9 Wirtinger 不等式

系 8.3. exp(A(n)) =SO(n)．

証明. ⁶系5.6よりexp(A(n))⊂SO(n)．定理4.1より，任意のg ∈SO(n) に対して，h∈SO(n)が存在して，

g =h













cosθ₁ −sinθ₁ sinθ₁ cosθ₁

. ..

cosθ_m −sinθ_m sinθ_m cosθ_m

(1)













th

ここで，

X =













0 −θ1

θ₁ 0 . ..

0 −θ_m θm 0

(0)













とおくと，X ∈A(n)．よって，hX^th∈A(n)であり，

exp(hX^th) =h(expX)^th=g.

はCⁿの係数体をRに制限した実ベクトル空間の基底になる．R²ⁿの標準 基底を{e₁,· · · , e_n, e_n+1,· · · , e_2n}と表し，ie_j =e_n+j (1≤j ≤n)と同一 視すると，R上ベクトル空間CⁿはR²ⁿと同一視される：

Cⁿ=Ce₁⊕ · · · ⊕Ce_n =Re₁⊕ · · · ⊕Re_n⊕Rie₁⊕ · · · ⊕Rie_n=R²ⁿ すなわち，

Cⁿ↔R²ⁿ;





x₁+iy₁ ... x_n+iy_n



↔











 x₁

... x_n y1

... y_n













(x_j, y_j ∈R)

と同一視している．Cⁿの演算v 7→ iv からR²ⁿに複素構造J が誘導さ れる：

J e_j =ie_j =e_n+j, J e_n+j =i²e_j =−e_j (1≤j ≤n) 行列表示では

J = (

O −E_n En O

)

R²ⁿの標準内積を⟨, ⟩と表す．

u=

∑n j=1

x_je_j+

∑n j=1

y_jie_j, v =

∑n j=1

x^′_je_j +

∑n j=1

y_j^′ie_j ∈R²ⁿ に対し，

⟨u, v⟩=

∑n j=1

(x_jx^′_j +y_jy_j^′) ここで，

J u=−

∑n j=1

y_je_j +

∑n j=1

x_jie_j, J v=−

∑n j=1

y_j^′e_j +

∑n j=1

x^′_jie_j

だから，⟨J u, J v⟩ = ⟨u, v⟩．すなわち，J ∈ O(2n)．特に，∥J u∥ =∥u∥． また，

⟨J u, u⟩=⟨J²u, J u⟩=−⟨u, J u⟩=−⟨J u, u⟩

より，⟨J u, u⟩ = 0が得られる．次に同一視Cⁿ = R²ⁿの下でU(n)のCⁿ への作用をR²ⁿへの作用として書けば

U(n)∼= {(

A −B

B A

)

A+iB ∈U(n), A, B ∈M_n(R)

}

⊂O(2n)

が得られる．特にU(n)のR²ⁿへの作用は標準内積⟨, ⟩を保つ．U(n)の Cⁿへの作用は複素線形だから，任意のg ∈U(n)についてgJ =J gが得 られる．u, v ∈R²ⁿに対し，Ω(u, v) =⟨u, J v⟩とおくと，

Ω(u, v) =⟨u, J v⟩=⟨J u, J²v⟩=−⟨J u, v⟩=−Ω(v, u)

となり，ΩはR²ⁿ上の交代形式になる．Ωを(R²ⁿ, J,⟨ , ⟩)のケーラー形 式という．u, v ∈R²ⁿに対し，

Ω(J u, J v) = ⟨J u, J²v⟩=⟨u, J v⟩= Ω(u, v) よって，ΩはJ-不変である．u, v ∈R²ⁿ, g ∈U(n)に対し，

Ω(gu, gv) = ⟨gu, J gv⟩ (Ωの定義)

=⟨gu, gJ v⟩ (J g =gJ)

=⟨u, J v⟩ (g ∈U(n)⊂O(2n))

= Ω(u, v) (Ωの定義)

