階斉次線形微分方程式の解 is vector

. 次の定数係数 2 階斉次線形微分方程式を考える.

..

...

d ² y

dx ² + a dy

dx + by = 0.

また

,

この微分方程式の解空間

S

を考える

.

S ^def = {y(x) | y(x) is solution of ↑}

定数係数 2 階斉次線形微分方程式の解 is vector

∀ y 1 , y 2 ∈ S

としよう

.

d ² (y 1 + y 2 )

dx ² + a d(y 1 + y 2 )

dx + b(y 1 + y 2 )

=

( d ² y 1

dx ² + a dy 1

dx + by 1

) +

( d ² y 2

dx ² + a dy 2

dx + by 2

)

= 0 + 0

= 0.

∴ y ₁ + y ₂

もやっぱり解なので

, y ₁ + y ₂ ∈ S.

定数係数 2 階斉次線形微分方程式の解 is vector

∀ y 1 , y 2 ∈ S

としよう

. d ² (y 1 + y 2 )

dx ² + a d(y 1 + y 2 )

dx + b(y 1 + y 2 )

=

( d ² y 1

dx ² + a dy 1

dx + by 1

) +

( d ² y 2

dx ² + a dy 2

dx + by 2

)

= 0 + 0

= 0.

∴ y ₁ + y ₂

もやっぱり解なので

, y ₁ + y ₂ ∈ S.

定数係数 2 階斉次線形微分方程式の解 is vector

∀ y 1 , y 2 ∈ S

としよう

. d ² (y 1 + y 2 )

dx ² + a d(y 1 + y 2 )

dx + b(y 1 + y 2 )

=

( d ² y 1

dx ² + a dy 1

dx + by 1

) +

( d ² y 2

dx ² + a dy 2

dx + by 2

)

= 0 + 0

= 0.

∴ y ₁ + y ₂

もやっぱり解なので

, y ₁ + y ₂ ∈ S.

定数係数 2 階斉次線形微分方程式の解 is vector

∀ y 1 , y 2 ∈ S

としよう

. d ² (y 1 + y 2 )

dx ² + a d(y 1 + y 2 )

dx + b(y 1 + y 2 )

=

( d ² y 1

dx ² + a dy 1

dx + by 1

) +

( d ² y 2

dx ² + a dy 2

dx + by 2

)

= 0 + 0

= 0.

∴ y ₁ + y ₂

もやっぱり解なので

, y ₁ + y ₂ ∈ S.

定数係数 2 階斉次線形微分方程式の解 is vector

∀ y 1 , y 2 ∈ S

としよう

. d ² (y 1 + y 2 )

dx ² + a d(y 1 + y 2 )

dx + b(y 1 + y 2 )

=

( d ² y 1

dx ² + a dy 1

dx + by 1

) +

( d ² y 2

dx ² + a dy 2

dx + by 2

)

= 0 + 0

= 0.

∴ y ₁ + y ₂

もやっぱり解なので

, y ₁ + y ₂ ∈ S.

定数係数 2 階斉次線形微分方程式の解 is vector

∀ y 1 , y 2 ∈ S

としよう

. d ² (y 1 + y 2 )

dx ² + a d(y 1 + y 2 )

dx + b(y 1 + y 2 )

=

( d ² y 1

dx ² + a dy 1

dx + by 1

) +

( d ² y 2

dx ² + a dy 2

dx + by 2

)

= 0 + 0

= 0.

∴ y ₁ + y ₂

もやっぱり解なので

, y ₁ + y ₂ ∈ S.

定数係数 2 階斉次線形微分方程式の解 is vector

∀ c ∈ R

^としよう

.

d ² (cy 1 )

dx ² + a d(cy 1 )

dx + b(cy 1 )

= c ( d ² y 1

dx ² + a dy 1

dx + by 1

)

= c · 0

= 0.

∴ cy ₁

もやっぱり解なので

, cy ₁ ∈ S.

さらに

, 8

つの代数的性質も満たす

.

∴ S

は

R -

線形空間なので

,

「定数係数

2

階斉次線形微分方程式の解」はベクトル

!!

定数係数 2 階斉次線形微分方程式の解 is vector

∀ c ∈ R

^としよう

.

d ² (cy 1 )

dx ² + a d(cy 1 )

dx + b(cy 1 )

= c ( d ² y 1

dx ² + a dy 1

dx + by 1

)

= c · 0

= 0.

