非対称結合 BVP 発振器

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

δ

γ

h

h

h

h

h

h

d

d

d

h

図4.15平衡点の分岐

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y1

x1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

x2

x1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

0 20 40 60 80 100

x

y

x

τ

図4.16 安定なリミットサイクル

4.3.1 非対称結合で生じる分岐

4.3.1.1 平衡点の分岐

図4.15に式（4.6）の平衡点の分岐図を示す．原点から発生するリミットサイクルに関 しては電圧結合と同じで，Hopf 分岐 h01 によって同相方向のリミットサイクルが安定な 状態で発生する．図4.16はh₀₁によって発生した安定なリミットサイクルである．非線形 結合の場合，発振器の電圧ポートと電流ポートを結合しているため，片方の発振器におけ る電流の振動(y1)と，もう一方の発振器における電圧の振動 (x2) が同期する，このため

他の結合とは違い完全同期リミットサイクルは発生せず，位相のずれたリミットサイクル が観測される．

非対称結合では，Hopf 分岐，D型分岐において，同相方向と逆相方向のどちらが先に 起こるか，その順番は電圧結合，電流結合のどちらかと一致するわけではない．原点から 発生する平衡点O₁ に関しては電流結合と同じ順番であるが，他の平衡点に関しては電圧 結合と同じ順番で分岐が起こる．これは電圧結合，電流結合両方が持つ分岐の特徴を持つ ためではないかと考えられる．また，非対称結合の平衡点の分岐では，他の結合方式と比 べ，組となる同相，逆相方向の分岐曲線が接近しているという特徴がある．

4.3.1.2 リミットサイクルの分岐

図4.15は式（4.6）のリミットサイクルの分岐図である．同相方向に存在する位相のず れたリミットサイクル図4.16は，ピッチフォーク分岐P f₀₁によって不安定となり，接線 分岐 G₀₁ によって消滅する．従ってh₀₁ とP f₀₁ の間の領域で位相のずれたリミットサイ クル 図4.16が安定に観測できる．図4.18は P f₀₁ によって発生した安定なリミットサイ クルであり，このリミットサイクルは周期倍分岐 I₁ 付近で周期倍分岐連鎖によってカオ スアトラクタへと変化する．図4.19に図4.18から変化したカオスアトラクタを示す．

パラメータ γ が接線分岐 G₂ を越えたとき，安定なリミットサイクル図4.20が発生す る．この安定なリミットサイクルはNS 分岐N S₂ によって安定なトーラスへと変化する．

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

γ

δ

h

h

h

h

h

d

d

d

h

h

G

Pf

G

NS

I

図4.17リミットサイクルの分岐

4.3.2 非対称結合の特徴

非対称結合の場合，電圧結合と同様に位相のずれた同期発振が広い範囲で安定に存在し ている．この安定なリミットサイクルは電圧結合と同様に安定性が強く，図4.21のトー ラスもパラメータを変化させると，すぐに安定なリミットサイクルに向かって収束してし まう．非対称結合の特徴としては，同じ平衡点から起こる分岐に関し，電圧結合，電圧結 合と違い，二つの分岐曲線が接近していることが挙げられる．また，他の結合と違い完全 同相，または完全逆相な発振が存在しないといった特徴もある．

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y₁

x₁

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

x₂

x₁

図4.18P f01から発生する安定なリミットサイクル

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y₁

x₁

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

x₂

x₁

図4.19 図4.18から変化したカオスアトラクタ

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y₂

x₂

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y₂

y₁

図4.20G₂から発生する安定なリミットサイクル

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y₂

x₂

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y₂

y₁

図4.21図4.20から変化したトーラス