3 1. 序

S ^臨 a l lBo ^{羽 阻} dI s o ^臨 orphis ^臨 S

ofthe Do

臨

a i 口 ofa  Closed

^炉

Derivatio 日

松 本 敏 子

渡 辺 誠 治 (新潟工科大)

開 墾 切 と Y を R のコンパクト部分集合、 T:  C

¹

(X) → Cl(y) が線形向 型作用素で I I T I I I I T ‑

¹

1 1

^く

ε ならば、 X と Y は位棺同型である。"が、 R の任 意のコンパクト部分集合 X ， Y に対して成り立つような (X と Y に無関係な) ε が存在するか。

これに対して、 K

羽

T . Jun と Y‑H.L e e は、次の結果を示した。

翠理 (K‑W.Jun and Y ‑ H .  L e e )   X

ぅ

Y を R のコンパクト部分集合で X  C  α [

^ぅ

b ， ] YC[c

^ぅ

d ] とする。 T :  C

¹

(X) → C

¹

( y ) を線形同型作用素で、次

の ( 1 )

^f'‑J 

( 4 ) を満たすとする。

( 1 )   I ' ( t )   =  ^{0 ならば ( T / ) ' ( t )} =  ^{O .}  

( 2 )   I l / g l l 三 I I T I T g I<  l ( 1   + ε ) 2 1 1 / g l l  

( 3 )   1 1 I 1 1   <  I I T  1 1 1 三 ( 1

十

ε )1 1 / 1 1  

( 4 ) ε

く 出

n { 右

⁷

部品石

⁷

邪占石}

このとき、 X と Y は位棺向型である

o

星理 (K‑W.Jun and Y ‑ H .  L e e )   X ，  Y を R の部分集合で X c  U [ α i ，  b

_i] 

( α i

^{く ん く}

α

ⁱ⁺

^{l )} ， Y  C  U [ c j ， d j ] 

^(Cjく

^d

j^く Cj+l)

， m a x i { l b i

^{一 向}

I }

^く

^k ，

maxj{ld j  ‑

Cj/}く

kとする。 T :  C

¹

(X) → Cl(y) を線形向型作用素で、次の

( 1 )  

^f'‑J 

( 3 ) を満たすとする。

( 1 )   ( T / ) ' ( t )   =  ⁰

^{令 中}

^{I ' ( t )} =  ⁰

^う

( 2 )   1 1 / 1 1   <  IT  I 1 1 1   <  ( 1

^十

ε ^{) 1 1 / 1 1} ，

( 3 )  k

く 土 托

ε

く

6k

²‑

8k  +  1  このとき、 X と Y は位棺向型である

o

‑61‑

ァ

(K

2(

8

₂₎) = ](1 

( 8

₁₎

， 

( T f ) ( ν )

口 切

l ( y ) f (

ァ

( y ) ) ( V fιD ( 8

1)^う

ν V モ

](2) 

8 2 ( T f ) ( y )   =

ω

2 ( y ) 8

₁

( f ) ( T ( ν ) )   ( V f

^ε

D ( 8

1)

， 

Vyε](2 ) 

となる

o

したがって、

](1(81)

と

]{2(82)^う](1

と

](2

は位相同型である

O

この定理の観点 から K . J a r o s z の問題を考える

O

定理 ] C ( i   =  1 ， 2 ) は第一可算公理をみたすコンパクト ハウスドルフ空間?

ん を C(K

_i)

における聞や微分とする

o

T :  D ( 8

1)

→ D(  8

_2) : 

I I T I I I I T ‑

¹11く

2 であるような線形向型作用素が存在し、さらに、 T と T‑1は supnorm で有界

とする。このとき、

]{1

( 8

₁₎

と

](2( 

8

₂₎

は位相同型である

o

例 f  ε C [ α ぅ司に対して f j d  五は閉化可能であるので、その閉包を 8

_f

^とおく

^o

さらに、 Kf

^口

{ x ;f ( x )   i ‑ O } とおく

o

f ぅ

gE 

C [ α ぅ b ] に対して、 T:D(8

_f)

→ D(8

_g)

を線形向型作用素で I I T I I I I T ‑

^111く

2 であり、さらに、 T と T‑

¹

は supnorm で有界とする。このとき、

](f

と

](g

は位棺同型である

o

(証明)

I I T ‑

^1 11

<  1 ぅ I I T I I

^く

2 としてよい。分( 8

1)

ヨ f に対して、

f ( x ， 

X'

，  z )  

= 

z f ( x )

十

8

₁

( f ) ( x ' ) ， ( x ， 

X'

，  z )

ε](1 X ](1 X 

T ‑W 

1 

分 ( 8

₂₎

ヨ gに対して、

ク ( y ， y ' ，  z )   =  z g (

ν) 

+  8 2 ( g  ) ( y ' )

^ぅ

(仰い) E 

}(2 X ]{2 X 

T  =  ^W 

² 

‑62‑

この 2つの定理の証明は、いずれも初等的証明であるが、区間の巾が大きい場 合は適用できない等、もっと改良する余地があるように忠われる

o

つぎの第 2 節で、我々は別の観点からこの問題を考える

o

3 2.問 料 微 分 の 定 義 域

K をコンパクト・ハウスドルフ空間、 C ( ] ( ) コ 1 1 ( 8 ) を C(]()のノルム椀 密ト部分代数とし、線形作用素 8:  1 1 ( 8 ) → C ( ] { )は

8 ( f g )

口

f 8 ( g )

十

8 ( f ) g (  f ， g ε 1 1 ( 8 ) ) ， 

8 ( f )   =  8 ( f )   ( f  

E 

1 1 ( 8 ) )  

をみたし、かっ関作用素であるとする。このとき、 6 を C ( ] ( ) における閉ゃ微 分という。 1 1 ( 8 ) ヨ f に対して、 f のノルムを

I I f l l   =  1 1 1 1 1 ∞ +  1 1 8 ( f )

