル， _f は荷

重ベクトルである。

変位と荷重のどちらにも既知の境界条件が与えられているものと

すれば， _{(3 - 1} ) は次のように書き直すこ とができる。

‘、E〉E，，

sis­rzqt、

一一

‘、.、r-s'

u u

，，EJ、目、、 、EaaEEEJ

K

K ( 3

-

^{2 )}

こ こ で _U 1， _f 1， _U 2 ， _f 2はそれぞれ未知の変位， 既知の荷重，

既知の変位， 未知の反力ベクトルである。

ε e 1 _{=β U} e 1 ( 3 - 3 )

応力は応力一 ひずみ関数 L により， 次式で得られる。

a e 1 ₌ L ε el _{(3 - 4)}

こ こ でσ e 1 ， ε いは要素内の応力とひずみ， _U e 1はその要素を構 成する節点の変位ベクトルである。

( 2 )要素剛性マト リ ッ ク スと全体形

前項における全体形でのマト リ ッ ク スは， 要素マト リ ッ ク スを集 めたものである。 例えば全体剛性マト リ ッ ク ス K は， 要素剛性マ ト リ ッ ク ス K を用いて次のように表される。

K =

i f :

( 3

-

^{5 )}

こ こ で n は形全体における要素の個数である。 全体剛性マト リ ッ ク スは対称で， バン ド化された性質を持 っている。

要素剛性マト リ ッ ク スは次式で作成される。

K _L

J

V lβ T Lβd ^V e 1 ( 3 - 6 )

こ こ でV e 1は要素の体積， βはひずみー節点変位関係， L は応力 一 ひずみ関係であり， 次式のように表される。

ε =β u ( 3 一 7 )

σ = L ε (3 - 8 )

一方， 質量マト リ ッ ク スは次式で作成される。

V

AU

N

P

T N

WV PZEEtw

ー =

M

( 3 - 9 )

こ こ で N は形状関数， p は質量密度である。

本有限要素解析は， (3 一 6)， (3 - 9)における積分を数値 積分で行 っているo 要素剛性マト リ ッ ク スに関しての積分は， 完全 なものと低次なものとの2種類がある。 質量マト リ ッ ク スはつねに

完全に積分されている。

4 5

( 3 )材料非線形

M a r c a 1 とK i n g (14)により， 塑性に対する正確な有限要

素解析手法が初めて明らかにされた。 この方法では増分ス テ ッ プの 開始時に弾性域にあ って， 終了時には塑性域にあるような遷移領域 の材料応答を考慮している。 要素内の各積分点でそれぞれ異なる材 料応答が可能となるよう， 本有限要素解析では数値積分が行われて いる。

また， 本有限要素解析では， R i c e と T r a c y による平均剛 性法( 1 ⁶ )が使用されている。 この方法では， 増分ス テ ッ プの終了時

の応力は降伏曲面上にあることが保証され ， また無条件安定である。

本有限要素解析では ， フ ォ ン ・ ミ ー ゼス の降伏曲面を使用している。

( 4 )幾何学非線形

本有限要素解析では平面応力要素を使用しており 幾何学非線形 問題の解析ではア ッ プデ ィ ト ・ ラ グ ラ ン ジ ェ法を用いている。

( 5 )非線形方程式の計算手法

非線形問題では増分解法が用いられる。 支配方程式は， 次のよう な増分形式で表すことができる。

K • d u =d f ( 3 ^- 1 0 )

ここでduは増分変位ベクトル， d f は増分荷重ベクトルである。

非線形方程式の解を求める手法として ， ニ ュ ー ト ン ・ ラプソ ン法，

修正ニ ュ ート ン ・ ラプソ ン法， ひずみ修正法， シ ー カ ント法， 直接 代人法などがあり， 本有限要素法解析ではニ ュ ー ト ン ・ ラプソ ン法 を使用している。 本法は2次の収束性を有している。 すなわち繰り 返し計算において相対誤差は2乗のオ ーダで減少する。 材料非線形 性が依存する場合は収束が遅くなる可能性がある。

以下の方程式を考える。

1 (u ) = f

K (u)du= f - 1 (u)

( 3 - 1 1 ) ( 3 - 1 ² )