∴ cy ₁

もやっぱり解なので

, cy ₁ ∈ S.

さらに

, 8

つの代数的性質も満たす

.

∴ S

は

R -

線形空間なので

,

「定数係数

2

階斉次線形微分方程式の解」はベクトル

!!

定数係数 2 階斉次線形微分方程式の解 is vector

∀ c ∈ R

^としよう

.

d ² (cy 1 )

dx ² + a d(cy 1 )

dx + b(cy 1 )

= c ( d ² y 1

dx ² + a dy 1

dx + by 1

)

= c · 0

= 0.

∴ cy ₁

もやっぱり解なので

, cy ₁ ∈ S.

さらに

, 8

つの代数的性質も満たす

.

∴ S

は

R -

線形空間なので

,

「定数係数

2

階斉次線形微分方程式の解」はベクトル

!!

定数係数 2 階斉次線形微分方程式の解 is vector

∀ c ∈ R

^としよう

.

d ² (cy 1 )

dx ² + a d(cy 1 )

dx + b(cy 1 )

= c ( d ² y 1

dx ² + a dy 1

dx + by 1

)

= c · 0

= 0.

∴ cy ₁

もやっぱり解なので

, cy ₁ ∈ S.

さらに

, 8

つの代数的性質も満たす

.

∴ S

は

R -

線形空間なので

,

「定数係数

2

階斉次線形微分方程式の解」はベクトル

!!

定数係数 2 階斉次線形微分方程式の解 is vector

∀ c ∈ R

^としよう

.

d ² (cy 1 )

dx ² + a d(cy 1 )

dx + b(cy 1 )

= c ( d ² y 1

dx ² + a dy 1

dx + by 1

)

= c · 0

= 0.

∴ cy ₁

もやっぱり解なので

, cy ₁ ∈ S.

さらに

, 8

つの代数的性質も満たす

.

∴ S

は

R -

線形空間なので

,

「定数係数

2

階斉次線形微分方程式の解」はベクトル

!!

定数係数 2 階斉次線形微分方程式の解 is vector

∀ c ∈ R

^としよう

.

d ² (cy 1 )

dx ² + a d(cy 1 )

dx + b(cy 1 )

= c ( d ² y 1

dx ² + a dy 1

dx + by 1

)

= c · 0

= 0.

∴ cy ₁

もやっぱり解なので

, cy ₁ ∈ S.

さらに

, 8

つの代数的性質も満たす

.

∴ S

は

R -

線形空間なので

,

「定数係数

2

階斉次線形微分方程式の解」はベクトル

!!

定数係数 2 階斉次線形微分方程式の解 is vector

∀ c ∈ R

^としよう

.

d ² (cy 1 )

dx ² + a d(cy 1 )

dx + b(cy 1 )

= c ( d ² y 1

dx ² + a dy 1

dx + by 1

)

= c · 0

= 0.

∴ cy ₁

もやっぱり解なので

, cy ₁ ∈ S.

さらに

, 8

つの代数的性質も満たす

.

∴ S

は

R -

線形空間なので

,

つまり · · ·

. 今まで高専でやってきた線形代数は · · · ..

...

^ただの「

R ⁿ

バージョン」でしかなかったのだ

!!!!

線形独立 , 線形従属

. 復習

..

...

v 1 , v 2 , · · · , v n ∈ R ⁿ

^{が線形独立}

(linearly independent)

^{であるとは}

,

線形関係式

(linearly relation)

c 1 v 1 + c 2 v 2 + · · · + c n v n = 0.

を満たすような

c ₁ , c ₂ , · · · , c _n ∈ R

^が

,

c ₁ = c ₂ = · · · = c _n = 0.

に限るときのことをいった

.

また

, v 1 , v 2 , · · · , v n

が線形独立でないこと を

,

線形従属

(linearly dependent)

といった

.

線形独立 , 線形従属

v

v

v

v

1

1

2

2

v 1

v 2

v ₂

v ₁

linearly independent linearly dependent

線形独立 , 線形従属

この「線形独立

,

^{線形従属」の定義を}

,

そのまま線形空間でも使おう

!!

. 定義

..

...

v ₁ , v ₂ , · · · , v _n ∈ V

が線形独立

(linearly independent)

であるとは

,

線形関係式

(linearly relation)

c ₁ v ₁ + c ₂ v ₂ + · · · + c _n v _n = 0.

を満たすような

c 1 , c 2 , · · · , c n ∈ R

^が

,

c 1 = c 2 = · · · = c n = 0.