/1

∞ 

により与える

o ]("3 

xに対して、分 ( 8 ) 上の有界線形作用素 η

^x

o8 を η

x 0 

8 ( f )   =  8 ( f ) ( x )   (Vf  E  1 1 ( 8 )  ) 

により定義する。]( ( 8 )   =  { x   E  ] (  : 

'fJx 0 

8 チ O } とおく

o

] ( ( 8 ) は K の開集合で ある

o

このとき、 T .Matsumoto と S .Watanabe は次の結果を示した。

翠翠 ( T .Matsumoto a n d  S .   W a t a n a b e )  

^](i 

( i

^口

1 ， 2 ) をコンパクト・

ハウスドルフ空間、んを C ( ] { i )における閉ゃ微分とする。 T :  1 1 ( 8

₁₎

→i1(  8

₂₎ 

を上への等距離線形作用素とする

O

このとき、

](2

から

](1

上への同相写像ァ と切 1 E  ] { e r ( 8

1) : 

1 ω 1 1   =  ^{1 ，及び、 ω 2 E  C ( ] ( 2 (   8} 2 ) )   :  I W 2 1   =  ^{1 が存在して、}

‑63‑

とおく。このとき、

D(b

1)

ヨ f → f  E  C(W 仏 D(b

2)

ヨ

g

一 長 ε C(W

2)

は線形等距離作用素である。 8

₁

=  { f ;  f  εD(  b

1)}^ぅ

8

₂

=匂 ; 9 

E 

D(b

2)}

と おく

o

T :  8

₁

ヨ f ^{→ Tfε 8}

²

^{を Tf} 口行により定義すると、 I I T 叶 1<1

^ぅ

I I T I I

^く

2 である。 W

2

: 3 ( y

^ぅ

y ' ， z ) に対して、

L(y

山)(ク) =  g ( y

^ぅ

y '

^ぅz)

( V g   ^{E  8}

2) 

とおく

o

T*L( ν ι

^z)

^を C(W

1)

ヘノルムを変えないで拡張したものに対して、正 奥日測度

μU払z

が存在して、

T *  

L(y，yl，

Z ) ( f )   = ム ^{fd μ}

^y，y'，z

^{( V fε C(W}

^1) ) 

となる。次に、 I I ^T I I

^く

^{2 M}

^く

2 である M をとる。 Vz

E 

T と 、 T*

L(y，y，z)

のす べてのノルムを変えない拡張に対して、

i

μ y

，

y

，

Z ( 1 ( 1  

X 

{ x }   x  T ) I   >  M 

となる

Z

が存在する

y

の全体を 1 ( 2とする

O

このとき、 ! ( 2 : 3   Yに対して、

Z

は存在すれば一意に決まるので、 p ( y ) =  x とする。このとき、 1 ( 2 コ ! ( 2 ( b

₂₎

か っ 、 P: 

]{2( 

b

₂₎

→

]{1 

( b

₁₎

は同相写像であることがわかる。

[注意!

( 1 )   D をカントール集合とすると、 C ( D ) におけるノンゼロ閉微分は存在しな い。一方、!((コンパクト・ハウスドルフ空間)の関部分集合 E と 、 C ( ! ( ) に おける閉微分 6 に対してう

分

( b E) ⁼  { f l E   :  f  ^E  D ( b ) }  

‑64‑

とおく

O

もし、

f l E   = 0

^ぅ

f E  D ( 8 )

^吟

8 ( f ) I E = 0 

ならば、

8 E( f I E )   =  8 ( f ) I E   ( f l E ε D(8 E) )  

により、 C(E)における(閉とは限らなし"¥)微分むが定義できる

^o

この枠組み (E ，  C(E) ，  D(8

_E)

うむ)に対して、上の定理と同様の議論を行うことができる。

( 2 )  C

¹

( X )  (X :  R のコンパクト部分集合)に対しでも、定理の証明と同様の方 法で類似の結果が得られる

o

参考文献

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叫

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切

t hsm α I I   bound

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組

d Y

司百.

Lee

ぅ

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(X) s p α c e s ， 

B u l l .   Korean Ma

此

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仇η

o f α c l o s e d* ‑ d e r i v α t i o

η

i n  C(I()

^ぅ

J .Math. S o c .   J  apan ， 

4 8 ( 1 9 9 6 )

ぅ

p p . 2 2 9 ‑ 2 5 4 .

‑65‑

J e n s e n の逆不等式とその応用

高 橋 良 映 山 形 大 ・ 工 岡 安 隆 照 山 形 大 ・ 理

高橋泰嗣岡山県立大・情報工

よく知られたJensenの不等式は多方面に渡って重要であるが、その逆不等式を考 察することもまた然りであろう(cf.[1， p. 29]).我々はJensenの逆不等式と考えられ

る(特にm=1，β=0の場合は)次の様な不等式を示す。

宝石eorem1.  Let   q，JqJ1，…， qJ^m be a strictly convex and strictly positive C¹ ‑functions on a  convex domain D in R^k and :rc  a hyperplane in R^k + 1 defined by y 

=

角川÷…+α"xk+ b.  Let i， …!，  A be measurable functions on a probability space (Q，μ.) such that 

(!i(ω)，… ， A(w))巴Dr;for a11  ω E  Q， where 

D r;

= 

{X E D : h(x₁，  ，..， Xk) S; 角川+… +a"xk 

+ 

b (Vh 

= 

  q，JqJ1，…，qJm)}.  Then we have 

ω  レ ψ ム μ

^似(似

^ω

^{五爪(紛札，...，五瓜例(例仰的A}

for all real numbers αl' .…..  ，α:m  and βsatisfying α1， .わ…..  ，αm> 0 and  ZPFJ(XI，.JK)+P2GIX1十 + 帆+b， (2) 

dqJ/dx₁  dqJ/dxk 

‑l al la

‑‑ 12 J 

. ︐

轟

' ua h

a ‑

‑ a  

rt i‑

‑l iI L 

一 一

1E ga li

‑‑ J 

噌am

α : α j  

r目

a 'z

審.目

E ' ︐ 筆

z目目a︐_{. L}﹄

払 巧

&

v γ

巧_{. 匂} 吋

町dぺ0

︐︐

︐︐

︐︐

︐

I︐

︐  

m 

. .  

m 

m T

伊

qoqo 

for some X 

= 

^(X1'…，xk)eDz‑

略証。我々は[1，百leorem1， p. 27]の証明を参考にする。凸曲面:

Y41αJ伊j札 ，_Xk) 

+  s  (

αj> 0; j 

= 

1， ...  ，m)が超平面 y=a1x1 

+ . . .  