こ こで u は節点変位ベク トル， f は節点外荷重ベク トル， 1 は内 部応力から得らえれる節点内力ベク トル， K は接線剛性マト リ ッ ク スである。 節点内力ベク トルは次式で計算される。

( 3 - 1 3 )

これらの方程式はニ ュ ー ト ン ・ ラプソ ン法を使用する ことが適切 である ことを示俊している。 最後に得られた近似解を u (()とおく。

こ こで(i )は繰返し計算の数である。 (_{3 - 1} 2 ) は次のように表 すことができる。

K (u 【() ) δu= f - I (u (()) _{( 3 - 1 4} )

δ u に ついて解き， 新しい近似解が次式で得られる。

U (1+1)= u (()+ δu (3 - 1 5)

以上が繰り返し計算の手順であり， これが繰り返される。

ー ュ 一 ト ン ・ ラプソ ン法では1回の繰り返し計算で， 剛性マト リ ッ ク ス K ( u ) の作成と分解が必要である。 ニ ュ ー ト ン ・ ラプソ ン 法では繰返し計算で同じ剛性マト リ ッ ク ス を使用する。 すなわち，

( 3 - 1 ⁴ ) は次のようになる。

K (u (0)) δu= f - I (u (()) _{( 3 - 1 6 )}

本有限要素解析では各増分ス テ ッ プの初めにおいて剛性マト リ ッ ク スの作成を行う。

4 7

( ⁶ )収束 コ ン トロ ー ル

本有限要素解析でのデフ ォ ルトの収束判定方法は， 最大残差荷重 を最大反力と比べるものである。 残差荷重が最小化されるべき不釣 合力を意味することから， この方法による判定は適切なものといえ る。 さらに ニ ュ ー ト ン法による計算は， 荷重項がゼロ である繰り返

し計算を行 って残差を小さくしようとするものであるから， この方 法が適切であることが分かる。 この方法では繰り返し計算を行わ な い場合でも， 収束の判定が可能であるという利点が存在する。 本有 限要素解析での収束判定条件は|最大残差力1/1最大反力I _{< o.}

o 2とした。

( 7 )大変形問題

幾何学非線形性は構造物の挙動を変化させる効果と， 構造物の安 定性を失わせる効果の2 つの性質を持 っている。

大変形問題は大きく2 つに分けられる。 第1 は微小ひずみ大変形 問題であり， 第2 は大ひずみ大変形問題である。 微小ひずみ大変形 問題では， 応力一 ひずみ関係に対する大変形の影響は無視すること が出来るが， ひずみ一変位関係での非線形項を無視することはでき ない。 一方， 大ひずみ大変形問題では構成則も適切な基準状態で定

義されなければならず， また釣合い式が作られている基準状態への 適切な変換を受けねばならない。

ラグラ ン ジ ェ法には ト ー タル ・ ラグラ ン ジ ェ法と， ア ッ プデイ ト

・ ラグラ ン ジ ェ法の2 つの方法がある。 ト ー タル ・ ラグラ ン ジ ェ法

では メ ッ シ ュ分割の座標値は変形後も同じままであるが， ア ッ プデ イ ト ・ ラグラ ン ジ ェ法では各イ ン ク リ メ ン トの終了時点で， メ ッ シ ェ分割の座標値が更新される。 本有限要素解析ではア ッ プデ ィ ト ・ ラグラ ン ジ ェ法を用いている。

節点荷重をP， 仮想、変位をδ u とおくと仮想仕事の原理は次のよ うに表される。

δu. p

V

AU v

d

T σ σ

n'aEEEEW RSEEEE-u wv wv po po ε

u β

( ₃

-

^{1 7 )}

積分は変形前の体積Vに対して行なう。

( 3

-

^{1 7 )を増分形で表し，} 両辺の仮想変位を除くと，

ムP

= _J

_{vムβTσ dV +}

_J

vムβTL βdVム u ( 3

-

^{1 8 )}

( 3

-

1 8 )の右辺第2項は， 現在の変位に依存する項と依存しな

い項に分けられる。 整理をすると， 次のような要素剛性マト リ ッ ク スが得られる。

K K 1+ K 2+ K D ( ₃

-

^{1 9 )}

こ こ で K lは ( ₃

-

^{1 9} )の右辺第 1 項から得られる初期応力マ トリ ッ ク ス， K 2は初期変位マトリ ッ ク ス， k oは微小変位剛性マト リ ッ ク スである。

