線形常微分方程式

線形常微分方程式(linear ordinary dierential equation)^は一般に

L(u) =r(x) (7.114)

のように書かれる．L^{は線形演算子で}

La⁰(x)+a¹(x)D++a_n^;1(x)D^n;1+Dⁿ

ただしD=d=dx^{，また係数}a⁰ a¹ ::: an^;1と右辺r^は区間axb^でxの一価連続関数とする．(a b)

内の点x⁰に与えられた関数値とその微分値u⁰ u⁰⁰ u⁰⁰⁰ ::: u^{(0n;1)を持つ連続な解}u(x)^{はただ一つ存在}

し，そのn^;1階までの導関数も連続になる．これはコーシー・カヴァレフスキー(Cauchy-Kowalewski)^の

存在定理として知られるものである．式(7.114)^{の初期値問題では，}xは例えば時間を表し ，x= 0^におけ

る必要十分な初期値はこの定理から決まる．なお式(7.114)^{の境界値問題では，}n個の境界値が２つの境界 点に分けて与えられる．ただしこれらの境界値は関数値または(n^;1)階までの微分値からなる．例えば2

階の方程式では２つの境界点にuの値，あるいは１つの境界点にu^{他の境界点に}u^{0の値が与えられる．}4

階の方程式では２つの境界点にそれぞれu^とu⁰の値，また例えば１つの境界点にu^とu^{0の値 他の境界点}

にu^00とu^{000の値が与えられる．}

式(7.114)の同次線形常微分方程式(homogeneous linear ode)

L(u) = 0 (7.115)

34 境 界 値 問 題       

においてn^個の1^{次独立の解}u¹(x) u²(x) ::: un(x)^{が既知のときに，}n^{個の任意定数}c¹ c² ::: cn^を

含む解

u(x) =c¹u¹(x)+c²u²(x)++cnun(x)

は式(7.115)^の一般解(general solution)と呼ばれる．初期値問題ではこれらの定数は与えられた初期値

u⁰ u⁰⁰ ::: u^(0n;1)を満足するように，すなわち

u(x⁰) =u⁰ u⁰(x⁰) =u⁰⁰ u^(n;1)(x⁰) =u^(0n;1) (7.116)

になるように決定される．式(7.114)^の1^つの解up(x)^{が知れれば，}

u(x) =up(x)+c¹u¹(x)+c²u²(x)++cnun(x)up(x)+uc(x)

は式(7.114)^{の一般解になる．}up(x)は任意定数を含まないもので，また

up(x⁰) =u⁰_p(x⁰) ==u⁽_p^n;1)(x⁰) = 0

になるものを選べば ，この一般解u(x)^{は初期条件，式}(7.116)^{を満足する解になる．}uc(x)^{は微分方程式} (7.114)^の余関数(complementary function)^，u_p(x)^は特解(particular integral)^{と呼ばれる．}

行列式

(u¹ u² ::: un)

u¹ u² un

u⁰¹ u⁰² u⁰_n : : : : : : : : : : :

u^(1n;1) u^(2n;1) u⁽n^n;1)

(7.117)

は関数u¹(x) u²(x) ::: un(x)^{のロンスキー行列式}(Wronskian)といわれる．この行列式が恒等的に0^に

なることはu¹ u² ::: un^が1次従属であるための必要条件，また0^{にならないことは}1^{次独立になるた}

めの十分条件である．n^{階の同次微分方程式}L(u) = 0^の1^次独立のn^{個の解の集合は基本系}(system of fundamental solutions)をなすといわれる．与えられたn個の解の集合が基本系を作るための条件はこれら の解のロンスキー行列式が0^{でないことである．}

階数低減法

ダランベール(D'Alembert)^{の階数低減法は，}n^{階の同次微分方程式}(7.115)において，その１つの解u¹

が既知のときに，残りの解をn^;1階の微分方程式から求めるものである．この階数低減方程式は式(7.115)