+ 帆+bに接 する条件が、ある xコ(X₁，…，_Xk)巴D;r伊に対して、定理の条件(2)を満たすことに注 意すれば，グラブの位置関係を考えることにより，欲しい不等式(1)が得られる。

証明終 同様の考察をすれば、凹関数に関する次の様な不等式が得られる。但しこの場合 は、 m=lで、評価する関数も元のものと同じものとしないと、それ以外はなかな か面白みが見えない。

‑66‑

Theorem 2.  Let ψbe a strictly concave and strictly positive  C¹ ‑function on a convex  domain D in R^k and :a a hyperplane in R^k+ 1 defined by y 

=

^{角川+… +a}kX^k + b.  Let 

. f t . … .  

A be measurable functions on a probability space (Q.μ.) such that 

( . f t (

ω). ... • A(ω))巴D^"， for a11 ω己Q.where 

D"，コ {x ξD:ψ(x1^{• … .Xk)注角川+…} +αkXk+ b}.  Then we have 

ψ

^{似(ムレ五似μ(ω臥)....} . ム レ 五 附 仰 凶 ん

ν μ ψ

^似

^{ω (}

^似蜘

ω

^{五爪仰(仰例ω的臥).，..瓜.A訓訓五点仰似(仰例ω的))州)}

for all r詑ea叫1numbers αand 

s 

satisfying α>0 and 

。 ^ψ

^(X)

戸ロー

α(α^lXl+   + '" akX^k + b) +ψ^(X1， ...  ，xJ ，

一一ーロ

ωi(i=l，…，k)  dX_i 

for some X = (x1•

…. x

k) E D^"， ・

Theorem 1において、 k口 m=lの場合を考えると次の系を得る。

Corollary 

3 .  

Let月p.ψ:[m. M]→R. cp(t).ψ(

の> o .  

cp"(t).ψ可。>0 for 

t E [m. M] and 

f 

a measurable function on a probaむilityspace (X.μ.)  with  f(X) C [m. M]. Then 

ん

^ψo!d

  ^{， p}

^s:州

J x !

^d

^{p ， ) +   s} 

for all real numbersαand 

s 

such thatα>0 and 

s

^{口 一}αψ(ψ

，

‑1(

会 ) )

+αψ

「 司 会 )

+ b

， 

where a=

1 !

o(M) ‑cp(m)b‑Mψ(m)‑mψ(M)  M ‑ m   • ^{V ‑} M ‑ m  

ds ̲ 

~I.{ ~I.I-l ^{(l ¥¥ ~ ^fl 

f 1 ?   s  ̲ 

az 

注意:このとき、 daーψ(ψ(百))くO，

23‑

^{金 一} .̲1.n、、 >0が得られるので、

p

はαの単調減少する凸関数となっている。我々は戸の零点の僅の評舗に興味が あり、今後の課題である。

またTheorem2において、 k=lの場合を考えると次の系を得る。これは[8]のな かで既に得られたものでもある。

Corol1ary 4.  Letψ: [m.M]→R.ψ(t) > O.ψ"(t)く

o

for tE [m. M] and 

f 

a measurable function on a probability space (X.μ.)  with f(X) C [m， M]. Then 

ψ ( J x

^{fdμ)， s: α}

レ

^{10f伽 β}

for all real numbers αand 

s 

such thatα>0 and 

s=

ーα(αψ

，

‑l(aα)+ b) +ψ(ψパ(αα)))， where a=ψ(M)ーψ(m) b‑Mψ(m)‑mψ(M) 

… M ‑ m   ，^{V ‑} M‑m 

‑67‑

ds ̲  ( ~ßI，r- l{ ^{r vr.¥ • L 1.¥  ̲̲̲ 1¥}  d² s ̲ d 

注意:このとき、 da

一 一

(αψ(αα)^十b)^くO，EU‑ψ"(ψ

「 い

α))>0が得られるの で、やはり βはαの単調減少する凸関数となっている。我々はこの場合も

p

の零 点の値の評価に興味があり、今後の課題である。

重要:Corollary 4と可換Banach環のGelfand理論を組み合わせると、

Kantorovich [6]の不等式の一般化である KyFan[2]

及び

MondPeぬrie[7]の行列不 等式を導くことができるのであるが(cf.[8])、実は、 KyFan

及び

Mond♂ecaricの仔 列不等式の一般化は、 WFuruta inequality ~の創始者で有名な古田孝之先生によっ

て、この小論を本質的に合む深い議論がすでになされているのである。それ故、読 者に文献:

T. Furutaβ，4] 

を読まれることを薦めたい。

実は、筆者は古田先生からすでに上の文献を頂いていることに気付き、まさに 汗顔のいたりであったことを最後に述べたい。

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Generalization of a matrix inequality of Ky Fan

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8.高橋虞映、 KyFanの行列不等式に関する一考察、実解析学シンポジューム大分、

1996，近刊。

‑68‑

C(X)の恒等作用素近似と Scheffoldの条件

新 潟 大 学 ・ 理 泉 池 敬 苛

Approxim叫ionof the identi七yoperator on C(X) and Scheffold's co凶i七lOn

Niigata Univers訪れ KeijiIzuchi 

次が有名な Korovkinの定理である

[ 4 ] 0

定理•

{ T n } n

が

C ( [ O ，

l])上の有界線形作用素列で IITnl1::; 1かっ IIT;‑xJII∞→ 0

，  j=0 ， 1 ， 2 ，

を満たすとき、

I I T n f‑

fll∞→

o 

Vfε

C ( [ O ， 

1]). 