に限るときのことをいう

.

^また

, v 1 , v 2 , · · · , v n

が線形独立でないことを

,

線形従属

(linearly dependent)

という

.

線形独立 , 線形従属

この「線形独立

,

^{線形従属」の定義を}

,

そのまま線形空間でも使おう

!!

. 定義

..

v ₁ , v ₂ , · · · , v _n ∈ V

が線形独立

(linearly independent)

であるとは

,

線形関係式

(linearly relation)

c ₁ v ₁ + c ₂ v ₂ + · · · + c _n v _n = 0.

を満たすような

c ₁ , c ₂ , · · · , c _n ∈ R

^が

,

c 1 = c 2 = · · · = c n = 0.

に限るときのことをいう

.

^また

, v 1 , v 2 , · · · , v n

が線形独立でないことを

,

Example. 行列の線形独立

この定義によって

,

「行列」が線形独立かどうかとか

,

「関数」が線形独立かどうかとかを調べられる

.

. 例 ..

...

( 1 0 0 1 )

, ( 0 1

1 0 )

∈ M ₂ ( R ).

この

2

^{つの行列は線形独立}

?

^線形従属

?

こういうときは

,

とにかく定義にしたがって

,

線形関係式

!! c 1

( 1 0 0 1 )

+ c 2

( 0 1 1 0 )

= ( 0 0

0 0 )

.

左辺をまとめてみると

,

( c 1 c 2

c ₂ c ₁ )

= ( 0 0

0 0 )

.

各成分を比較すると

, c 1 = 0, c 2 = 0

なので

,

線形独立

!! □

Example. 行列の線形独立

この定義によって

,

「行列」が線形独立かどうかとか

,

「関数」が線形独立かどうかとかを調べられる

. . 例

..

...

( 1 0 0 1 )

, ( 0 1

1 0 )

∈ M ₂ ( R ).

この

2

^{つの行列は線形独立}

?

^線形従属

?

こういうときは

,

とにかく定義にしたがって

,

線形関係式

!! c 1

( 1 0 0 1 )

+ c 2

( 0 1 1 0 )

= ( 0 0

0 0 )

.

左辺をまとめてみると

,

( c 1 c 2

c ₂ c ₁ )

= ( 0 0

0 0 )

.

各成分を比較すると

, c 1 = 0, c 2 = 0

なので

,

線形独立

!! □

Example. 行列の線形独立

この定義によって

,

「行列」が線形独立かどうかとか

,

「関数」が線形独立かどうかとかを調べられる

. . 例

..

...

( 1 0 0 1 )

, ( 0 1

1 0 )

∈ M ₂ ( R ).

この

2

^{つの行列は線形独立}

?

^線形従属

?

こういうときは

,

とにかく定義にしたがって

,

線形関係式

!!

c 1

( 1 0 0 1 )

+ c 2

( 0 1 1 0 )

= ( 0 0

0 0 )

.

左辺をまとめてみると

,

( c 1 c 2

c ₂ c ₁ )

= ( 0 0

0 0 )

.

各成分を比較すると

, c 1 = 0, c 2 = 0

なので

,

線形独立

!! □

Example. 行列の線形独立

この定義によって

,

「行列」が線形独立かどうかとか

,

「関数」が線形独立かどうかとかを調べられる

. . 例

..

...

( 1 0 0 1 )

, ( 0 1

1 0 )

∈ M ₂ ( R ).

この

2

^{つの行列は線形独立}

?

^線形従属

?

こういうときは

,

とにかく定義にしたがって

,

線形関係式

!!

c 1

( 1 0 0 1 )

+ c 2

( 0 1 1 0 )

= ( 0 0

0 0 )

.

左辺をまとめてみると

,

( c 1 c 2

c ₂ c ₁ )

= ( 0 0

0 0 )

.

各成分を比較すると

, c 1 = 0, c 2 = 0

なので

,

線形独立

!! □

Example. 行列の線形独立

この定義によって

,

「行列」が線形独立かどうかとか

,

「関数」が線形独立かどうかとかを調べられる

. . 例

..

...

( 1 0 0 1 )

, ( 0 1

1 0 )

∈ M ₂ ( R ).

この

2

^{つの行列は線形独立}

?

^線形従属

?

こういうときは

,

とにかく定義にしたがって

,

線形関係式

!!

c 1

( 1 0 0 1 )

+ c 2

( 0 1 1 0 )

= ( 0 0

0 0 )

.

