電圧飽和を考慮した終端状態制御

第 4 章電流アンプでの電圧飽和を考慮した終端状態制御

4.2 電圧飽和を考慮した終端状態制御

4.2.1 _{電流アンプの電圧飽和}

電流アンプでの電圧飽和を考慮した終端状態制御について説明するために，摩擦の無い慣性系を電磁アクチュエータで駆動することを考える。その際，電磁アクチュエータに流れる電流i(t)が目標電流ire f(t)に追従するように，電流帰還型の電流アンプを用いるものとする。このようなシステムのブロック線図は一般に図4.1のようになる。図において，

P_c(s)は慣性系を表し，Ktはトルク定数，Jは慣性モーメント，xp(t)は変位，xv(t)は速度を表す。また，Rは電機子抵抗，Lは電機子のインダクタンス，Keは逆起電力定数を表し，

K(s)は電流フィードバック制御器である。この時，電機子への印加電圧V_M(t)は電源電圧 V_pで制約を受けるので，Kの出力がV_pを超えると，電圧飽和が起こる。

1 s Kt

J s

x

(t) P

(s)

K

x

(t) V

(t)

K (s)

_R+sL¹

− ±V

−

i

_{re f}

(t) i(t)

s Kt

J s

x

(t) P

(s)

K

x

(t) V

(t)

K (s)

_R+sL¹

− ±V

−

i

_{re f}

(t) i(t)

図4.1:電流アンプを含む制御対象

文献[21]では入力の飽和を考慮した終端状態制御を提案しているが，そこでは実際の電流i(t)と電流指令値ire f(t)が一致すると仮定した上で，ire f(t)に対して制約を課した設計を行っており，電圧飽和を取り扱ってはいない。しかし，理論上は制約変数が図3.1の拡大系の状態変数と入力の線形和で表現できれば良いので，電流アンプを含む図4.1のシステム全体を制御対象と考え，その内部状態であるV_M(t)を制約することは可能である。しかし，実システムへ適用する上で次の問題が生じる。

1. 終端状態制御入力の設計に電流フィードバック制御器Kのパラメータが必要となる。

したがって，電流アンプが変わると軌道を再設計しなければならない。

2. 市販の電流アンプでは，電流フィードバック制御器Kに関する情報の入手が困難な場合が多い。

以上のことから，電流フィードバック制御器Kに依存しない手法が望ましい。

4.2.2 電圧に対する制約変数の導出

電流アンプの帯域は一般に十分高いので，目標電流ire f(t)に実際の電流i(t)は十分な精度で追従する。そのため，電流アンプをゲイン1の理想アンプと仮定した図4.2の拡大系が終端状態制御の設計によく用いられる。ただし，uc(t)= i(t)=i_{re f}(t)。3.4節においても，

このようにして求めた電流プロファイルによって，十分な性能が得られることを実験で確認している。したがって，i_{re f}(t)= i(t)が成り立つのであれば，印加電圧V_M(t)は電機子電流i(t)とアクチュエータ速度x_v(t)を使って

V_M(t)=Ri(t)+Ldi(t)

dt +K_ex_v(t) (4.1)

と表現できるので，|V_M(t)| ≤V_pを満たすようにi(t)のプロファイルを求めて目標電流i_{re f}(t) として与えれば，電圧制約は満たされる。

そこで，このような電流プロファイルを終端状態制御で求めることを考えよう。先ほど述べたように，i(t)=i_{re f}(t)を仮定したときの終端状態制御の拡大系は図4.2となる。ここ

P[z]

1 s Kt

J s

x_v(t) P_c(s)

H uc(t) xp(t)

Pd[z]

z−1 τ

uc[k]

u[k] x_p[k]

図4.2:_{剛体モデルの拡大系}

で，(4.1)式を離散化するために，電流の微分を前進差分で近似すると，VM(t)の離散時間近似値z_vol[k]≃ V_M(τk)は

z_vol[k]= Ru_c[k]+Lu_c[k+1]−u_c[k]

τ +K_ex_v[k] (4.2)

となる。ただし，x_v[k]= x_v(τk)。さらに，図4.2の拡大形への入力u[k]がちょうどu_c[k]の前進差分になっていることから，(4.2)式は次式となる。

zvol[k]=Ruc[k]+ L

τu[k]+Kexv[k] (4.3)

つまり，zvol[k]は状態u_c[k]，xv[k]及び入力u[k]の線形和で表現でき，これをブロック線図で表すと図4.3になる。ここでP_c(s)の状態変数x_c(t)を[

x_p(t),x_v(t)]T

とし，Pd[z]の状態変数x_d[k]をx_c(τk)となるように状態変数を定義すると，拡大系P[z]の状態変数x[k]は

x[k]=





 x_d[k]

u_c[k]













x_c(τk) u_c[k]











 x_p[k]

x_v[k]

u_c[k]







(4.4) となり，zvol[k]は

z_vol[k]=C_volx[k]+D_volu[k] (4.5) となる。ただし，

C_vol =[

0 K_e R ]

, D_vol = L τ

(4.5)式は(3.42)式に対応するので，|z_vol[k]| ≤V_pを満たすように終端状態制御入力を求めることで電圧飽和が考慮できる。

この手法は，電圧飽和を考慮しない場合に良く用いられる図4.2の拡大系に(4.5)式の制約条件を付加するだけで済み，また，電流フィードバック制御器Kのパラメータも不要であるという利点を持つ。ただし，電流の微分を前進差分で近似しているので，zvol[k]

と実際の電圧V_M(t)は完全には一致しない。そこで，本手法の有効性は実機実験で検証する必要がある。

P[z]

1 s Kt

J s

x_v(t) P_c(s)

H u_c(t) xp(t)

Pd[z]

τ R

1 z−1

K_e

τ u_c[k]

u[k] x_p[k]

zvol[k]

xv[k]

図4.3:モータ両端電圧を制約するための拡大システム

4.2.3 その他の制約変数の導出

電流アンプの電圧だけでなく，電流や速度に対しても制約を課したい場合もある。電流や速度は状態変数x[k]に含まれるので，電流に対する制約変数z_cur[k]および速度に対する制約変数z_vel[k]は次式となる。

zcur[k]=Ccurx[k]+Dcuru[k] (4.6) z_vel[k]=C_velx[k]+D_velu[k] (4.7) ただし，

C_cur = [

0 0 1 ]

, D_cur =0 (4.8)

C_vel= [

0 1 0 ]

, D_vel =0 (4.9)

電圧，電流および速度を同時に制約したい場合は，(3.42)式のz[k]と(3.43)式のz_maxを z[k]=[

zvol[k] zcur[k] zvel[k] ]T

z_max=[

z^max_vol z^max_cur z^max_vel ]T

と選べばよい。ただし，z^max_• は各制約変数z•[k]の最大値を表すものとする。

ドキュメント内 DT ENG 000441 1 Full (ページ 49-52)

第 4 章 電流アンプでの電圧飽和を考慮し た終端状態制御

4.2 電圧飽和を考慮した終端状態制御

4.2.1 電流アンプの電圧飽和

x

(t) P

(s)

K

x

(t) V

(t)

K (s)

− ±V

−

i

(t) i(t)

x

(t) P

(s)

K

x

(t) V

(t)

K (s)

− ±V

−

i

(t) i(t)

4.2.2 電圧に対する制約変数の導出

4.2.3 その他の制約変数の導出

第 4 章電流アンプでの電圧飽和を考慮した終端状態制御

4.2.1 _{電流アンプの電圧飽和}