この定理は、

{ T n } n

がIに強収束するかどうかは、

{ 1 ， x ， x

²}に対してテストすれば良い というものである。一般のコンパクト空間 X 上の連続関数空間 C(X)で考えたとき、ど うのような部分集合、部分空間の Sに対してテストすればに強収束が示せるかという問題 が生ずる。

5  c 

C(X)とする。

定義。 Sに対して (sequencetype) Korovkinの定理成立

宇 中 丸 :C(X)→ C(X)

， I I T n l l   : : ;  

1

，  I I T n f  ‑

fll∞→

o 

Vf E 5ならば

I I T n g  ‑g l l

∞→

o 

Vg E C(X). 

列を netに代えても同様に Korovkinの定理を考えることができる。これに関しては次 の特徴付けが知られている

[ 6 ，

7]0

定理B.5に対して nettype KorovkInの定理成立

宇中 VxE X^ヲ

x

E VU open

ヨ

fε5s.t.  Ilfll∞

= 

1

， f ( x )  

= 1

，  I f

l 

< 

1 011 

U C .  

. net typeで 成 立 中 sequencetypeで成立。

.5を C*‑subalgebraとする。 5‑1‑C(X)宇キ Sに対して nettypeが成立せず。

.5が separableならば、 nettypeで 成 立 牛 キ seque11cetypeで成立問。

Scheffold 

[ 5 ]

は次の 5に対して Korovkinの定理が成立することを示した。

例 1.L∞

( [ 0 ， 1 ] )

旦 C(X)

， x o

巴X

，

5= 

{ f  E 

C(X); 

f ( x o )  

= 

O } .  

例 2.l∞~ C(sN)

，  X o  

E sN¥N

，

5 = 

{ f  

E C(sN); 

f . ( x o )

ニ

O } .

‑69‑

上の例は共に、 S は closedidealである。これに関連して Scheffoldは2つの条件を考 えた。

E C X closedが条件 (α)を満たすとは

(α) 

I l f n l l u

^c→0， E cVU C X open，ならば

I I f n l l E C

→

o .

Z  = 

s(X x N)

，  Y = Z  ¥

(X x N)とする。

f

^巴C(X)に対して、

f ( x ， n ) =  f ( x )  

Vxε  X

，  Vn 

E N と定義する。

ゆ

:Y→

X ，  f ( ゆ ( y ) )

= 

f ( y )  

continuous  が定義できる。

A c Xに対して Cclosedとは限らなし'1)、

A  =FI(A)c  k  A=Y  n  (AX 

×

N)z 

とする。次が条件

( s )

である。

( s )  

^{AcA. 寸 Y}

次の定義は

[ 3 ]

で導入された概念である。

定義。日 =1‑E C X closedがquasiGfj‑集合とは

ヨ

Unopen s tunL E 

2 2 u ; .  

rcx

を closedとし、

S 

= 

^{f

ε

C(X); f 

= 

0 on 

r }  

とする。次の 2つの結果は Scheffold[5]による。

命題1.

r

^cは

( s )

を満たし、

r

^cden問 中 Sに対して Korovkin成立。

命 題 2.

r

は (α)を満たす中

r

^cは

( s )

を満たす。

‑70‑

次が Sがclosedidealのときの特徴付けである [3]0 定理.次は同値。

1)  .)に対して Korovkin成立。

2) 

r

はquasiG_o‑集合を含まない。

3) 

r

は(α)を瀧たし、

r

^cdense.  4) 

r 

はYで内点を持たない。

底意。それぞれ、 2)は位相空間的性質、 3)は関数列を使って、めは Stone^司Cechcom‑

pacti五cationの中での特徴付けとなっている。

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1i  

可t

L P ‑ L i p s c h i t z  C l a s s e s  and Weighted Bergman S p a c e s  

MASAHIRO Y AMADA 

ABSTRACT.  We introduce and study a class  of functiolls on the unit disk D  which satisfy 

(  [  r  ̲ . . ̲  

1げ

f ( z )

一

f (

ω叫)1

h p J .

.I.¥¥

ν

ρ，P払臼，rT ( 

f  ) 

= 

i 

_¥JD 

l  { 

s u p  } dμ  (ヤ例z

斗 ) I 

l切~D~(z)

I Z

一 切

α i

J 

‑ r ' ¥ ‑ ! )  

whereD

ベ

^z)is a Bergman disk^組 dμisaσ‑finite positive Borel measure. We obtain  equivalent quantities of Pp仰 (f)， and investigate linear functionals on this class.  Particularly

， 

we estimate Taylor coefficients of these functiolls for some measures. 

S 

1. Introduction 

Let D be the open unit disk in the complex plane C. H denotes the set of all harmonic  functions and A denotes the set of all analytic functions on D. For each αE D

， 

let仇 be the Mobius function on D

， 

that is

， 

ゆα(

←石毛 ^{( z}  

^E 

^{D )}  

and put 

1.  1十￨仇(z)1

s (

α

， z )  =

^…l o g ( α

， z 

E D).  2 ^{‑ ‑ 0}  1 ‑1九(z)1

For 0 < r <

∞

and αE D

， 

D r (

α)^口

{ z

巴

D; s (

α

， z )   <  r }  

is  the Bergman disk with "center"αand  radius" r.  Particularly

， 

the Euclidean center  and radius of 

D r (

α) are 

C ‑ 1 ‑ 5 2 α  _一

α，r ‑ 1 ̲ 821α12  R‑1‑142S _一

α，r ‑

1 ̲ 821α12 

respectively

， 

where 8^コ tanhr.  For 0 ::;α< 1 and a continuous function 

f 

^on D

， 

^we 

define a function _O~

( . f ，  

^z) by 

i ^{f ( z )}

^…

^{f (ω ) 1}  

O^日

( . f ， z ) = 

w~D~(z) Iz^ー ω!^日

We say that 

f 

^E 

^A 

^{satisfies a Lipschitz condition of order αif} O~ (J，  z) is  bounded on 

D .  