左辺をまとめてみると

,

( c 1 c 2

) ( 0 0 )

各成分を比較すると

, c 1 = 0, c 2 = 0

なので

,

線形独立

!! □

Example. 行列の線形独立

この定義によって

,

「行列」が線形独立かどうかとか

,

「関数」が線形独立かどうかとかを調べられる

. . 例

..

...

( 1 0 0 1 )

, ( 0 1

1 0 )

∈ M ₂ ( R ).

この

2

^{つの行列は線形独立}

?

^線形従属

?

こういうときは

,

とにかく定義にしたがって

,

線形関係式

!!

c 1

( 1 0 0 1 )

+ c 2

( 0 1 1 0 )

= ( 0 0

0 0 )

.

左辺をまとめてみると

,

( ) ( )

Example. 関数の線形独立

. 例 ..

...

e ^x , e ^2x , e ^3x ∈ C ¹ (x).

この

3

つの関数は線形独立

?

線形従属

?

線形関係式

c 1 e ^x + c 2 e ^2x + c 3 e ^3x = 0. . これだけだと c ₁ , c ₂ , c ₃ は分からないので ..

...

^{秘技 「微分」 で関係式を増やす}

!!

Example. 関数の線形独立

. 例 ..

...

e ^x , e ^2x , e ^3x ∈ C ¹ (x).

この

3

つの関数は線形独立

?

線形従属

?

線形関係式

c 1 e ^x + c 2 e ^2x + c 3 e ^3x = 0.

. これだけだと c ₁ , c ₂ , c ₃ は分からないので ..

...

^{秘技 「微分」 で関係式を増やす}

!!

Example. 関数の線形独立

微分で関係式を

3

本にしてみよう

.

c 1 e ^x + c 2 e ^2x + c 3 e ^3x = 0.

c ₁ e ^x + 2c ₂ e ^2x + 3c ₃ e ^3x = 0. c ₁ e ^x + 4c ₂ e ^2x + 9c ₃ e ^3x = 0.

行列でかくと



 e ^x e ^2x e ^3x e ^x 2e ^2x 3e ^3x e ^x 4e ^2x 9e ^3x







 c 1

c ₂ c 3



 =



 0 0 0





Example. 関数の線形独立

微分で関係式を

3

本にしてみよう

.

c 1 e ^x + c 2 e ^2x + c 3 e ^3x = 0.

c ₁ e ^x + 2c ₂ e ^2x + 3c ₃ e ^3x = 0.

c ₁ e ^x + 4c ₂ e ^2x + 9c ₃ e ^3x = 0.

行列でかくと



 e ^x e ^2x e ^3x e ^x 2e ^2x 3e ^3x e ^x 4e ^2x 9e ^3x







 c 1

c ₂ c 3



 =



 0 0 0





Example. 関数の線形独立

微分で関係式を

3

本にしてみよう

.

c 1 e ^x + c 2 e ^2x + c 3 e ^3x = 0.

c ₁ e ^x + 2c ₂ e ^2x + 3c ₃ e ^3x = 0.

c ₁ e ^x + 4c ₂ e ^2x + 9c ₃ e ^3x = 0.

行列でかくと



 e ^x e ^2x e ^3x e ^x 2e ^2x 3e ^3x e ^x 4e ^2x 9e ^3x







 c 1

c ₂ c 3



 =



 0 0 0





Example. 関数の線形独立

微分で関係式を

3

本にしてみよう

.

c 1 e ^x + c 2 e ^2x + c 3 e ^3x = 0.

c ₁ e ^x + 2c ₂ e ^2x + 3c ₃ e ^3x = 0.

c ₁ e ^x + 4c ₂ e ^2x + 9c ₃ e ^3x = 0.

行列でかくと



 e ^x e ^2x e ^3x e ^x 2e ^2x 3e ^3x e ^x 4e ^2x 9e ^3x







 c 1

c ₂ c 3



 =



 0 0 0





Example. 関数の線形独立

. 復習

..

...

行列表示された連立方程式

Ax = b.

が自明な解

x = 0

のみを持つ

⇐⇒

det A ̸ = 0!!

Example. 関数の線形独立

. 復習

..

...

行列表示された連立方程式

Ax = b.

が自明な解

x = 0

のみを持つ

⇐⇒ det A ̸ = 0!!

