4 × 8 の逆演算 15

2 3 5 4

= 8 15

2

3

÷

⁵

4

の別イメージ

1 5 0 4

2 1 0 3

4

5 1

0

4 5 8

0 15

分母と分子の両方を

4

5

倍して

分母を

1

にする

2

3

÷

⁵

4

の別イメージ

23 54

=

23 × 4 5 5

4 × 4 5

=

158

1 = 8 15

分母を

1

にすると分子は

8/15

分子 分母

分子 分母

5 4 1

1

2 3

5 4 3

3

4 4

2 3

2

3

÷

⁵

4

の別イメージ

面積1の正方形を基準に 分割するイメージ

同じ大きさの長方形に 揃えて比較

2 3 5 4

=

2 3 × 4 5 4

4 × 3 3

=

12 8 15 12

= 8 15

15個 8個

余談

倍分の再解釈

• 倍分の式

𝑐 × 𝑎

𝑐 × 𝑏 = 𝑎 𝑏

• 左辺を掛け算の定義や交換則分配則を使って変形 𝑐 × 𝑎

𝑐 × 𝑏 = 𝑐

𝑐 × 𝑎

𝑏 = 𝑐 × 1

𝑐 × 1 × 𝑎

𝑏 = 1

𝑐 × 𝑐

1 × 𝑎 𝑏

• 1/𝑐 と 𝑐/1 は互いに逆数なので 𝑐 × 𝑎

𝑐 × 𝑏 = 1 × 𝑎

𝑏 = 𝑎 𝑏

• 倍分は 1 を掛ける演算に等しい．つまり倍分は元の 量を変えないと演算だと解釈できる

1

逆数の再解釈

• 逆数は分母分子をひっくり返したもの 𝑎

𝑏 × 𝑏

𝑎 = 1

• を次の式で解釈 𝑎 𝑏

1 × 1 𝑎 𝑏

= 1

𝑎𝑏

1 = 𝑏 × 𝑎𝑏

𝑏 × 1 = 𝑎 𝑏

1𝑎 𝑏

= 𝑏 × 1

𝑏 × 𝑎𝑏 = 𝑏 𝑎

𝑏分の𝑎の逆数は (𝑏分の𝑎)分の1 𝑏分の𝑎の逆数は 𝑎分の𝑏

1分の(𝑏分の𝑎)は

分母分子を𝑏で倍分すると 𝑏分の𝑎と同じ

(𝑏分の𝑎)分の1は

分母分子を𝑏で倍分すると 𝑎分の𝑏と同じ

𝑎

𝑏^{を一塊の数とみなす}

比と倍分

• 数 𝑎 と数 𝑏 の比は両方を 𝑐 倍しても変わらない

𝑎: 𝑏 = 𝑐𝑎: 𝑐𝑏

◦ 外項の積と内項の積は同じ

（外項の積） 𝑎𝑐𝑏 = 𝑏𝑐𝑎 （内項の積）

• 「数 𝑎 と数 𝑏 の比」が「数 𝑐 と数 𝑑 の比」と等しい時 𝑎: 𝑏 = 𝑐: 𝑑

◦ 外項の積と内項の積は等しい

（外項の積） 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 （内項の積）

倍分の式𝑎 𝑏 = 𝑐𝑎 と同じ𝑐𝑏

𝑎 𝑏 = 𝑐

の両辺に𝑏𝑑を掛けて𝑑 分母を掃う操作と同じ

𝑎𝑑 = 𝑏𝑐

・比という概念は分数の倍分の概念と同じ

・分数の概念は比という概念に更に分子や分母の違いなどの概念が加わったもの

・比は分数の一歩手前の概念だがシンプルで使いやすい場合も多い

足し算（引き算）と掛け算（割り算）

の比較

•

引き算は足し算の逆演算

𝑏 + □ = 𝑎

⇒ □ = 𝑎 − 𝑏

• 0

を足しても元の数は変わ らない

𝑎 + 0 = 𝑎

•

足して

0

になるもので反数を 定義

𝑎 + −𝑎 = 0

• 0

と反数で引き算を足し算 にすることができる

𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + −𝑏 + 𝑏 − 𝑏

= 𝑎 + (−𝑏)

•

割り算は掛け算の逆演算

𝑏 × □ = 𝑎

⇒ □ = 𝑎 ÷ 𝑏

• 1

を掛けても元の数は変わ らない

𝑎 × 1 = 𝑎

•

掛けて

1

になるもので逆数 を定義

𝑎 × 1/𝑎 = 1

• 1

と逆数で割り算を掛け算 にすることができる

𝑎 ÷ 𝑏 = 𝑎 × 1/𝑏 × 𝑏 ÷ 𝑏

= 𝑎 × (1/𝑏)