It is  well‑known fact that 

f  ^ε

^{A satisfies this condition if and only if  (1‑lzI2)1‑0'}Ifυ) 1 is 

‑72 ‑

bounded on D. These classes a

' 1

e ve

' 1

y familia

  ' 1

to classical analysis. Especially when α=#0 

l

f(z) ‑f(切

I.  )

it  is  also we句l1kllownfact that above these cOllditiollS a

' 1

e equivalellt that IJ  '"‑I  J I~:

IZ 

‑

WI^U 

boullded on D x D. 

We will int

' 1

oduce new class田 ofanalytic 0

  ' 1

ha

' 1

monic functions Oll the ullit  disk D

， 

which a

' 1

e gene

' 1

alizatiolls of a Lipschitz class.  Letμbe aσ‑fillite positive Bo

' 1

el measure  Oll D and 0 

<γ< ∞

be fixed.  Fo

  ' 1

0 ::;α::; 1 alld 1

三

p<

∞，

B

h (

μ

，

α)

口

B

f : (

^μ

，

α

，

r) 

∞nsists of functiolls 

f 

E 

H 

such that 

f 

(0)口

o

and 

九日(f) 口加(ト(ん {O~(f， z)y

^d

μ(z))1h< ∞ ヲ

alld let _{B~(μ ， α)}

= 

B~(μ ， o ， r) コ Bf:(μ ， 0 ，r) 

n 

A. We a

' 1

e inte

' 1

ested ill  sev町alproperties  of these spaces.  Let α=p

口

1. Fo

  ' 1

each f E A

， 

cle紅 lywe have that If

ヤ

)1::; _{O~ (f， z)} for all  z E D. T百he町悦耐r問ぱe

…

f

，

^{n1泊lle叫叩叩q伊 脚u凶叫必a叫lli}

^り

^t

^句

³

Ho

伽ow附e耽 出 蜘ω e叶le品 加dside 0山

ハ

fth^児eeme附 叫e句q中伊叫u e

侃xc切e肘ptfo

  ' 1

special measures

， 

that is

， 

which is  too small.  Mo

' 1

eov

 

e

， ' 1

it  is  clea

  ' 1

that ppρ(

・ )

i8  a llorm on _B~ (μ

，

^{α)叩 d}BK(μ?α). Therefo

' 1

e

， 

^{we are also interested ill  the properもiesof} 

them as normed linear spaces. 

g 2 .  

Estimations of LP^酬 Lipschitznorms 

Let m be the normalized Lebesgue a

' 1

ea measure

， 

that is

， 

dm = dxdy /π.  For 1三p<

∞

a Be

' 1

gmall space _L~ is  defined by L~ ロ LP(D ，m) 

n 

A and the LP(m)‑norm is  delloted by  1

1・

I I p .

^Fo

  ' 1

fixed 0 

< 

r 

<∞， 

we define the a

' 1

ithmetic meall Oll the Bergrnan disk Dr(α)  of aσ‑finite positive Bo

' 1

el rneasure μby 

ん ( α ) =̲  f

₍

; ‑f 

_Dr(

_α   [  ¥ ₎ ¥ ₎  

_JDr(a)  ^(αε

^{D ) .}  

I f  

the

' 1

e exists  a nOll‑llegative fUllction u such that dμ udm

， 

then we rnay write it 

Ur ^instead of Pr.  For a differentおhlecornplex function f on D

， 

we de五nea differential  operator D by D f =

δ

f/

θ

x 

=  ( δ / θ

z+

θ / θ z )  f .   I f  

f E H thell the

' 1

e a

' 1

e functions 9ぅhEA such that 

f  = 

9十h

，

alld thus D 

f  = 

g'十h'.In this section

， 

we give lower and upper  estirnatiolls of the norrn Pp，Ci 

( f )  

ill BK (μ

，

α) or _{B~(μ ， α)} . 

Theorem 1. Let 0 

< 

r 

<∞

be fixed

，

^仰 dsupposeμzsασ‑finite positive Borel rneasure  on D. Then the followingα問 vαlid.

(1)  For 0 ::;α::;1αnd 1 ::; p <

∞

there existsαconstαnt 

C 

= Cr仰 >0 (independent  of

刀

suchthat 

C‑

¹

  1 o ^{{ ( 1}  

^‑lzI2)

^{刊の f ヤ}

^)IYPr

^刷

^dm

<ん {O~(f， z ) y  

dμ 

: : ;   C  1 0   { ( 1  ‑ I z 1 2 ) 1

^{一 日}IDf

μ ) I Y

P2r(z)dm 

‑73 ‑

for αII  f E H. 

(2) For 0 ::;α::;1αnd 1 ::; p <

∞

there existsαconstαnt C 口 Cr，Ci，P

> 

0 such that 

f v   ^{{ ( 1  ‑I z 1 2 ) 1 叩}

forαllf 

ε

H. 

We note that if  we 1'eplace 

f 

^E H by 

f 

εA in  the inequalities then Theo1'em 1 is  valid fo1' 0 

< 

p 

< 

1.  Mo1'eover

， 

if  we replace D 

=  8 1θ

y or D

コ =

¥7 instead of 

8 1  8x ， 

then  Theorem 1 is  also valid. 

Corollary 1. Let 0 

< 

r <

∞ ，  

0 

: : ; α : : ;  

1

， 

and 1 ::; p <

∞

be fixed

， 

then the following  αre vαlid. 