にu=u¹w(x)を代入することによって得られる．まずu¹w^をx^{に関し微分すれば}

u= u¹w a⁰

Du= u⁰¹w+u¹w⁰ a¹

D²u= u⁰⁰¹w+2u⁰¹w⁰+u¹w^{0 0} a² :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

Dⁿu= u⁽¹ⁿ⁾w+n 1

u^(1n;1)w⁰++ n n^;1

u⁰¹w^(n;1)+u¹w⁽ⁿ⁾ 1

次にこれらの式を式(7.115)に代入すれば ，すなわち各式にそれぞれ係数a⁰ a¹ ::: 1^{を乗じ加えれば}

;a⁰u¹+a¹u⁰¹++an^;1u^(1n;1)+u⁽¹ⁿ⁾w + a¹u¹w⁰+a²(2u⁰¹w⁰+u¹w^{0 0}) ++n

1

u^(1n;1)w⁰++ n n^;1

u⁰¹w^(n;1)+u¹w⁽ⁿ⁾= 0 (7.118)

この式の1^行目はu^1が式(7.115)^{の解であるから}0^{になり，この式は}w^0のn^;1階の微分方程式になる．

２階微分方程式

u⁰⁰+p(x)u⁰+q(x)u= 0 (7.119)

の場合には，階数低減方程式は

u¹w^{0 0}+(2u⁰¹+pu¹)w⁰= 0 (7.120)

となり，w⁰(x)^の1階の微分方程式になる．その解は，u⁰+pu= 0^の解がu=cexp(^;Rpdx)^{であるから，}

w⁰ =cexp^n;

Z

2u⁰¹

u¹⁺pdx^o=cu^1;2e^;Rpdx

したがって式(7.119)の一般解は次のようになる．

u=c¹u¹+c²u^1Zu^1;2e^;Rpdxdx

この考えを一般化すれば ，n^{階同次微分方程式}(7.115)^{において，}m^{個の独立な解}u¹ u¹ ::: u_m^が既

知のときに残りの解はn^;m階の微分方程式から求められることになる．いま２階微分方程式(7.119)^にお

いて，v¹=u¹ v²= (d=dx)(u²=v¹)と置けば ，階数低減方程式(7.120)^は (v¹⁰⁰+pv⁰¹+qv¹)

Z

v²dx+v¹v²⁰+(2v⁰¹+pv¹)v²=v¹v²⁰+(2v⁰¹+pv¹)v²= 0

のようにv^2の1階微分方程式なる．基本解u^2はv²を積分することによって得られる．n^{階微分方程式} (7.115)^{においては，}

v¹=u¹ v²= d dxu²

v¹ v³= d dx

1 v² d

dxu³ v¹

v= d dx d

vmdx d v²dx u

v¹

のように置けばv(x)^のn^;m階の微分方程式が得られる．この階数低減方程式の解vm⁺¹ ::: vn^をm^回

積分すれば元の微分方程式(7.115)^の基本解um⁺¹ ::: un^{が得られる．}

定数変化法

式(7.114)^{の特解は基本系}u¹(x) u²(x) ::: u_n(x)が既知のときに定数変化法(method of variation of parameters)によって求めることができる．この方法では特解u(x)^{が基本系の}1^次結合

u=v¹u¹+v²u²++vnun (7.121a)

36 境 界 値 問 題       

の形に置かれる．ここにv¹ v² ::: vn^はx^{の未定関数で，式}(7.114)を満足するように決定される．その ためには，まずn^個の式

v¹⁰u¹ +v²⁰u² ++v⁰_nun = 0 v¹⁰u⁰¹ +v²⁰u⁰² ++v⁰_nu⁰_n = 0

::::::::::::::::::::::::::

v¹⁰u^(1n;2) +v²⁰u^(2n;2) ++v⁰_nu⁽n^n;2) = 0 v¹⁰u^(1n;1) +v²⁰u^(2n;1) ++v⁰_nu⁽n^n;1) =r

(7.121b)