Example. 関数の線形独立

さっきの係数行列の行列式を計算してみると

,

e ^x e ^2x e ^3x e ^x 2e ^2x 3e ^3x e ^x 4e ^2x 9e ^3x

= 2e ^6x ̸ = 0.

よって

, c 1 = c 2 = c 3 = 0

と分かるので

, e ^x , e ^2x , e ^3x

は線形独立

!! □ . 詳しくは触れないけど

.. ...

こうして作る係数行列は

Wronski

行列

(Wronskian)

と呼ばれている

.

Example. 関数の線形独立

さっきの係数行列の行列式を計算してみると

,

e ^x e ^2x e ^3x e ^x 2e ^2x 3e ^3x e ^x 4e ^2x 9e ^3x

= 2e ^6x ̸ = 0.

よって

, c 1 = c 2 = c 3 = 0

と分かるので

, e ^x , e ^2x , e ^3x

は線形独立

!! □ . 詳しくは触れないけど

.. ...

こうして作る係数行列は

Wronski

行列

(Wronskian)

と呼ばれている

.

Example. 関数の線形独立

さっきの係数行列の行列式を計算してみると

,

e ^x e ^2x e ^3x e ^x 2e ^2x 3e ^3x e ^x 4e ^2x 9e ^3x

= 2e ^6x ̸ = 0.

よって

, c 1 = c 2 = c 3 = 0

と分かるので

, e ^x , e ^2x , e ^3x

は線形独立

!! □

. 詳しくは触れないけど ..

...

こうして作る係数行列は

Wronski

行列

(Wronskian)

と呼ばれている

.

Example. 関数の線形独立

さっきの係数行列の行列式を計算してみると

,

e ^x e ^2x e ^3x e ^x 2e ^2x 3e ^3x e ^x 4e ^2x 9e ^3x

= 2e ^6x ̸ = 0.

よって

, c 1 = c 2 = c 3 = 0

と分かるので

, e ^x , e ^2x , e ^3x

は線形独立

!! □ . 詳しくは触れないけど

..

...

こうして作る係数行列は

Wronski

行列

(Wronskian)

と呼ばれている

.

基底

(あ,

この話は編入試験で頻出だよ)

e ₁ =

( 1 0 )

, e ₂ = ( 0

1 )

.

O

e

e

₁

2

x

x

2

1

基底

(あ,

この話は編入試験で頻出だよ)

e ₁ =

( 1 0 )

, e ₂ = ( 0

1 )

.

O

e

e

₁

2

x

x

2

1

基底

∀ x = ( x 1

x ₂ )

∈ R ² .

O e ₁

x

x

2

1

x

x e x e

e 2

1 1

2 2 =x e + x e _{1 1 2 2}

基底

∀ x = ( x 1

x ₂ )

∈ R ² .

O

x

x

2

x x e

e 2

2 2 =x e + x e _{1 1 2 2}

基底

e ₁ , e ₂ ∈ R ²

^は

· · ·

. 次のような性質を持っていた ..

... . ..

1

∀x ∈ R ²

^が

, e 1 , e 2

を使って

x ₁ e ₁ + x ₂ e ₁

の形

(e ₁ , e ₂

の線形結合

)

で表せる

. .

..

2

e 1 , e 2

は線形独立

.

こんな性質を持つベクトルの組のことを

, R ²

^の基底

(basis)

^と呼んだ

.

基底

e ₁ , e ₂ ∈ R ²

^は

· · ·

. 次のような性質を持っていた ..

...

. ..

1

∀x ∈ R ²

^が

, e 1 , e 2

を使って

x ₁ e ₁ + x ₂ e ₁

の形

(e ₁ , e ₂

の線形結合

)

で表せる

. .

..

2

e 1 , e 2

は線形独立

.

こんな性質を持つベクトルの組のことを

, R ²

^の基底

(basis)

^と呼んだ

.

基底

e ₁ , e ₂ ∈ R ²

^は

· · ·

. 次のような性質を持っていた ..

...

. ..

1

∀x ∈ R ²

^が

, e 1 , e 2

を使って

x ₁ e ₁ + x ₂ e ₁

の形

(e ₁ , e ₂

の線形結合

)

で表せる

.

. ..

2

e 1 , e 2

は線形独立

.

こんな性質を持つベクトルの組のことを

, R ²

^の基底

(basis)

^と呼んだ

.

基底

e ₁ , e ₂ ∈ R ²

^は

· · ·

. 次のような性質を持っていた ..

...

. ..