よって，ΩはU(n)-不変である．u, v ∈R²ⁿとする．シュワルツの不等式 より

0≤ |Ω(u, v)|=|⟨u, J v⟩| ≤ ∥u∥∥J v∥=∥u∥∥v∥

∥u∥=∥v∥= 1のとき，0≤ |Ω(u, v)| ≤1であり，

|Ω(u, v)|= 1⇔J v =±u,

|Ω(u, v)|= 0⇔u⊥J v

R²ⁿ内のk次元実部分空間全体のなす集合G^R_k(Cⁿ)はGrassmann多様体 と呼ばれている．ユニタリー群U(n)の Cⁿへの自然な作用はG^R_k(Cⁿ)へ の作用を誘導する：g ∈U(n), V ∈G^R_k(Cⁿ)に対して，gV ={gv|v ∈V}． V ∈G^R_k(Cⁿ)が複素部分空間であるとは，J V =V となるときを言う．この とき，kは偶数である．V ∈G^R_k(Cⁿ)が全実部分空間であるとは，J V ⊥V となるときを言う．これらはU(n)-不変な概念である：V が複素部分空間

ならば，任意のg ∈ U(n)に対して，gV も複素部分空間であり，V が全 実部分空間ならば，gV も全実部分空間である．

u₁,· · · , u_2m ∈Cⁿに対し，Ω^m(u₁,· · · , u_2m)∈Rを Ω^m(u₁,· · · , u_2m) := 1

2^m

∑

σ∈S2m

sgn(σ)Ω(u_σ(1), u_σ(2))· · ·Ω(u_σ(2m−1), u_σ(2m)) と定める．ここで，S_2mは2m次対称群である．

V ∈G^R_2m(Cⁿ)の正規直交基底{u1,· · · , u2m}をとり，

|Ω^m|(V) := |Ω^m(V)|=|Ω^m(u₁,· · · , u_2m)| ≥0

とおく．次の命題は|Ω^m|(V)の定義がwell-definedであることを示して いる．

命題 9.1. |Ω^m|(V)の定義はV の正規直交基底{u₁,· · · , u_2m}の取り方に よらない．

証明. {v₁,· · · , v_2m}をV の他の正規直交基底とすると，g = (g_ij)∈O(2m) が存在して，

(v₁,· · · , v_2m) = (u₁,· · · , u_2m)g すなわち v_j =

∑2m i=1

g_iju_i gの第i行をg_iと表すと，

2^mΩ^m(v₁,· · · , v_2m)

= ∑

σ∈S2m

sgn(σ)Ω(v_σ(1), v_σ(2))· · ·Ω(v_σ(2m−1), v_σ(2m))

= ∑

σ∈S2m

∑

i1,···,i2m

sgn(σ)g_i1σ(1)· · ·g_i2mσ(2m)Ω(u_i1, u_i2)· · ·Ω(u_i2m−1, u_i2m)

= ∑

i1,···,i2m

g_i1 ... gi2m

Ω(u_i1, u_i2)· · ·Ω(u_i2m−1, u_i2m)

ここで，i1,· · · , i2m の中に同じものがあれば，

g_i1 ... g_i2m

= 0となるから，

i₁,· · · , i_2mは互いに異なるものについてのみ和をとればよい．よって，

2^mΩ^m(v₁,· · · , v_2m)

= ∑

σ∈S2m

sgn(σ)Ω(v_σ(1), v_σ(2))· · ·Ω(v_σ(2m−1), v_σ(2m))

= ∑

τ∈S2m

g_τ(1) ... g_τ(2m)

Ω(u_τ(1), u_τ(2))· · ·Ω(u_τ(2m−1), u_τ(2m))

=|g| ∑

τ∈S2m

sgn(τ)Ω(u_τ(1), u_τ(2))· · ·Ω(u_τ(2m−1), u_τ(2m))

