重複対数の法則について

次に補遺に回すとしていた，重複対数の法則の証明について述べる．まずは上からの評価である．ただし，

表記を簡単にするためにη, µ1等といった記号は省いて書いてあることに注意する．

命題12.5 (命題10.1). ある正の定数C12が存在して，ψ(n) :=n^ν(log logn)^1−νとするとき，

lim sup

n→∞

|X(n)|

ψ(n) ≤C12, P−a.s.

が成り立つ．

証明. µˆN をPの下でのλ^−NT_0,1^ex,N(X)の分布とする．つまり，µˆN :=P◦(λ^−NT_0,1^ex,N(X))⁻¹と定義する．

また，x >1に対して，3^N ≤x≤3^N+1を満たすようなN ∈Nを固定する．このとき，k >0を3^−Nk≥C₅

を満たすようにとると，

( 3^(1ν−1)

)N( 3 x

)1/ν

k= (

3^(1ν−1) )N(

1 3^N

)1/ν

k= (

3^(ν1−1) )N(

1 3^N

)¹_ν−1

3^−Nk

= 3^−Nk≥C5

であるから，命題7.3と命題7.4(2)から，

P( max

0≤j≤k|X(j)|> x)≤P(T_0,1^ex,N(X)≤k)

= ˆµN([0, λ^−Nk])

≤C6e^{−C7(xk−ν/3)1/(1−ν)}

となる．ここでγ >1, A >0とする．任意のm∈N^に対してx=Aψ(γ^m)とし，k∈Z+をk≤γ^m+1とな るようにとる．このとき，mを十分大きくとればkも大きくなるので，3^−Nk≥C5が成り立つ．したがって k^−ν ≥γ^−mνγ^ν に注意すると，

P( max

0≤j≤γ^m+1|X(j)|> Aψ(γ^m))≤C6exp(−C7(Aψ(γ^m)k^−ν/3)^1/(1−ν))

≤C6exp(−C7A^1−ν1 γ^1−ν−ν 3^1−ν−1 log logγ^m)

=C6exp(log(logγ^m)^−C7A

1−ν1 γ1−ν^−ν 31−ν⁻¹

)

=C₆(logγ^m)^−C7A

1−ν1 γ1−ν^−ν31−ν⁻¹

=C₆ ( 1

mlogγ )C7A

1−ν1 γ^1−ν−ν 3^1−ν−1

= c1

m^α となる．ここで，α=C7

( A 3γ^ν

)1/(1−ν)

とおき，c1=C6(logγ)^−αがmに依らない正の定数であることに注 意する．したがって，ある正の定数c2があって，

∑∞ m=1

P( max

γ^m<j≤γ^m+1|X(j)|> Aψ(γ^m))≤ ∑^∞

m=1

P( max

0≤j≤γ^m+1|X(j)|> Aψ(γ^m))

≤c2+c1

∑∞ m=1

1 m^α であるからα >1となるようにAを十分大きくとれば，∑_∞

m=1 1

m^α は収束するのでボレル・カンテリの定理 より，C12=Aとして重複対数の上からの評価が成り立つ．

以下では，重複対数の下からの評価について論じる．上からの評価では本質的にタウバー型定理から由来す る確率測度の評価が証明の鍵となっていたが，以下の議論もそれを用いて示していく．ただし上からの評価の ように直接使えば直ちに結果が得られるわけではなく，いくつかの補題の準備が要る．以下ではまず，その補 題たちから論じてゆく．

補題12.6 (命題10.2を証明しやすくした形). もし，ある正の定数cが存在して，

P(

∩∞ N=1

∪∞ M=N

{(logM)^(1−ν)/νλ^−MT_0,1^ex,M(X)≤c}) = 1

が成り立つならば

lim sup

n→∞

|X(n)|

ψ(n) ≥c^−ν P−a.s.

