された第 1 章の第 7 節において， 「微分 (differential) 」 が最初に登場する．
D.1 重心質量中心セントロイド
D.11 重心の決定
任意の形状の3次元的物体をとる．重力が同一方向に一様な力の場であ
る場合に，この物体の重心を決定することを考えてみよう
([81, PP 237$-238)$.
25[原文] provided that the limits ofintegration areproperly evaluated each time.
任意の物体の重心の位置を数学的に決定するために，モー メントの原理26を平行な重力系27に適用する．合力としての重 力 $W$の任意の軸に関するモーメントは，この物体の無限小の 要素 (in丘nitesimal element) として扱われるすべての質点 (all
particles) に作用する重力$dW$
の，同じ軸に関するモーメント
の和に等しい．すべての要素に作用する重力の合力は，この 物体の重量 (weight)
であり，和
$W=\int dW$ によって与えられる．ここで，モーメント法則を，
$y$軸，例えばだが，に関して 適用してみると，この軸に関する要素重量
(elemental weight)のモーメントは $xdW$であり，物体のすべての要素に対するこ うしたモーメントの和$F$は $W= \int xdW$
となる．このモーメン
ト和は，和のモーメント $W\overline{x}$ に等しくなければならない28. こ
うして，
$\overline{x}W=\int xdW$ が得られた．他の二つの成分についても同様の表式が得られるから，次 のように重心$G$ の座標を表すことができる．
$\overline{x}=\frac{\int xdW}{W}$ $\overline{y}=\frac{\int ydW}{W}$ $\overline{z}=\frac{\int zdW}{W}$
$(5/1a)$
三番目の等式に現われる重力の物理的なモーメントが見え るようにするためには，物体の向きを変えて $z$ 軸が水平にな るように置くとよいだろう．本質的なことは，各々の表示式 の分子がモーメントの和を表す一方で，$W$ と $G$ の対応する座 標を掛け合わせたものが和のモーメントを表していることを 認識することである．このモーメント原理は，力学の全体を 通じて繰り返し用いられることがわかるだろう．
26Principle of Moments. 物体に複数 (有限個) の力が作用しているとき，物体を構 成している部分のモーメントの和が，力の和 (合力) のモーメントに等しいという原理．
第2章で導出されている．
27鉛直方向が $z$軸方向であるとする．
$28_{\overline{X}}$は，重心の $x$座標．
D12 質量中心
一様性の条件の下で，重心の位置は重力に無関係となる．この点は，物
体の質量分布だけで決まることから， 「質量中心
(center ofmass)」 と呼ばれる．
考えている物体の密度 (density)[単位体積あたりの質量．座標の関数
として表示される] を $p$
とすると，質量中心の表示式は，重心の公式を書 き直して，次のようになる．ただし，
$dV$は，体積の微分要素である
([8],p.239).
$\overline{x}=\frac{\int x\rho dV}{\int\rho dV},\overline{y}=\frac{\int y\rho dV}{\int\rho dV},\overline{z}=\frac{\int z\rho dV}{\int\rho dV}$ (5/3)
D.1.3 セントロイド
質量中心の公式 (5/3)
において，密度
$\rho$が一様であれば，
$\rho$ の寄与は分母と分子で打ち消しあう．こうして得られた表示式は，純粋に物体の 幾何学的な性質を表現することになる．このように，計算が幾何学的な 形状のみに関係するという意味をこめて，得られた点を「セントロイド (centroid)」 と呼ぶ．
セントロイドの計算は，物体の形状を線状，面状，立体状にモデル化
することに拠って，三つの異なるカテゴリーに分かれることになる
([8],pp..240-241).
(1) 曲線
長さが $L$
である曲線分を，断面積
$A$ と密度$\rho$ が一様な針金だと考えれ ば，セントロイド $C$の座標は，線要素$dL$ を用いて，次のように書ける．$\overline{x}=\frac{\int xdL}{L},\overline{y}=\frac{\int ydL}{L},\overline{z}=\frac{\int zdL}{L}$
(5/4)
(2) 曲面
同様にして，面積$A$の曲面分のセントロイド $C$ の座標は，面積要素$dA$
を用いて，次のように書ける．
$\overline{x}=\frac{\int xdA}{A},\overline{y}=\frac{\int ydA}{A},\overline{z}=\frac{\int zdA}{A}$
(5/5)
(3) 立体
体積 $V$の立体のセントロイド $C$ の座標も，同様に考えれば，体積要素
$dV$ を用いて次のように書ける．
$\overline{x}=\frac{\int xdV}{V},\overline{y}=\frac{\int ydV}{V},\overline{z}=\frac{\int zdV}{V}$
(5/6)
なお，以上の諸々の表示式において，積分記号
$\int$の役割は，連続的な
分布における「和の記法」としてのものであることに注意しておこう．