からv⁰¹ v⁰² ::: v_n^{0 を求め，次にこれらを}x^{に関し積分する．}

次に何ゆえこのようにして式(7.114)の特解が得られるのかを簡単に説明する．式(7.121a)^をx^に関し

次々に微分すれば下式が得られる．これらの式の右辺の後半の部分は，微分を重ねても項数が増えないよう に，式(7.121b)^{に示すように}0^{と置かれる．}

u =v¹u¹ ++vnun a⁰

u⁰ =v¹u⁰¹ ++v_nu⁰_n +v⁰¹u¹ ++v⁰_nu_n a¹ u⁰⁰ =v¹u⁰⁰¹ ++vnu⁰⁰_n +v⁰¹u⁰¹ ++v⁰_nu⁰_n a²

::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

u^(n;1) =v¹u^(1n;1) ++vnu⁽n^n;1) +v⁰¹u^(1n;2) ++v⁰_nu⁽n^n;2) an^;1

u⁽ⁿ⁾ =v¹u⁽¹ⁿ⁾ ++vnu⁽nⁿ⁾ +v⁰¹u^(1n;1) ++v⁰_nu⁽n^n;1) 1

次にこれらの式を式(7.114)に代入すれば ，すなわち各式に係数a⁰ a¹ ::: a_n^;11を乗じ 加えれば 次式 が得られる．

v¹L(u¹) ++vnL(un) + v⁰¹u^(1n;1)++v⁰_nu⁽_n^n;1)=r

この式の左辺前半の部分はu¹ ::: un^{が基本系をなすので}0^{になり，式}(7.121b)^{の最後の式が得らる．}

式(7.121b)^からv_i^0をCramer^{公式で求め，これを}x^{で積分すれば} vi(x) =

Z xi()r() () d

ただし

(x) =

u¹ u² un

u⁰¹ u⁰² u⁰_n : : : : : : : : : : :

u^(1n;1) u^(2n;1) u⁽n^n;1)

_i(x) =

u¹ ui^;1 0 ui⁺¹ un

u⁰¹ u⁰_i^;1 0 u⁰_i⁺¹ u⁰_n ::::::::: :::::::::: :::::::::

u^(1n;2) u⁽_i^n;1;2) 0 u⁽_i^+1n;2) u⁽n^n;2)

u^(1n;1) u⁽_i^n;1;1) 1 u⁽_i^+1n;1) u⁽n^n;1)

これより求める特解u(x)^{は次のようになる．}

u(x) =^Xn

i⁼¹ui(x)

Z xi()r() () d=

Z xi(x)r()

() d (7.122)

ただし

(x) =^Xn

i⁼¹ui(x)i() =

u¹() u²() un() u⁰¹() u⁰²() u⁰_n()

: : :: :: : :: :: :: :

u^(1n;2)() u^(2n;2)() u⁽n^n;2)() u¹(x) u²(x) un(x)

特に2階微分方程式の場合には

v¹=^;

Z xu²()

()r()d v²=

Z xu¹() ()r()d

ただし()^は基本解u¹u²のロンスキー行列式である．

可換線形演算子

2^{階微分方程式}(7.119)^の演算子Lが因数に分解できるものとする．

;D+^2;D+¹u= 0 (7.123)

ただし^{1 2は}x^{の関数で，}

¹+²=p ¹²+⁰¹=q

から決定される．

;D+¹u= 0の一般解は与えられた方程式(7.119)^{の解であるが，;}D+²u= 0^の一

般解は通常 式(7.119)を満足しない．しかし式(7.123)の演算子が可換 すなわち

;D+^2;D+¹=^;D+^1;D+²

ならば ，

;D+²u= 0^{の一般解も式}(7.119)^{の解になる．式}(7.123)の演算子が可換であるための必要十 分条件は次のようになる．

⁰²(x) =⁰¹(x)

定係数を持つ線形常微分方程式^|基本系 初めに同次微分方程式

F(D)u^;a⁰+a¹D++a_n^;1D^n;1+Dⁿu= 0 (7.124)