= 2^m|g|Ω^m(u₁,· · · , u_2m)

|g|=±1だから主張が得られる．

例 9.2. V ∈G^R₂(Cⁿ)に対し，V の正規直交基底{u, v}をとる．このとき，

0≤ |Ω(u, v)| ≤1であり，

|Ω(V)|= 1⇔V = span_R{u,±J u}=Cu (複素部分空間),

|Ω(V)|= 0⇔V ⊥J V (全実) θ ∈[0, π/2]に対し，

V(θ) :=Re₁⊕R(icosθe₁+ sinθe₂)∈G^R₂(Cⁿ) とおく．

例 9.3. 任意のV ∈G^R₂(Cⁿ)に対し，g ∈U(n)とθ ∈[0, π/2]が存在して，

gV =V(θ)．

また，θ1, θ2 ∈[0, π/2]に対し，g ∈U(n)が存在して，V(θ1) = gV(θ2) となったとすると，θ₁ =θ₂．

証明. (後半)g ∈U(n)が存在して，V(θ₁) =gV(θ₂)となったとすると cosθ₁ =|Ω(V(θ₁))|=|Ω(gV(θ₂))|=|Ω(V(θ₂))|= cosθ₂ θ₁, θ₂ ∈[0, π/2]だから，θ₁ =θ₂．

(前半) V ∈ G^R₂(Cⁿ)の正規直交基底を{u, v}とする．U(n)はS²ⁿ⁻¹ ⊂ Cⁿに推移的に作用するから，g₁ ∈ U(n)が存在して，g₁u = e₁．このと

き，{e₁, g₁v}はg₁V の正規直交基底になる．U(n−1)と同型なU(n)の 部分群

U(n−1)∼= {(

1 0 0 g

)g ∈U(n−1) }

⊂U(n)

はS²ⁿ⁻³ ⊂U(n−1)に推移的に作用するから，g₂ ∈U(n−1)(⊂U(n))が 存在して，

g₂g₁v =



 ia

b 0



∈Cⁿ (b≥0, a∈R, a²+b² = 1)

と表示される．g :=g₂g₁ ∈U(n)とおくと，{e₁, gv}はgV の正規直交基 底である．θ ∈[0, π]が存在して，

gv =



 icosθ

sinθ O



∈Cⁿ

もしπ/2< θ≤πのときは，

g₃ :=

(−1

En−1

)

∈U(n) だから，

g₃gV = span_R





−e₁,





−icosθ sinθ

0









= span_R





e₁,





icos(π−θ) sin(π−θ)

0











となり，証明が完成した．

上の例より，U(n)のG^R₂(Cⁿ)への作用の軌道空間について U(n)\G^R₂(Cⁿ) = {U(n)V(θ)|θ ∈[0, π/2]} ∼= [0, π/2]

例 9.4. 2m≤nとする．組θ = (θ1,· · ·, θm)∈[0, π/2]^m に対してV(θ)∈ G^R_2m(Cⁿ)を

V(θ) = ⟨e₁, icosθ₁e₁+sinθ₁e₂⟩_R⊕· · ·⊕⟨e_2m−1, icosθ_me_2m−1+sinθ_me_2m⟩_R

と定めると 1

m! |Ω^m(V(θ))|= cosθ₁· · ·cosθ_m ≤1

= 1 ⇔V は複素部分空間.

θ= (0,· · ·,0)のとき，V(θ)はCⁿの複素部分空間であり，θ = (π/2,· · · , π/2) のとき，V(θ)は全実部分空間となる．

証明. 1≤j ≤mに対して，

u_2j−1 =e_2j−1, u_2j =icosθ_je_2j−1+ sinθ_je_2j

とおくと，Ω(u_2j−1, u_2j) = −Ω(u_2j, u_2j−1) = −cosθ_j であり，その他の j, kに対して，Ω(u_j, u_k) = 0となる．Ω^m(u₁,· · · , u_2m)の定義より

Ω^m(u1,· · · , u2m) = 1 2^m

∑

σ∈S2m

sgn(σ)Ω(u_σ(1), u_σ(2))· · ·Ω(u_σ(2m−1), u_σ(2m))

= ∑

σ∈S2m,σ(2j−1)<σ(2j)

sgn(σ)Ω(u_σ(1), u_σ(2))· · ·Ω(u_σ(2m−1), u_σ(2m))

= ∑

σ∈S2m,σ(2j−1)+1=σ(2j)

sgn(σ)Ω(u_σ(1), u_σ(2))· · ·Ω(u_σ(2m−1), u_σ(2m))