(1) Suppose there existsγ> 

0 

such that fYσ(t)  isα仰 n‑decreαsz旬 functionon 

[ 1 ， ∞ )  

αnd v isαpositive superhαrmonic function on D

， 

then there α問 constαntsC 

=

コC_r，α，

p>

0  αndη=ηr 

> 

1 such that 

forαII  f E H， 

C‑¹ 

_J 1  _D   i 

_l\~

( 1  ‑I

_n 

z 1 2 )

_I 

1 一日間

I- J\ ~II) -\~r (z)IY

v(z)σ ト~) ¥1‑lzI2} 

: :

;

  1

JDl~r \J '~/J -\-/~

̲   {O:U， z)Yv(z)σ(~一一一j

¥1‑lz^I2) 

::;  C '

J D

‑

  i (1 -lzI

L\~ I~' ²

/  )1-

^Ci

， IÐf(z)1れい)σ 卜~)

^{‑ J  ¥‑/')  -\-/~}

^{¥ 1}

^…

^{I z l 2  }} 

(2) Let 

{ 引 c

lJ beαfinite sequence of compl印 刷mberswith b_i

ヂ

^bj(i

ヂj ) ，

αndlet 

{ む }

beαfinite sequence ofα7・bitraryreα1 numbers with 0 ::;  lj

， 

then there isαconstαnt 

C

^口

C

r，α，p

> 

0 such that 

for αII  f E H. 

内 <)1; 

C‑¹ 

J

'

D

‑

  i

^{L\~ (1‑lzI2，~，}

/ 

^)1‑Ci

'

^I

‑

^D

J

^f

 

⁽\~/'J '~b~~J ^z)IV'10gI1

ーニ一一 I z ーちゃ

^.dm

r ソlj

: :

;

  L  J D   {O:U

l'-'r\J'~/J wO~~Jlz ーちゃ

， 

z)y log日 一 二 一 一 一dm

r 、竹 ?lj

::;  C 

J 1 ̲   D   i 

L\~

( 1  

… 

μ l 同

，~， Z12)

/ 

1ト一寸白IDfI-J\~/IJ <~OuJIド

六 ( い ωZ 寸 ) 1

~1' 10g1立I ^一…一一z 一ち削i戸^{句ニ一一一一一一一司司町一一一‑一白勾嶋白‑叩嶋ω.‑欄}lむ₃ 

(3

め )

^Let {bj} C D beεαfinite  seq削uence0ザ

1

comp

μ

^{le口xηm包mbeεrs切t抗hb}

ん

i

f = ち ( が

i

f =   ρ

^j

)，

^αn 

lωet 

仏 {

l

む

ωj}be αfinite  sequence ofαrbitrary real numbers with ‑2

くら

forj E 

A C ，

ωhere  A = 

{ j ;  

bj E 8D}. Then there is αconstαnt C = Cr，Ci，p 

> 

0 such thαt 

C‑1 

f v  

{(1‑lzI2)1‑CiIDf(z)IYI1jEAlz ‑bjl1jdm 

: :

;

  f v   {O~U， z)y I1jlz-bjlljdm

::;  C 

f v   ^{{ ( 1  ‑I z 1 2 ) 1}

^→IDf

い

^)IYI1j_日

I z‑

bjl1jdm 

‑74 ‑

fo^1'αllfEH. 

33.  Linear functionals on weighted Bergman spaces 

Let v be a finite positive Borel measure on D and suppose 0 

< 

p <

∞. 

A weighted  Bergman space L~ (

り

isdefined by L~ (

り口

LP(D

，

ν)

n 

A. Let曽ν

口町

bethe set of all  functions 'It E A such that 

1'(

ゆ)早川 ，

^'It )

口 叶 l h L f ( ^{仰 い}

^)dmr;f 

E 

^A

， 1 n  

IflPdv 

~ 1 }  

is  finite.  Moreover

， 

^put 

s(

ψ )  

= s(ν

，

p

， ゆ )

= inf _{~ LJD} L IflPdzノ;fεA

， . l u

]lLf(tz)

ゆ

(z)dm口 1~

，‑，  't→1…JD ‑，  " "   J  w

袖叫h記比i泊chi凶s the加here灯 吋r問 吋e

was introduced and studied its  behavior near the boundary 0ぱfD. By the de:fi五1I凶1吋it討ionof 

帆

i迂fwe p凶叫

ψ

仇α

ペ 口 ( φ 1

ト一寸巾叫む叫Z

斗 ) 川 吋 仰 一 f ( い

α)， 姐d仙 仙t也出hu

凶

1お 山

町

s引

川

7

over， 百1f

ゆ 仇

n 口

伊 (

n十

1 ) μ Z

^{♂n then  '‑}f 

ゆ 仇

nd^ηm=f(

伊

n吋)，ヲ where the numbers f( n) are the Taylor  coe伍cientsof 

f .  

The functionJD s 1'(

ψ )  

and 

s ( ψ )  

are also called Riesz's functions. 

In section 2

， 

(1) of Theorem 1 shows that the norm Pp，a

( f )  

on _{B~(μ， α)} is  estimated by  the LP(v)‑norm of 

1 ' ，  

where dv 

= 

(1 ‑IzI2)(1ーα)p

ん

(z)dm.Therefore

， 

in order to st吋y the space B~(μ ， α) we will  investigate the properties of the weighted Bergman space.  Particularly

， 

^{we will estimate} 

ベ

^'ltn)

，

^{which is  the norm of a linear functional} f 1‑‑+ f(n). 

Theorem 2. Let 0 

< 

p <

∞

be fixed

，

αnd suppose v isαfinite positive Bo1'el m印 刷1'e oηD. Then the followingα1'e vαlid. 

(1)刊 erezs  αconstαnt C 

> 

0 s山 h

り

^IflP

ι

^C

J 

^{IflP dv fo1' all fε A抗}

曹T C ¥守νU川， ~ωiρJhe 1'，問eγt白8α finiteεpoωsiti印veBo1'el mη1A印αsuげT問eon D. '

(2) /f {I仇IP/  11'Iþ入 II~P dv} is unifo^1'mly αbsolutely continuous with ^1'espect to ναn  thε例 陀 ε口xz白Sおγ 

> 

一1s叫包 山 』t

(伊例3

め ) ベ

l'

( 仲 ゆ 仇

α) → 

∞ 

(I

川

α

叶

a

i

→今一1

り )

^α仰ηd1'(

仲 ψ

^{目 )} → 

∞  い (

^η→ 

∞) 

•

(4)  /f 1 

< 

p <

∞

αnd the^1'e existsαcompact set J{ 

c 

D such that suppv 

n 

J{ is not α  finite set

， 

then場v

n 

L~ is dense in L~ ， 叫e 1'e l/p十l/q

= 

1. 