が成り立つ．

証明. 補題の仮定の部分から，ほとんどいたるところのω ∈ Ωに対して，ある増加列M_k^′ =M_k^′(ω), k = 1,2, . . . を

(logM_k^′)^(1−ν)/νλ^−Mk′T_0,1^ex,Mk′(X)≤c

となるようにとることができる．この式ををまずλ^Mk′ について整理し両辺の対数をとることによって，

M_k^′ ≥3に対して，

M_k^′ ≥logT_0,1^ex,Mk′(X)−logc

logλ +

1−ν

ν log logM_k^′ logλ

≥logT_0,1^ex,Mk′(X)−logc logλ

を得る．また，任意のε > 0 に対して，f(x) = ^x−_log^log_λ^c −x^1−εとおくと，十分大きいx > 0 に対して f^′(x) = _log¹_λ−(1−ε_x¹ε)を正にすることができるので，十分大きいx >0に対してf(x)>0とすることが できる．したがって，あるk0∈N^{が存在して，}k≥k0なる任意のkに対して，

(logT_0,1^ex,Mk′(X))^1−ε≤ logT_0,1^ex,Mk′(X)−logc logλ ≤M_k^′ であるからlogをとれば，

(1−ε) log logT_0,1^ex,Mk′(X)≤logM_k^′

を得る．一方で，(logM_k^′)^(1−ν)/νλ^−Mk′T_0,1^ex,Mk′(X)≤cの両辺をν乗し，λ^ν = 3に注意すれば，

|X(T_0,1^ex,Mk′(X))|= 3^Mk′ ≥c^−ν(logM_k^′)^1−ν(T_0,1^ex,Mk′(X))^ν を得る．以上のことを合わせれば，

|X(T_0,1^ex,Mk′(X))|

(T_0,1^ex,Mk′(X))^ν(log logT_0,1^ex,Mk′(X))^1−ν ≥c^−ν(1−ε)^1−ν を得る．したがって，

lim sup

n→∞

|X(n)|

ψ(n) ≥c^−ν(1−ε)^1−ν であるから，εの任意性から補題の主張を得る．

今示したことから，補題12.6の仮定が成り立つことを調べれば，重複対数の法則の下からの評価が示され たことになる．したがって以下では，補題をいくつか示したのち，補題12.6の仮定が成り立つことを調べ る．以下では表記を簡単にするために，T_0,1^ex,M をT^M と略記する．命題7.2(2)より，G^r_N(−1)はg_r(−1)に r= 1,2, N → ∞で収束するから，ある正の定数Dがあって，r= 1,2, N ∈N^で，G^r_N(−1)≤Dとするこ とができる．このこととチェビシェフの不等式から

Pˆ_N^0,(j)(T^N(w)≥t)≤De^−λ−Nt, N ∈N, j = 1,2,3,4

が成り立つ．特に，

Pˆ_N^max(A) := max

j=1,2,3,4

Pˆ_N^0,(j)(A), A⊂Γ⁰_N と定義すれば，

Pˆ_N^max(T^N(w)≥t)≤De^−λ−Nt  (c) を得る．また命題7.3と命題7.4(1)からある正の定数Cが存在して，任意のb >0とj = 1,2,3,4に対して αN =b(logN)^{−(1−ν)/ν}とおくと

lim inf

N→∞ α^ν/(1_N ^−ν)log ˆP_N^0,(j)(T^N(w)≤λ^NαN)≥ −C が成り立つ．すなわち，あるN^′∈N^{から先の無限個の}N > N^′, N∈N^に関して

inf

N <k{α^ν/(1_k ^−ν)log ˆP_k^0,(j)(T^k(w)≤λ^kαk)} ≥ −C

であるから，任意のC0> Cに対してあるN0∈N^{が存在して，}N0≤Nなる任意のN∈N^に対して Pˆ_N^0,(j)(T^N(w)≤bλ^N(logN)^{−(1−ν)/ν})≥N^{−C0b−ν/(1−ν)}

が成り立つ．特に

Pˆ_N^min(A) := min

j=1,2,3,4

Pˆ_N^0,(j)(A), A⊂Γ⁰_N と定義すれば，

Pˆ_N^min(T^N(w)≤bλ^N(logN)^{−(1−ν)/ν})≥N^{−C0b−ν/(1−ν)}, N ≥N₀ (d) が成り立つ．ここで導かれた，式cと式d は以下で示す補題を示す中で役に立つ．また以下の補題では，

tn := 2C₀^(1−ν)/νλⁿ(logn)^{−(1−ν)/ν}，[·]をガウス記号，η:= _log¹_λlog ²

C⁽¹₀^−ν)/ν とするとき，

M_n:=

[ 1 logλ

(

1 + 2(1−ν) ν

)

(n+ 1) log log(n+ 1) + (η+ 1)n ]

と定義する．この準備の下，補題12.6の仮定が成り立つことを調べるための補題を準備する．

補題12.7.