{1,3,· · · ,2m−1}上の全単射の全体のなすm次対称群をS_mと表すと，

sgn(τ(1), τ(1) + 1,· · · , τ(2m−1), τ(2m−1) + 1) = sgn(τ)² = 1 だから，

Ω^m(u₁,· · · , u_2m) = ∑

τ∈Sm

Ω(u_τ(1), u_τ(1)+1)· · ·Ω(u_τ(2m−1), u_τ(2m−1)+1)

=m!Ω(u₁, u₂)· · ·Ω(u_2m−1, u_2m)

=m!(−1)^mcosθ₁· · ·cosθ_m 0≤θj ≤π/2だから

1

m!Ω^m(V)

= cosθ₁· · ·cosθ_m ≤1

= 1 ⇔V は複素部分空間.

田崎博之([5])は次を示した．

定理 9.5. 2m ≤ nとする．任意のV ∈ G^R_2m(Cⁿ)に対し，g ∈ U(n)と θ= (θ₁,· · · , θ_m), 0≤θ₁ ≤ · · · ≤θ_m ≤π/2が存在して，gV =V(θ).

証明. {u₁,· · · , u_2m} を V の正規直交基底とする．この正規直交基底は 複素構造と無関係なので必ずしもよい基底とは言えない．そこで交代行 列の標準形の議論をケーラー形式に適用することにより複素構造を反映 したよい正規直交基底を取り直す．2m 次交代行列 (Ω(u_i, u_j))_1≤i,j≤2m を 直交行列で標準形にすることを考えると，V の正規直交基底

{u₁,· · · , u_m, u_m+1,· · · , u_2m} で次の条件を満たすものが存在することが示される：

Ω(u_i, u_j) = Ω(J u_i, J u_j) = 0 (1≤i, j ≤mまたはm+ 1 ≤i, j ≤2m), Ω(u_i, u_m+j) = a_iδ_ij (a_i ∈R,1≤i, j ≤m)

ここで，後述の補題 9.6を用いた．このとき，

V =

∑m j=1

span_R{u_j, u_j+m},

span_R{u_j, u_j+m} ⊂ {u_j, J u_j, u_j+m, J u_j+m}_R=Cu_j+Cu_m+j, j ̸=kのときCu_j+Cu_m+j ⊥Cu_k+Cu_m+k

ここで，Cu_j+Cu_m+jは直和とは限らない．例えば，u_m+j =±u_jのとき，

Cu_j+Cu_m+j =Cu_j. Cu_j+Cu_m+jは複素2次元または複素1次元の複素 部分空間になる．これらの次元の和は

∑m j=1

dim_C(Cu_j +Cu_m+j)≤2m ≤n= dim_CCⁿ

を満たす．系4.5より，g ∈SU(n)(⊂U(n))が存在して，任意の1≤j ≤m に対して，

g(Cu_j +Cu_m+j)⊂Ce_j⊕Ce_m+j

が成り立つ．⁸以下，混乱の恐れのない限りV ∈G^R_2m(Cⁿ)とgV (g ∈U(n)) とを同一視する．gV, gu_jをそれぞれ新たにV, u_jとおくと，

V =

∑m j=1

span_R{uj, uj+m}, Cuj +Cum+j ⊂Cej ⊕Cem+j (1≤j ≤m)

8この部分までで，この証明は勝負あった！となっている．

SU(2)-作用を考えることにより，u_j =e_j (1≤j ≤m) としてよい：

V =

∑m j=1

span_R{e_j, u_j+m}, u_j+m ∈Ce_j⊕Ce_m+j

e_j ⊥u_j+mより，u_j+m ∈Rie_j⊕Ce_m+j．U(1) =U(Ce_m+j)-作用を考える ことにより，

u_j+m = (cosθ_j)ie_j + (sinθ_j)e_m+j (0≤θ_j ≤π)

としてよい．e_j 7→ −e_j は U(1)-作用なので，0 ≤ θ_j ≤ π/2 としてよい．

{1,· · · , m},{m+ 1,· · · ,2m} の置換S_m×S_m は自然にU(2m)-作用に拡 張されるので，0 ≤ θ₁ ≤ · · · ≤θ_m ≤π/2 とすることができる．よって，