In [11]

， 

using 1'(α)口 1'(

仇 ) ，

a completeness of _{L~( ν)} was charac同rized. We will give  another characterization of it.  A subset E of D is  a uniqueness set for _{L~( ν)} if E削 isfies the following : H 

f 

E L~ (ν) is  zero on E

， 

then 

f

五

o

on D. 

Proposition 3.  Let 1 ~ p <

∞

be fixed

，

αnd suppose νzsα finite positive Bo1'el  meαsu1'e on D such that suppv 

n 

D is αuniqueness set fo1' L~( ν). Then the folloωt旬 α1'e mutually equivalent. 

vh U 

け4

(1) L~(ν ) is  closed in LP(D

， 

^1/). 

(2) Fi

…

^{ch compact set} 

^{] ( 叫 ん}

^{i削 州 仇)dm(}

^{α )}

^{< ∞}  

(3) Fo^1' eαch 0 < c < ∞ the^1'e is αconstantγc > 0 such that ^1'(1/， p^，

ψ π )

三γcexp(cn) fo1'αIIη. 

We say that a posi説明functionυon D has the generalized subharmonic property if for  eachO<1'<∞ there is  a constant 

0

ロ Or>Osuchthatv(Z):::;̲f::f¥¥ 

f 

‑‑'  m(Dr(z)) JDr(z)  for all Z巴D.Moreover

， 

we define the geometric mean on the circle of radius p of V by 

V(ρ)吋 xp

[ f o 2

^1I" log v(

〆

^)dO/2

^{7 r ] ( 0}  

^< p < 1) 

We note that if  v is  subharmonic then it  has the generalized sゆharmonicproperty (see  the proof of Proposition 4.3.8 in [15ヲp.62]).The following Theorem 4 gives more precise  estimations for some special measures.  We note that Theorem 4 is  closely related with  a estimation of出eTaylor coe缶cientsof the functions in B~ (μ

，

^α)

， 

^{which is  defined in} 

section 2.  The relation will be described in section 4. 

Theorem 4. Let 0 < p <

∞

be fixed.  Suppose the1'e existsγ >  0 such that fYσ(t)! 0  (t→0)αnd d1/ 

=

υ(ρeⁱ⁸)σ(1  p )dO 

/ 2 r 7

dp

， 

then the followingα^{問 問}lid.

(1)  If v(peⁱ⁸)σ(1 ‑p)  is  bounded on D αnd V(ρ) is  non‑inc1'easing on 

[ 0

， 1)， then the1'e  exist no E N αnd constants 0 

< 

01

， 

O₂ < ∞ such thαt 

rL判'y

1'(ν

，

^p

，

仇)壬

0

1exp I 

l  y

^V •

' 1 i

^v l~-^og0  TTf. 

V 

(1 ‑1^• /^I 

J

^z石)σ(^1..1^{.  I} /

y ' 1

~\t)

i ) 2   J 

I 

s n α s n o c ︐

a 

n α 

N11llJ  5 3 j  

川

3

4 ι

一Q0

. 万 一 / /

駒 山 一

ρ︑1 4

い 一

dta︑一σ

加 仙 一 尚

一

t n

一//

叩

α

一 寸

'h M

一 回

ι ι

一2

1

弘 一

V

れ 一 口 問 一 一

fI

ぐ 一

t' d

同

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e c P L  

o d M U F 7   C U L v  

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︑

か 川

∞ ゎ

nA

仙

<

>一川九

同 庁

M

1

仙

り

C TC

︑<

pm dO  

fo1'  αII  n 

2 :  

no. 

3 4 .  

Equivalent norms and Taylor coefficients 

In section 2

， 

^(1) of Theorem 1 shows that the norm ρp，C'i 

( f )  

on _B~ (μ?α) is  estimated  by the LP(ν)‑norm of 

，   1 '

where d1/口 (1‑ IzI2)(1一 日)p

ん

(z)dm. In this section

， 

using the  estimations and Theorem 4

， 

we wi1l study the growth of the Taylor coe血cientsof functions  in _{B~(μヲ α).}

Let In be the interval in  [0

，

1)  such that In口 [1‑1

八 月 ，

1‑1/2

y ' n ] .  

We will give  estimations of the Taylor coe自cientsof LP‑Lipschitz functions. 

Theorem 5. Let 1壬p<

∞ ，

0三α:::;1 be fixed_Jαnd s^叩posethαt (1 ‑lzI2)(1‑C'i)pdμzs  a finite positive Bo^1'

e l  

measu^1'e on D. If the^1'e existαcompαct set [{ C D αnd 0 

< 

l' <∞  such that suppμn Dr(α)#

ゆ

fo1'αIIαε]{CJ then the folloωi旬 α問 問lid.

‑76 ‑

(1) Foreαch 0 < c <∞

， 

there existsαco仰 向nt0 <γ'c <∞ such that  sup{lf(n)IP ; PP州 ・(J):::; 1}三γcexp(cn) 

for αlln三1.

(2) Let 8 

> 

0 be given

， 

^then for αech 0 < c <∞

， 

^{there exists}αconstant 0 <γc <∞ 

such thαt 

叫 {Iげ山

f

^六I^ん(^削(η吋^伊州^例引

恥

^州)^附IP

ハ

lP ^{Ppあ仰仇，ρ《，O川I臼叫，，}

p

εIn  L  JQ  J 

forαlln三1.

Corollary 2. Let 1 :::; p <

∞ ，

0 

< α : : : ;  

1 be fixed.  Suppose that (1 ‑IzI2)(1‑0I)pdμzsα  finite positive Borel meαsure on D αnd dμ= udm

， 

then the followingαre vαlid. 