について考える．D=d=dx^，a⁰ a¹ ::: an^;1はここでは定数である．この方程式に関する^のn^次代数

方程式

F()a⁰+a¹++a_n^;1n;1+ⁿ= 0 (7.125)

は特性方程式(characteristic equation)^{といわれる．}

38 境 界 値 問 題       

特性方程式が異なる実根^{1 2} ::: n^{を持つ場合には，式}(7.124)の演算子は次のように因数に分解 することができる．

F(D) = (D^;1)(D^;2)(D^;n)

因数D^;_i (i= 1 ::: n)^{は可換であるから，}(D^;_i)u= 0^の解c_iexp_ix^{はすべて式}(7.124)^の解でも

ある．したがって式(7.124)の一般解は，その特性方程式が異なる実根を持つ場合には次のようになる．

u=c¹e^1x+c²e^2x++cne^nx (7.126)

なおexpix (i= 1 ::: n)が基本系であることは，そのロンスキー行列式が0にならないことから明ら かである．

特性方程式(7.125)^{が共役複素根}rs =^{iを持つ場合には，式}(7.124)の一般解のこの共役複素根 に対応する部分は次のように書くこともできる．ⁱ =^p;1

cre^rx+cse^sx=e^x(c¹cosx+c²sinx) =c⁰e^xcos(x^;) (7.127)

ただしc⁰= (c¹²+c²²)¹⁼² = tan^;1(c²=c¹)^．

式(7.125)^がp^重根1を持つ場合には，重複因数の方程式(D^;1)^pu= 0の一般解を求めなければなら ない．この方程式の１つの解はu=ce^1xである．この方程式の一般解は，未定関数v(x)^を用いu=ve^1x

のように置き，これを重複因数方程式に代入することによって求められる¹⁰．

(D^;1)^pe^1xv= (D^;1)^p;1e^1xDv==e^1xD^pv= 0

これより未定関数v^はx^のp^;1次多項式になり，重複因数方程式の一般解は次のようになる．

u= (c⁰+c¹x++cp^;1x^p;1)e^1x (7.128)

この解は次の方法で求めることもできる．微分方程式の係数a⁰ a¹ ::: an^;1のいくつかを動かせば一 般に解u(x )^の も動くことになる．いま特性方程式が重根を持ち¹ = ^{2とする．このときに微}

分方程式の係数をご くわずか動かせば ，一般に^1と2は元の値からご くわずかに動くと同時に異なる値 をとることになる．このことから重根を持つ場合には１つの解はu(x ¹)^{，残りの解は，解の}1^次結合も

解であるから，lim^!0;u(x ²)^;u(x¹)==^;@u(x )=@=¹から求ることができる．ただし

=^{2;1である．}p重根の場合には係数を動かすことによりp^重解u(x ¹)^は一般にp^{個のものに分}

かれるから，上と同様にしてこの場合に不足するp^;1個の解は次式から求められる．

h@u(x )

@

i

^{=1 h}@^p;1u(x )

@^p;1

i

⁼¹

この手法を上記の１つの解がe^{1xの場合に適用すれば}

@e@ ^{x =1} =xe^1x @^p;1

@^p;1e^x

=¹ =x^p;1e^1x

となる¹¹．なおこの手法は定係数の方程式に限らず適用できる．

10これは定数変化法の考え方と同じである．

(^D;)^vex=^vex+^exDv;vex=^exDv

11ここに述べたことを例をあげて説明すれば，常微分方程式^u00;2^u0+^u= 0の場合には，特性方程式は重根1^{を持ち，１つの解はexにな}

る．またこれに近い方程式^u00;2^u0+^:99^u= 0^{の解はe1:1xとe:9x}になる．これら２つの解の1^次結合(^e1:1x;e:9x)^=:2 =^ex(sinh^:1^x)^=:1

は^xexに近いもので，係数.99^を1^{に近づければこの解の}1^{次結合はxexに限りなく近づく．}

定係数を持つ線形常微分方程式^|特解 非同次微分方程式

F(D)u=f(x) (7.129)