任意のV ∈G^R_2m(Cⁿ) に対して，g ∈U(n)と0≤θ₁ ≤ · · · ≤θ_m ≤π/2が 存在して，

gV =

∑m j=1

{e_j,(cosθ_j)ie_j+ (sinθ_j)e_k+j}R

となる．

補題 9.6. ω :Rⁿ×Rⁿ →Rを交代線形写像とする．Rⁿの正規直交基底 {u₁, . . . , u_n}に対して，n次交代行列(ω(u_i, u_j))_1≤i,j≤nを考える．直交行 列g ∈O(n)に対して，

tg(ω(u_i, u_j))_1≤i,j≤ng = (ω(gu_i, gu_j))_1≤i,j≤n 証明. gu_i =

∑n j=1

g_jiu_j と表示する．このとき，

ω(gu_i, gu_j) =∑

k,l

g_kig_ljω(u_k, u_l) = ∑

k,l

g_kiω(u_k, u_l)g_lj よって主張が得られる．

定理 9.7 (Wirtinger不等式). ([2, Lemma 6.13], [3, Lemma 7.18]) V ∈ G^R_2m(Cⁿ)に対して，

1

m!Ω^m(V) ≤1

= 1⇔V は複素部分空間(J V =V).

証明. U(n)のR²ⁿへの作用は複素線形で計量を保つから，g ∈ U(n)と V ∈ G^R_2m(R²ⁿ)に対して， ¹

m!Ω^m(gV) = ¹

m!Ω^m(V)となる．そこで主 張を示すためには，V =V(θ₁,· · · , θ_m)の形であると仮定して一般性を失 わない．例 9.4から主張が従う．

参考文献

[1] A. L. Besse, Einstein manifolds, Springer-Verlag, (1987).

[2] R. Harvey and H. B. Lawson, Jr., Calibrated geometries, Acta Math., 148 (1982), 47–157.

[3] R. Harvey, Spinors and calibrations, Academic Press (1990).

[4] B. O’Neill, Semi-Riemannian geometry with applications to relativ-ity, Academic Press, (2010).

[5] H. Tasaki, Generalization of K¨ahler angle and integral geometry in complex projective spaces, Steps in Differential Geometry, (De-brecen, 2000), 349–361, Inst. Math. Inform. , De(De-brecen, 2001;

http://www.emis.de/proceedings/CDGD2000/pdf/K Tasaki.pdf.

[6] 岩堀長慶編，線形代数学，裳華房

[7] 笠原晧著，微分方程式の基礎，朝倉書店 [8] 三宅敏恒著，入門線形代数，培風館

[9] https://rms2005.org/subtext data/pdf/0020 20180914/ms0020.pdf 立命館大学理工学部数学学修相談会，簡約行列の一意性，2018年10 月4日,

問題解答 （一部の問題のみ）

問題 3.2. m, nをm≤nとなる自然数とする．

(1) 写像

i:K^m →Kⁿ;x7→

( x 0

)

は単射線形写像であることを示せ．また，iの表現行列を求めよ．

(2) 写像

p:Kⁿ→K^m;











 x₁

... xm

x_m+1 ... x_n











 7→



 x1

... x_m





は全射線形写像であることを示せ．また，Ker(p)を求めよ．さらに pの表現行列を求めよ．

(3) 合成写像p◦i:K^m →K^mとi◦p:Kⁿ →Kⁿのそれぞれの表現行 列を求めよ．

証明. (1) x,y ∈K^m, a, b∈Kに対し，

ι(ax+by) = (

ax+by 0

)

=a (

x 0

) +b

( x 0

)

=aι(x) +bι(y) ゆえにιは線形写像である．

x,y∈K^mに対し，

ι(x) = ι(y)⇔ (

x 0

)

= (

y 0

)

⇔x=y ゆえに，ιは単射である．

標準基底に関するιの表現行列は (

Em

O_n−mm )

(2) Kⁿの元をm次列ベクトルとn−m次列ベクトルを縦に並べ (

x x^′

) ,

( y y^′

)

∈K^m (x, y ∈K^m, x^′, y^′ ∈K^n−m) と表す．a, b∈Kとすると，

p (

a (

x x^′

) +b

( y y^′

))