要素の剛性マト リ ッ ク スと節点力は通常の方法で全体系へ組み込 まれて全体系の釣合式が得られる。

L.P ( K 1+ K 2+K D)ムu ( ₃

-

^{2 0 )}

( 8 ) ア ッ プデイト ・ ラグラ ン ジ ェ法

ア ッ プデイト ・ ラグラ ン ジ ェ法を用いた場合は， 要素の剛性は変

形した現在の形状に対して作成される。 応力とひずみの出力は， _更 新された形状の要素の座標系で行われる。 ア ッ プデイ ト ・ ラグラ ン

ジ ェ法は， 以下の2種類の解析に有効である。

4 9

a ) 回転角が大きく曲率の表現における非線形項の影響を無視で きないような シ ェ ルやはり構造の解析

b ) 塑性変形が微小とはみなせず， 大ひずみ塑性問題となる解析

本有限要素解析では， ア ッ プデイ ト ・ ラグラ ン ジ ェ法を大変形解

析に使用することができる。 この場合では， 各イ ン ク リ メ ン ト での 初期状態が新しい ラグラ ン ジ ェ系の基準状態として扱われる。 有限 の塑性ひずみを考慮する事が必要な場合は， 真応力(σ)と変形速度 ( D ) が使用される。 単軸状態における変形速度の積分は対数ひずみ となるので，応力一ひずみ関係を入力する際には真応力と対数ひずみ で行う。 応力一 ひずみ関係が工学応力(S B)と工学ひずみ(ε B)で与 えられている場合には， 以下の関係が成立する。

真応力 a = P/A = P/A o・ A 0/ A = A 0/ A • S B ( 3 - 2 1 ) 対数ひずみ ε =しn [1+u/Lo] =しn( ₁ +ε B) ( 3 ^- 2 2 ) 非圧縮材料あるいはそれに近い材料では， 次式を仮定できる。

A (1+ε B) = _A 0 ( 3 ^- 2 3 )

以上により真応力は次のように表すことができる。

a - (1 +ε S)S B (3 - 2 4)

ア ッ プデイ ト ・ ラグラ ン ジ ェ法は， 非弾性挙動〈塑性， 粘塑性，

クリー プなど) を示す構造物の解析 に用いることができる。

( 9 )等方性材料に対する降伏条件

δ = {(σ 1一σ2 ) 2 + (σ 2 -σ 1 ) 2 + (σ 喜一σ 1)2} 1/2/，[τ

( 3 ^- 2 5 ) ここで、 σ ぃσ z、 a 1は主応力である。 主応力でなく応力成分で表 すと

σ = {(σ x-σ 7' ) 2 + (σ y一σ J: ) 2 + (σ x -σ x ) 2

+

⁶

(τし+τ人+τ:J}1/う/

^{J"τ ( 3 - 2 6 )}

材料が弾性挙動を示すか塑性挙動を示すかを分ける応力の大きさ が降伏応力であり， 一般には単軸試験からその値は得られる。 しか し構造物内の応力は一般に多軸状態であり， 多軸状態下での降伏応 力を表すものが降伏条件と呼ばれるものである。 多軸状態下の応力 をどのように扱うかによ って， 数多くの降伏条件が存在する。 たと えばすべての応力成分に依存するものと仮定するか， せん断応力の みに依存するか， 静水圧に依存すると仮定するかに よ って異な った ものとなる。 本有限要素解析では フ ォ ン ・ ミ ー ゼスの降伏条件を使

用している。

フ ォ ン ・ ミ ー ゼスの降伏条件

提案されている数多くの降伏条件の中で， 最も良く使用されてい るものは フ ォ ン ・ ミ ー ゼスの降伏条件である。 その理由は降伏条件

を与える関数が連続であることと， 一般に使用されている延性材料 の挙動と一致することによる。 フ ォ ン ・ ミ ー ゼスの降伏条件では ，有

効な応力〈相当応力σ)が単軸試験で得られた降伏応力σ y と等し い場合に材料は降伏する。 図3 - 3は フ ォ ン ・ ミ ー ゼスと ト レ ス カの降 伏曲線を表したものである。

ドキュメント内 き裂と切欠きにおける大規模降伏条件下の力学的厳 しさの尺度 (ページ 48-62)