∑∞ n=1

P(T^Mn−1(X)>1

2tM_n)<∞ 証明. Mnの定義から，n≥2に対して

M_n−M_n−1≥ 1 logλ

(

1 + 2(1−ν) ν

)

log logn+η である．したがって，

λ^−Mn−1tMn/2 =C₀^(1−ν)/νλ^Mn−Mn−1(logMn)^{−(1−ν)/ν} ≥2 logn

((logn)² logMn

)(1−ν)/ν

が成り立つ．したがって，Mn=O(nlog logn)であるから十分大きいnに対して，λ^−Mn−1tM_n/2≥2 logn が成り立つ．このことと式cを合わせると，

P(T^Mn−1(X)>1

2tM_n)≤Pˆ_M^max_n

−1(T^Mn−1(X)> 1

2tM_n)≤De^{−λ−Mn−1tMn/2}≤De^{−2 logn}= D n² が成り立つので∑_∞

n=1P(T^Mn−1(X)> ¹₂tM_n)は収束する．

補題12.8.

∑∞ n=1

Pˆ_M^min

n (T^Mn(w)−T^Mn−1(w)≤1

2t_Mn) =∞ 証明. 式dにおいて，b=C₀^(1−ν)/ν とおくとMnの定義からn0を十分大きくとれば

∑∞ n=1

Pˆ_M^min

n (T^Mn(w)−T^Mn−1(w)≤ 1 2t_Mn)≥

∑∞ n=1

Pˆ_M^min

n (T^Mn(w)≤ 1 2t_Mn)≥

∑∞ n=n0

1 Mn

≥ 1

η+ 2 +_log¹_λ(1 + 2¹⁻_ν^ν)

∑∞ n=n0+1

1

nlog logn=∞ である．ただし1つ目の不等号は集合の包含関係に依る．

これで準備が整ったので，補題12.6の仮定が成り立つことを調べて行く．

P(

∩∞ N=1

∪∞ M=N

{(logM)^(1−ν)/νλ^−MT_0,1^ex,M(X)≤2C₀^(1−ν)/ν}) =P(

k=1∩

∞

∪∞ l=k

{T^Ml(X)≤tM_l}) であるから，k < Kとなる任意のk, K∈N^{に対して，}

P(

∪K l=k

{T^Ml(X)≤tM_l})≥P(

∪K l=k

{T^Ml(X)−T^Ml−1(X)≤ 1

2tM_l, T^Ml−1(X)≤ 1 2tM_l})

= 1−P(

∩K l=k

{T^Ml(X)−T^Ml−1(X)> 1

2tM_l} ∪ {T^Ml−1(X)> 1 2tM_l})

≥1−P(

∩K l=k

{T^Ml(X)−T^Ml−1(X)> 1

2t_Ml})−

∑K l=k

P(T^Ml−1(X)>1

2t_Ml) (e)

が成り立つことに注意し，まず，

P(

∩K l=k

{T^Ml(X)−T^Ml−1(X)>1

2tM_l})→0, K→ ∞ が成り立つことを調べる．Pの構成やP˜_N の定義を思い出せば，

P(

∩K l=k

{T^Ml(X)−T^Ml−1(X)>1

2tM_l}) = ˜PM_K(

∩K l=k

{T^Ml(w)−T^Ml−1(w)>1 2tM_l})

=P_M^rw_K(

∩K l=k

{T^Ml(Lw)−T^Ml−1(Lw)> 1 2tM_l})

= 491 1248(P_M^0,(1)

K +^0,(2)_M

K)(

∩K l=k

{T^Ml(Lw)−T^Ml−1(Lw)> 1 2t_Ml}) + 133

1248(P_M^0,(3)

K +^0,(4)_M

K )(

∩K l=k

{T^Ml(Lw)−T^Ml−1(Lw)> 1 2tM_l}) であることに注意する．Mnはnについて単調増加であることに注意すると，Mk < MKであり，

P_M^0,(1)

K (

∩K l=k

{T^Ml(Lw)−T^Ml−1(Lw)> 1 2t_Ml})