0を足し算で挿入 0になる 1を掛け算で挿入

「𝑏を引くこと」と「𝑏の反数を足すこと」は同じ

1になる

「𝑏で割ること」と「𝑏の逆数を掛けること」は同じ 足し算の世界 +, −, 0, −𝑎 ↔ 掛け算の世界 ×,÷, 1,1/𝑎

有理数

有理数

• 分数， 0 ，負の分数の合併で作った集合のことを有理 数といい ℚ で表す

ℚ = 負の分数 ∪ 0 ∪ 正の分数

= 0, 1, −1,2, −2, 1

2 , − 1 2 , 3

2 , − 3 2 , 1

3 , − 1

3 , …

（ rational number: 有理数の英語 )

（ rational: 「比で表す」という意味）

（ quotient: 英語で「商（割り算の答え）」）

符号の扱い

• 分母分子のどちらか一方が負の場合は負の量であり，次のどの 表現も同じ量を表す

−𝑎

𝑏 = −𝑎

𝑏 = 𝑎

−𝑏

= −1 × 𝑎

𝑏 = 𝑎

−1 × 𝑏 = (−1) × 𝑎 𝑏

• 分母分子の両方とも正，もしくは両方とも負の場合は正の量であ る

𝑎

𝑏 = −𝑎

−𝑏 = (−1) × 𝑎 (−1) × 𝑏

• 𝑎, 𝑏, −𝑎 , (−𝑏)が数の基本法則を満たせば，それらを組み合わ せた分数でも数の基本法則を満たすことをことが証明できる．

−1 で分母分子を 倍分すれば全部同じ だと確かめられる

−1 で分母分子を 倍分すれば全部同じ だと確かめられる

0 で割ることは禁止！

• 0

で割ってはいけない．同じことだが

0

の逆数を取ることは いけない．

0

を分母にしてはいけない．

• 𝑎

を

0

で割った答えを

□

で表し

𝑎 ÷ 0 = □

•

上式の

□

がどのような数になるか考えてみよう

0 × □ = 𝑎

𝑎 ≠ 0

の時，

□

に当てはまる数は存在しない（不能）

𝑎 = 0

の時，

□

はどのような数でも当てはまる（不定）

•

このような

□

を数だと認めてしまうと様々な矛盾が生まれ，

数の法則が無茶苦茶になってしまう

•

数学では矛盾を許すとありとあらゆることが証明できてし まう為，矛盾が現れる論理は厳しく否定される

実は0÷0＝0が成り立つとして矛盾の現れない数体系を作ることが可能である しかしそのようにして作った数体系は良いことが何もない（使えない）

1 = 2 の証明

• 𝑎 = 𝑏 と仮定して両辺に 𝑎 を掛ける

• 𝑎

²

= 𝑎𝑏 の両辺から 𝑏

²

を引く

• 𝑎

²

− 𝑏

²

= 𝑎𝑏 − 𝑏

²

の両辺を因数分解

• 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑏(𝑎 − 𝑏)

• 最後の式の両辺を 𝑎 − 𝑏 で割ると 𝑎 + 𝑏 = 𝑏

となる．

𝑎 = 𝑏 = 1 とすると 2 = 1 が証明できちゃう

• これは 𝑎 − 𝑏 = 1 − 1 = 0 で割ってしまったため に現れた矛盾である

ここまでは問題ない ここから後がダメ

文字式だと気付かずにやってしまうことが多い

有理数の演算の基本法則

𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℚ

の時

• 𝑎 + 𝑏 ∈ ℚ

加算で閉じてる

• 𝑎 × 𝑏 ∈ ℚ

乗算で閉じてる

• 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎

加算の交換則

• 𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎

乗算の交換則

• 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)

加算の結合則

• 𝑎 × 𝑏 × 𝑐 = 𝑎 × (𝑏 × 𝑐)

乗算の結合則

• 𝑎 + 𝑏 × 𝑐 = 𝑎 × 𝑐 + 𝑏 × 𝑐

分配則

・有理数になっても数の上記の基本法則を満たすように分数 の計算ルールを定めた．（ただし

0

の逆数は定義されない）

・引き算は反数の足し算で，割り算は逆数の掛け算で計算．

・基本法則を満たすようになったので，これで有理数が数の

仲間になった．

有理数の大小関係（引き算）

•

有理数の大小関係は一見しただけでは分かり難い

•

引き算で確認できる

𝑎 − 𝑏 > 0 ⟺ 𝑎 > 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 0 ⟺ 𝑎 = 𝑏 𝑎 − 𝑏 < 0 ⟺ 𝑎 < 𝑏

•

例）

𝑎 = ²₃ , 𝑏 = ³₅ 2

3 − 3

5 = 2

3 + −3

5 = 2 × 5 + −3 × 3 3 × 5

= 10 + −9

15 = 1

15 > 0 ⇔ 2

3 > 3 5

𝑎 − 𝑏が正なら 𝑎は𝑏より大きい

ドキュメント内 分数と有理数 (ページ 50-65)