=p (

ax+by ax^′+by^′

)

=ax+by

=ap (

x x^′

) +bp

( y y^′

)

ゆえに，pは線形写像である．任意のx∈K^mに対し，

p (

x 0

)

=x ゆえに，pは全射である．Ker(p)は

Ker(p) =















 0_m xm+1

... x_n







x_m+1,· · · , x_n ∈K









 標準基底に関するpの表現行列は

(

E_m O_m,n−m )

(3) x∈K^mに対し，

(p◦ι)(x) =p (

x 0

)

=x p◦iの表現行列はE_m．x∈K^m, x^′ ∈K^n−mに対し，

(ι◦p) (

x x^′

)

=ι(x) = (

x 0

)

ι◦pの表現行列は (

E_m O_m,n−m On−m,m On−m,n−m

)

問題3.3. (m, n)行列Aに対して，rank(^tA) = rank(A)となることを示せ．

証明. r = rank(A)とおくと，m次正則行列P とn次正則行列Qが存在 して，

P AQ= (

E_r O O O

)

両辺の転置をとると，

tQ^tA^tP = (

E_r O O O

)

tQ,^tP は正則だから，rank(^tA) = r= rank(A)． 問題 3.4. (例題1.1を参照)

rank







x²₁ x₁x₂ · · · x₁x_n x2x1 x²₂ · · · x2xn

... ... ... x_nx₁ x_nx₂ · · · x²_n







を求めよ．

解答. (x1,· · · , xn) = (0,· · · ,0)のとき，rank = 0．

(x₁,· · · , x_n)̸= (0,· · · ,0)のとき，あるiが存在して，x_i ̸= 0．このとき，







x²₁ x₁x₂ · · · x₁x_n x₂x₁ x²₂ · · · x₂x_n

... ... ... x_nx₁ x_nx₂ · · · x²_n







→(1)













x²₁ x₁x₂ · · · x₁x_n x₂x₁ x²₂ · · · x₂x_n

... ... ... x₁ x₂ · · · x_n

... ... ... x_nx₁ x_nx₂ · · · x²_n













→(2)



 O x₁ · · · x_n

O



→ (

1 O O O

)

ここで(1)は第i行にx⁻_i ¹をかけた．(2)は第j行(j ̸=i)に第i行の−x_j 倍を加えた．よって，

rank = {

0 ((x₁,· · ·, x_n) = (0,· · · ,0)のとき) 1 ((x₁,· · ·, x_n)̸= (0,· · · ,0)のとき)

問題 4.1. [Hadamardの不等式I] a₁,· · · ,a_n∈Rⁿ− {0}をn個のn次列 ベクトルとする．このとき，

|det(a1,· · · ,an)| ≤ ∥a1∥ · · · ∥an∥,

“ =^′′⇔a₁,· · · ,a_nは互いに直交 となることを示せ．

証明1. まず，

a₁ =









 a₁₁

0 0 ... 0











, a₂ =









 a₁₂ a₂₂ 0

... 0











,· · · ,a_n =









 a_1n a_2n a_3n ... a_nn











という特別な形のベクトルに対して，主張が正しいことをいう．この形 の場合には，(a₁,· · · ,a_n)が上三角行列になるので，

|det(a₁,· · · ,a_n)|=|a₁₁||a₂₂| · · · |a_nn|

≤ ∥a₁∥ · · · ∥a_n∥,

“ =^′′⇔a₁,· · · ,a_nは互いに直交

部分群の列O(n) ⊃ O(n − 1) ⊃ · · · ⊃ O(1) があることに注意する と，任意のa^′₁,· · · ,a^′_n ∈ Rⁿ− {0} に対して，直交行列T ∈ O(n)が存 在して，a_i := Ta^′_i とおくと，a₁,· · · ,a_nは上の形になる．このとき，

(a₁,· · · ,a_n) = T(a^′₁,· · · ,a^′_n),|det(T)|= 1だから，

|det(a^′₁,· · · ,a^′_n)|=|det(a1,· · ·,an)|

≤ ∥a₁∥ · · · ∥a_n∥=∥a^′₁∥ · · · ∥a^′_n∥

“ =^′′⇔a₁,· · · ,a_nは互いに直交

⇔a^′₁,· · · ,a^′_nは互いに直交

証明2. 証明の準備として，X = (x_ij)∈M_n(R)を正値対称行列とすると，

0<|X| ≤x₁₁· · ·x_nn

“ =^′′⇔X =



 x₁₁

. ..

xnn





が成り立つことを示す．仮定より，P = (p_ij) ∈ O(n)とλ_i > 0が存在 して，

X =P



 λ₁

. ..