の余関数が知られているときに特解は定数変化法によって求めることができる．定数変化法については既 に述べたのでここには一つの例をあげるにとどめる．

例  u⁽⁴⁾+4u=f(x)^{の一般解を求めよ．}

特性方程式⁴+ 4 = 0^の根は=1i^{．したがって基本系は}u=e^xcosx e^xsinx^{となる．特解は}

ロンスキー行列式(x) = 32^{定数になり，}(x) = 8^;sinh(x^;)cos(x^;) + cosh(x^;)sin(x^;)^．一

般解は

u(x) = (c¹e^x+c²e^;x)cosx+ (c³e^x+c⁴e^;x)sinx + 14

Z x

0

;sinh(x^;)cos(x^;) + cosh(x^;)sin(x^;)f()d

f(x)が特別の形をしている場合には，特解は記号法によって簡単に求めることができる．D^{の逆演算子，}

不定積分をD^{;1で表す．}D^{;1は任意定数}cを含むがこれは余関数に含まれるので特解には含めない．同様 にD^p D^;(D^;)^p F(D)^{の逆演算子をそれぞれ}D^;p(D^;)^;1 (D^;)^;p F^;1(D)^{のように表す．ま}

たこの場合の任意要素c⁰+c¹x++cp^;1x^p;1 ce^x e^x(c⁰+c¹x++cp^;1x^p;1)^{も既に余関数として勘}

定されているので特解には含めない．

(a)f(x) =e^kx，k^：定数

(D^;)e^kx = (k^;)e^{kxであるから，}(D^;)^;1e^kx= (k^;)^;1e^{kxとなる12．同様にして}(D^;1)^;1 (D^;p)^;1e^kx= (k^;1)^;1(k^;p)^;1e^{kx ，}(D^;)^;pe^kx= (k^;)^;pe^kx．

したがってF(k)⁶= 0^{の場合のには，特解は} u=F^;1(D)e^kx= 1F(k)e^kx

となる．この式でk^{を純虚数と考えれば}f(x) = cosxsinx^{の特解，また}k^{を複素数と考えれば}f(x) = e^xcosx e^xsinxの特解を求めることができる．

次にF(k) = 0^{の場合には，}k^{が単根ならば} F⁰(k) ⁶= 0^，k^が m^{重根ならば} F(k) = F⁰(k) = = F^(m;1)(k) = 0 F^(m)(k)⁶= 0^である．F(D)e^kx =e^kxF(k)^の両辺をk^に関してm^{階微分すれば}

F(D)x^me^kx =e^kxx^mF(k)+m 1

x^m;1F⁰(k) ++F^(m)(k)=e^kxF^(m)(k)

したがってこの場合の特解は

u=F^;1(D)e^kx= x^me^kx F^(m)(k)

例  u⁰⁰+2au⁰+b²u=Asin!t (a²< b²)^の一般解u(t)^{を求めよ．}

余関数は

uc(t) =e^;at;c¹e^i!0t+c²e^;i!0t=ce^;atcos(!⁰t^;)

12まず(^D;)^{;1を左から演算すればek x}= (^k;)(^D;)^{;1ek x，次に定数}(^k;)^{で割算する．}

40 境 界 値 問 題       

ただし!⁰=^pb^2;a^{2．また特解は13} up(t) = Asin!t

D²+2aD+b^{2 =I}

h Ae^i!t D²+2aD+b²

i=^Ih Ae^i!t (ⁱ!)²+2aⁱ!+b²

i

=A⁽b^2;!²)sin!t^;2a!cos!t

(b^2;!²)²+(2a!)² =A^;(b^2;!²)²+(2a!)^2;1=2sin(!t^;)

ただし= tan^;1;2a!=(b^2;!²)^．

(b) f(x) =e^kx(x)

(D^;)(e^kx) =e^kx(D+k^;)^{であるから，}(D^;)^;1e^kx(x) =e^kx(D+k^;)^;1(x)^{となる14．同様}

に(D^;1)^;1(D^;_p)^;1e^kx(x) =e^kz(D+k^;1)^;1(D+k^;_p)^;1(x)^{．この場合に特解は} u=F^;1(D)e^kx(x) =e^kxF^;1(D+k)(x)