1

∀x ∈ R ²

^が

, e 1 , e 2

を使って

x ₁ e ₁ + x ₂ e ₁

の形

(e ₁ , e ₂

の線形結合

)

で表せる

. .

2

.. e 1 , e 2

は線形独立

.

こんな性質を持つベクトルの組のことを

, R ²

^の基底

(basis)

^と呼んだ

.

基底

e ₁ , e ₂ ∈ R ²

^は

· · ·

. 次のような性質を持っていた ..

...

. ..

1

∀x ∈ R ²

^が

, e 1 , e 2

を使って

x ₁ e ₁ + x ₂ e ₁

の形

(e ₁ , e ₂

の線形結合

)

で表せる

. .

2

.. e 1 , e 2

は線形独立

.

こんな性質を持つベクトルの組のことを

, R ²

^の基底

(basis)

と呼んだ

.

基底

. ということで, 基底の定義の復習 ..

...

ベクトルの組

v 1 , v 2 , · · · , v _k

が

R ⁿ

^の基底

(basis)

であるとは

, v ₁ , v ₂ , · · · , v _k

が次の条件を満たすことである

.

.

1

.. ∀ v ∈ R ⁿ

^が

,

v = c ₁ v ₁ + c ₂ v ₂ + · · · + c _k v _k .

という形

(v ₁ , v ₂ , · · · , v _k

の線形結合

)

で表せる

. .

2

.. v ₁ , v ₂ , · · · , v _k

は線形独立

.

基底

. ということで, 基底の定義の復習 ..

...

ベクトルの組

v 1 , v 2 , · · · , v _k

が

R ⁿ

^の基底

(basis)

であるとは

, v ₁ , v ₂ , · · · , v _k

が次の条件を満たすことである

.

.

1

.. ∀ v ∈ R ⁿ

^が

,

v = c ₁ v ₁ + c ₂ v ₂ + · · · + c _k v _k .

という形

(v ₁ , v ₂ , · · · , v _k

の線形結合

)

で表せる

.

.

2

.. v ₁ , v ₂ , · · · , v _k

は線形独立

.

基底

. ということで, 基底の定義の復習 ..

...

ベクトルの組

v 1 , v 2 , · · · , v _k

が

R ⁿ

^の基底

(basis)

であるとは

, v ₁ , v ₂ , · · · , v _k

が次の条件を満たすことである

.

.

1

.. ∀ v ∈ R ⁿ

^が

,

v = c ₁ v ₁ + c ₂ v ₂ + · · · + c _k v _k .

という形

(v ₁ , v ₂ , · · · , v _k

の線形結合

)

で表せる

. .

..

2

v ₁ , v ₂ , · · · , v _k

は線形独立

.

基底

. ということで, 基底の定義の復習 ..

...

基底の:::::::取り方は色々考えられるが

,

基底の個数はどう取っても必ず一定

.

その基底の数を

, R ⁿ

^の次元

(dimension)

と呼び

, dim R ⁿ

^と表す

.

dim R ⁿ = n.

基底

この定義も

,

^{線形空間に流用しよう}

!!

. 定義

..

...

ベクトルの組

v ₁ , v ₂ , · · · , v _k

が

R -

線形空間

V

の基底

(basis)

であるとは

, v 1 , v 2 , · · · , v k

が次の条件を満たすことである

.

. ..

1

∀ v ∈ V

が

,

v = c 1 v 1 + c 2 v 2 + · · · + c k v k .

という形

(v 1 , v 2 , · · · , v k

の線形結合

)

^で表せる

. .

..

2

v ₁ , v ₂ , · · · , v _k

は線形独立

.

基底の個数は一定となり

, V

の次元

(dimension)

と呼び

, dim V

と書く

.

基底

この定義も

,

^{線形空間に流用しよう}

!!

. 定義

..

...

ベクトルの組

v ₁ , v ₂ , · · · , v _k

が

R -

線形空間

V

の基底

(basis)

であるとは

, v 1 , v 2 , · · · , v k

が次の条件を満たすことである

.

. ..

1

∀ v ∈ V

が

,

v = c 1 v 1 + c 2 v 2 + · · · + c k v k .

という形

(v 1 , v 2 , · · · , v k

の線形結合

)

で表せる

.

. ..

2

v ₁ , v ₂ , · · · , v _k

は線形独立

.

基底の個数は一定となり

, V

の次元

(dimension)

と呼び

, dim V

と書く

.

ドキュメント内 こちら (ページ 74-128)