= ∑

w′∈Γ⁰

MK−Mk

P_M^0,(1)

K (

∩K l=k

{T^Ml(Lw)−T^Ml−1(Lw)> 1

2t_Ml}|3^−MkQˆ_Mk(w) =w^′)

×P_M^0,(1)

K (3^−MkQˆM_k(w) =w^′)

= ∑

w^′∈Γ⁰_MK−Mk

P_M^0,(1)

K (T^Mk(Lw)−T^Mk−1(Lw)> 1

2t_Mk|3^−MkQˆ_Mk(w) =w^′)

×P_M^0,(1)

K (

∩K l=k+1

{T^Ml(Lw)−T^Ml−1(Lw)> 1

2t_Ml}|3^−MkQˆ_Mk(w) =w^′)P_M^0,(1)

K (3^−MkQˆ_Mk(w) =w^′)

= ∑

w^′∈Γ⁰

MK−Mk

Pˆ_M^0,r(Mk)

k (T^Mk(w)−T^Mk−1(w)> 1 2tM_k)

×P_M^0,(1)

K (

∩K l=k+1

{T^Ml(Lw)−T^Ml−1(Lw)> 1

2tM_l}|3^−MkQˆM_k(w) =w^′)P_M^0,(1)

K (3^−MkQˆM_k(w) =w^′)

≤Pˆ_M^max

k (T^Mk(w)−T^Mk−1(w)>1 2t_Mk)

× ∑

w^′∈Γ⁰

MK−Mk

P_M^0,(1)

K (

∩K l=k+1

{T^Ml(Lw)−T^Ml−1(Lw)>1

2tM_l}|3^−MkQˆM_k(w) =w^′)P_M^0,(1)

K (3^−MkQˆM_k(w) =w^′)

≤Pˆ_M^max_k (T^Mk(w)−T^Mk−1(w)>1

2tM_k)P_M^0,(1)

K (

∩K l=k+1

{T^Ml(Lw)−T^Ml−1(Lw)>1 2tM_l})

である．ただし2つ目の等号は命題6.11より，3つ目の等号は命題6.17の証明内でのQˆ_N に関する注意と，

命題6.13より従う．j= 2,3,4に関しても同様にして，

P_M^rw

K(

∩K l=k

{T^Ml(Lw)−T^Ml−1(Lw)>1 2t_Ml})

≤Pˆ_M^max

k (T^Mk(w)−T^Mk−1(w)> 1

2t_Mk)P_M^rw

K(

∩K l=k+1

{T^Ml(Lw)−T^Ml−1(Lw)> 1 2t_Ml})

となるから，これを繰り返せば，補題12.8より P(

∩K l=k

{T^Ml(X)−T^Ml−1(X)>1

2t_Ml}) =P_M^rw

K(

∩K l=k

{T^Ml(Lw)−T^Ml−1(Lw)> 1 2t_Ml})

≤

∏K l=k

Pˆ_M^max

l (T^Ml(Lw)−T^Ml−1(Lw)>1 2t_Ml)

=

∏K l=k

(1−Pˆ_M^min_l (T^Ml(Lw)−T^Ml−1(Lw)> 1 2tM_l))

≤exp(−

∑K l=k

Pˆ_M^min_l (T^Ml(Lw)−T^Ml−1(Lw)> 1 2tM_l))

→0 (K→ ∞) が成り立つ．また，補題12.7より∑K

l=kP(T^Ml−1(X)>¹₂tM_l)においてまずK→ ∞^してからk→ ∞^する ことにより，

∑K l=k

P(T^Ml−1(X)>1

2t_Ml)→0 を得るので，式(e)の最右辺は1に収束する．したがって，

P(

∩∞ N=1

∪∞ M=N

{(logM)^(1−ν)/νλ^−MT_0,1^ex,M(X)≤2C₀^(1−ν)/ν}) =P(

k=1∩

∞

∪∞ l=k

{T^Ml(X)≤t_Ml})

= lim

k→∞ lim

K→∞P(

∪K l=k

{T^Ml(X)≤tM_l}) = 1

を得るので，補題12.6の仮定が成り立つ．つまり命題10.2を得る．

ドキュメント内 3 ガスケット上の Loop-Erased Random Walk の 変位の指数と重複対数の法則 (ページ 52-58)