から求められる．

(c) f(x) =xⁿ

この場合の特解は，F^;1()^のn+1^{項までの展開を}b⁰+b¹++bn^{nとすれば} u=F^;1(D)xⁿ = (b⁰+b¹D++bnDⁿ)xⁿ

から求められる．

例  (D^4;2D³+D²)u=x^2;1^の一般解u(x)^{を求めよ．}

余関数はu_c(x) =c¹+c²x+(c³+c⁴x)e^{x，特解は} up(x) = 1

D²(1^;D)²(x^2;1) =D^;2(1+2D+3D²+4D³+)(x^2;1)

=

ZZ

(x²+4x+5)dx²_{= 112}x²(x²+8x+30)

(d) 求積法による特解の決定

F(D)が重複因数を持たないものとし部分分数に分解する．

F^;1(D) =^Xn

r⁼¹

r

D^;r

したがって特解は不定積分を行うこと，すなわち求積法(quadrature)によって求めることができる．

u=^Xn

r⁼¹

r

D^;rf(x) =^Xre^rxD^;1e^;rxf(x) =^Xr

Z x

e^r(x;t)f(t)dt

この積分の下限は任意で良い．それは下限の差による部分は余関数に含まれるからである．

13

Rは以下の式の実部，^Iは虚部を取る記号である．

14この式は元の式を参考に，^{ek x}=^{ek x}(^D+^k;)(^D+^k;)^;1= (^D;)^{ek x}(^D+^k;)^{;1，この式の左から}(^D;)^;1を

演算すれば導出できる．

F(D)^が因数(D^;)^pを含む場合にはその部分の部分分数は

p

X

r⁼¹

r

(D^;_r)^r

となり，その特解への寄与分は

p

X

r⁼¹

r

(D^;r)^rf(x) =^Xre^xD^;re^;xf(x) =^Xr

Z x^Z t

Z t

e^(x;t)f(t)dt^r

例  u⁰⁰+3u⁰+2u= logx (x >0)^の一般解u(x)^{を求めよ．}

余関数はuc(x) =c¹e^;x+c²e^;2x，また特解は次のようになる．

up(x) = (D²+3D+2)^;1logx= 1 D+1^; 1

D+2

logx D1+^logx=e^{;xZ x}

1

e^tlogtdt= e^;x

e^xlogx^{;Z x}

1

e^t t dt

この定積分は積分指数関数と呼ばれるもので初等関数で表すことはできない．その値は数値積分によって 容易に求められる．

オイラーの線形常微分方程式

オイラーの方程式は

;a⁰+a¹xD++an^;1x^n;1D^n;1+xⁿDⁿu=f(x) (7.130)

のように書かれる．a⁰ a¹ ::: a_n^{;1は定数である．式}(7.130)^{の独立変数}x^をx=e^{zのように置き 独立}

変数z^{の方程式に書換える．}

xD_{= 11} x

dxd ⁼ d dlnx ⁼ d

dz ^{= ~}D x²D²=x² d²

dx^{2 =}x ddxx ddx^;x ddx ⁼ d² dz^2; d

dz ^{= ~}D( ~D^;1) ::::::

xⁿDⁿ= ~D( ~D^;1)( ~D^;n+1)

式(7.130)は，これらの関係を用いれば 次の定係数を持つ線形微分方程式になる．

F( ~D)u^;a⁰⁰+a⁰¹D^~+:::+a⁰_n^;1D^~n;1+ ~Dⁿ=f(e^z)

微分方程式

;a⁰+a¹(px+q)D++an^;1(px+q)^n;1D^n;1+(px+q)ⁿDⁿu=f(x)

ただしp q^{は定数，も}(px+q) =e^zと置けば 上と同様にして定係数を持つ微分方程式に変換できる．

例  球座標のラプラス方程式

@r@ ⁽r²ur) + 1sin @

@^(sinu) + 1sin²u ^{= 0}

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