λ_n



P⁻¹

両辺の対角成分を比較して，

xii=∑

k,l

pikλkδklpil =

∑n k=1

p²_ikλk ≥p²_iiλi ≥λi

また，|X|=λ₁· · ·λ_n>0であり，

|X|=λ₁· · ·λ_n≤x₁₁· · ·x_nn

“ =^′′⇔X =



 λ₁

. ..

λ_n





以上の準備の下に主張を示す．{a₁,· · · ,a_n}が線形従属のとき，det(a₁,· · · ,a_n) = 0．a_i ̸= 0より，

|det(a1,· · · ,an)|<∥a1∥ · · · ∥an∥ となり主張が成り立つ．

以下，{a₁,· · · ,a_n}が線形独立のときに，主張を示す．X := ^tAA = (^ta_ia_j) = (⟨a_i,a_j⟩)は正値対称行列だから，

(detA)² ≤ ∥a₁∥²· · · ∥a_n∥²

“ =^′′⇔ ⟨a_i,a_j⟩= 0 (i̸=j) よって，

|detA| ≤ ∥a₁∥ · · · ∥a_n∥

“ =^′′⇔ ⟨a_i,a_j⟩= 0 (i̸=j) ゆえに，主張が示された．

問題 4.2. 次を示せ．

(1) n次ユニタリー行列の全体U(n)は行列の積に関して群になる．

(2) 任意のT ∈U(n)に対して，|detT|= 1． 証明. (1) g, h∈U(n)とする．このとき，

(gh)^∗(gh) = (h^∗g^∗)(gh) = h^∗(g^∗g)h=h^∗E_nh (g ∈U(n))

=h^∗h=E_n (h∈U(n)) ゆえにgh∈U(n)．g∗g =E_nよりg⁻¹ =g^∗．

(g⁻¹)⁻¹ = (g^∗)⁻¹ = (g⁻¹)^∗

よって，g⁻¹ ∈U(n)．以上より，U(n)は行列の積に関して群になる．

(2) E_n =T^∗T の両辺の行列式をとると，

1 = det(En) = det(T^∗T) = det(T^∗)det(T) = det(^tT)det(T)

= det(^tT)det(T) = det(T)det(T) = det(T)det(T) =|det(T)|² 0≤ |det(T)|より|det(T)|= 1．

問題 4.6. [Hadamardの不等式II] 次を示せ．a₁,· · · ,a_n∈Cⁿ− {0}に対 して，

|det(a₁,· · · ,a_n)| ≤

∏n j=1

|a_j|

“ =^′′⇔a^∗_ia_j = 0 (i̸=j)

証明1. U(n)がCⁿの超球面に推移的に働くことと，自然な包含関係U(1) ⊂ U(2)⊂ · · · ⊂U(n)があることから，g ∈U(n)が存在して，

a^′₁ :=ga₁ =





 a₁₁

0 ... 0





, a^′₂ :=ga₂ =









 a12

a₂₂ 0

... 0











,· · · ,a^′_n :=ga_n=





 a_1n a2n

... a_nn







ここで，ajj ≥0．このとき，

a₁₁a₂₂· · ·a_nn = det(ga₁,· · ·, ga_n) = det(g)det(a₁,· · · ,a_n)

両辺の絶対値をとると

|det(a₁,· · · ,a_n)|=a₁₁a₂₂· · ·a_nn ≤ |ga₁| · · · |ga_n| 仮定a_j ∈Cⁿ− {0}より，

“ =^′′ ⇔a_jj =|a_j| ⇔a^′_j =













 0

... 0 ajj

0 ... 0















⇔a^′∗_i a^′_j = 0 (i̸=j)

⇔a^∗_iaj = 0 (i̸=j)