(1) Suppose that u isαbounded superhα m仰 cfunction on D and let 8 

> 

0 be given

， 

then for αech 0 < c <∞

， 

there existsαconstant 0 <γ

c<

∞ such that  m

叫叫

p{川!げ山

f ^{六 (}

^η吋叫

^恥

^)引!!PP;

ハ ;

^{内九伽'《仰バρ恥0}向町^加川，

バ

^川1

ω

'^T

ベ ( 刀山 5 幻刊

1

り } 民 三 釘

γ叩c

for αlln三1

，

1ωvher問、官eρ=1， 一1/八、ゾ/百.

(2) S叩'posethat u hαs the generα，lized subhαrmonic property・Ifthere existαcompαct  set f{ 

c 

D and 0 

<γ< ∞

such that suppμn D_1'(α)#ゆforαIIα巴J{c

，

αndlet 8 

> 

0 be  given

， 

then for αech 0 < c <∞

， 

there仰 ・stsαconstαnt0 <γ

c<

∞ such that 

sup{ II(n)!P ;ρp，^OI，1'(J)引 } 釘cexp(ω

山 )

sup exp 

r  ^‑y'n  ( 1 r  

^{log u(peio)dO /27f}

l 

pE1n  L  JQ  J 

for αlln三1.

(3) Suppose thαt h E A αηd p is αηαnalytic polynomial.  If uロ Ih

+  P I ， 

αnd let 8 

> 

0  be given

， 

^then for αech 0 < c <∞

， 

^{there exisis}αconstαnt 0 <γ

c<

∞ 制chthai 

sup{lj(n)IP ; PPρ

， r ( J )  : : : ;  

1}話γcexp( cn¹/H O) 

for αlln 三1.

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、

e

問

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12

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‑78 ‑

L a t t i c e  s t r u c t u r e  on p a r t i a l l y  o r d e r e d  l i n e a r  s p a c e  

S .   K o s h i  

Hokkaido 

I n

stitute of Technology 

Abstract 

I n  

this short note

， 

we shall explain the notion of lattice order structure on partially  ordered linear space E . In general

， 

partially ordered linear space E is  not lattice ordered  i

.

 e.  it  is not necessary to have least upper bound for al・bitrarytwo elements x

， 

y 

ε E .  

But  in some pal，tially ordered linear space 

， 

we can define least upper bounds denoted by x V y  which is  a subset and no more single element in general.  The subset x V y is  defined as  totality of minimal elements z .for a set of upper bounds of x and y in the sense that 

( 1 )  

z三:1;and z三y

， 

(2) if z三wandw主民wさy

，

thenwニ z.

We shall clearify properties of these subsets x V y. Also

， 

we shall discuss greatest lower  bounds denoted by x八yfor x

，

y E E. 

Sometimes we shall consider normed partially ~rdered linear space

， 

since we can expect  nice properties in this space. The content of this note is  almost same as a note presented in  Real Analysis Seminar held on November at Oita University.  More precise and extended  results with proofs will be found in another paper in near future. 

1 Partially ordered linear space and supremum of subsets 

Let E be a linear space of real coeffi.cients.  We shall conider a convex cone with (1)  P 

n 

‑P 

=  { O }  

and (2) P ‑P 

= 

E. 

We shall define :1;ざ yifx‑y

ε

P ( y主xin the same meiming) 

， 

then we have (a)  x ::;  y and y ::;  x imply x = y;  (b)  x::; y and y ::;  z imply x三z; (c)  x::; y implies 

Z 十z::;y十zfor all Z E 

E;  ( 

d)  for x三yand a positive number αwe have αx <αy; 

( e )  for every element x巴Ewe find Xl

， 

X2ど

o

^with x = Xl ‑ X2・

Conversely if  there is  a relation三satisfying(a)

， 

(b)

， 

(c)

， 

(d)

， 

(e)

， 

then the set Pコ

{ 町 o: : ;   x }  

is  a convex cone satisfying above condition (1) and (2).  A convex cone P with 

‑79 ‑

(1) and (2) is  called an order and E is  called a pα吋叩lly0γdered lineαr space. 

We shall define subset U {x

， 

y} = {z; zざxand zぎy}

，

then x V y is  a subset of all minimal  elements of U{x

，

y} . We have U{x

，

y}

ヂ o ， 

but it  may happen that x V y = 

  . o

^We shall 

show such example. 

Example  Let E be 2‑dimensional Euclidean space R² 

， 

and let P = {(x

， 

y); x > 0

， 

y> O} U (0

，

0) be an order in E . Then x V 0 = 

o 

^for x = (‑1

，

1). More ger町 ally

，

ぜxrj:. 

p 

U 

{‑P}  ， 

then x V 0 =日

For a subset A = {α入

E A }

of E 

， 

we can define V A = V入 品α入and V A is  a subset of all  minim81 elements of U(A) 

， 

where U(A) = {z; zどα

，

for al1  αε A}. Sometimes 

， 

we use  notation .'3'UpA instead of V A. We can define also x八yand L{x

，

y} = {z;z ~αfor 811  αε A}

，

x八yis  a set of all maxima1 e1ements of L{ x

， 

y}. We have L{ x

， 

y}

ヂ砂，

it  may  happen that x^八y= 

o .  

^{We can define also八}A =^八入品 forA = {α入;入 EA}. Sometimes we  use notation inf A instead of八

A

We have the following propositions :  Proposition 1 

(1) ‑supA = inf( ‑A) 

(2)αs叩 A =supαA  for α>0 

(Y. inf A = infαA  for α>0 

Proposition 2  For every b E E and a suset A of E. we have  (1) s叩 A+b=s叩 {A十b}

(2) infA十b= inf{A十b}

Proposition 3 Ifαεs叩 Aand b ε8upB 

， 

then α+b E 81

例

A十B}.

Proposition 4αVbヂ

o

for every α

，

b εE if  and on1y ifα八b

ヂ 日

forevery α

，

bE E.  Theorem 1.  五αVb

ヂ 日

forsome α

， 

b E E 

， 

then we have 

αVb=α+b‑(α八b).

‑80‑

ドキュメント内 第5回関数空間セミナー報告集 (ページ 65-95)