証明2. 証明の準備として，X = (x_ij)∈M_n(C)を正値Hermite行列とす るとき，

0<|X| ≤x₁₁· · ·x_nn

“ =^′′⇔X =



 x₁₁

. ..

x_nn





となることを示す．仮定より，P = (p_ij)∈U(n)とλ_i >0が存在して，

X =P



 λ₁

. ..

x_n



P^∗

両辺の対角成分を比較して，

xii=

∑n k=1

|pik|²λk ≥ |pii|²λi ≥λi

また，|X|=λ₁· · ·λ_n>0であり，

|X|=λ₁· · ·λ_n≤x₁₁· · ·x_nn

“ =^′′⇔X =



 λ₁

. ..

λn





以上の準備の下に主張を示す．

{a₁,· · · ,a_n}が線形従属のときは，

|det(a₁,· · · ,a_n)|= 0 <

∏n j=1

|a_j| となり，主張が成り立つ．

以下，{a₁,· · · ,a_n}を線形独立とする．X :=A^∗A= (⟨a_i,a_j⟩)は正値 Hermite行列だから，

detX =|detA|² ≤ ∥a₁∥²· · · ∥a_n∥²

“ =^′′⇔ ⟨a_i,a_j⟩= 0 (i̸=j) よって，

|detA| ≤ ∥a₁∥ · · · ∥a_n∥

“ =^′′⇔ ⟨a_i,a_j⟩= 0 (i̸=j) ゆえに，主張が示された．

問題 5.1. |α|<1のとき， lim

m→∞J_n(α)^m = 0 となることを示せ．

証明. J_n(α) =αE_n+Nと表示すると，Nⁿ=O．m≥nとする．二項定 理より

Jn(α)^m =α^mEn+mC1α^m−1N +· · ·+mCn−1α^m−(n−1)Nⁿ⁻¹

右辺の項の数はmによらずにnだから，主張を示すためには，|α|<1の とき，

mlim→∞mC_k|α|^m−k= 0 (k = 0,1,2,· · · , n−1) を示せばよい．ここで，

0<_mC_k = m(m−1)· · ·(m−(k−1))

k! ≤ m^k

k!

1< _|α¹_| = 1 +h(h >0)と表示すると，

|α|^m−k = 1 (1 +h)^m−k

≤ 1

m−kC_k+1h^k+1 = (k+ 1)!

(m−k)(m−k−1)· · ·(m−k−k)h^k+1

≤ (k+ 1)!

(m−2k)^k+1h^k+1

よって，

0≤mC_k|α|^m−k ≤ m^k

(m−2k)^k+1 · k+ 1

h^k+1 →0 (m → ∞) ゆえに主張が示された．

問題 5.8. 次の行列AについてexptAを求めよ．

(1) A= (

4 2

−3 −1 )

(2) A= (

3 1

−1 1 )

証明. Aの固有多項式をfA(λ) =|λE2−A|と表す．

(1) f_A(λ) = (λ−1)(λ−2)より，Aの固有値は1,2．ゆえにAは対角化 可能である．Aの固有値1に対する固有ベクトルと固有値2に対する固 有ベクトルを順に並べ，

P = (

2 1

−3 −1 )

とおくと，P は正則で，

P⁻¹AP = (

1 0 0 2

)

以上より，

exptA=P (

e^t 0 0 e^2t

)

P⁻¹ =

(−2e^t+ 3e^2t −2e^t+ 2e^2t 3e^t−3e^2t 3e^t−2e^2t

)

(2) f_A(λ) = (λ−2)²より，Aの固有値は2(重根)．A ̸= 2E_nよりAは 対角化不可能である．Aの固有値2に対する固有ベクトルは

c (

1

−1 )

(c̸= 0) これを踏まえて正則行列P とべき零行列Nを

P = (

1 1

−1 1 )

, N = (

0 1 0 0

)

と定めると，P⁻¹AP = 2(E₂+N)．m= 0,1,2,· · · に対し，

A^m = 2^mP(E+N)^mP⁻¹ = 2^mP(E+mN)P⁻¹.

ドキュメント内 KIT 学術成果コレクション (ページ 56-75)