5.1 結論
本研究によ り 、 データ のパーシステン ト 図を 計算し 、 0次元ホモロ ジー群を 除き 重み付き 平均 を と る こ と で閾値ϵM,ϵF の指標と なる 値を 式5.1,5.2のよ う に提案する こ と ができ た。 こ こ でbi
はホモロ ジー群xiにおける birth、 diはホモロ ジー群xiにおける death、 w(xi)は式5.3によ っ て 求める ホモロ ジー群xiにおけ る 重みである 。
ϵM =
i≤N
∑
i=1
w(xi)(bi+di) 2
i≤N
∑
i=1
w(xi)
. (5.1)
ϵF =
i≤N
∑
i=1
w(xi)di i≤N
∑
i=1
w(xi)
. (5.2)
w(x) = arctan(CPers(x)p) (5.3)
(C, p > 0),
Pers(x) = d−b for x∈ {(d, b)∈R2|b≤d}.
パーシステン ト ホモロ ジーはデータ の幾何学構造を 同定する こ と ができ 、 多次元データ でも 用いる こ と ができ る ため、 多次元フ ァ ジィ 集合へ応用さ せる こ と ができ た。 ま た、 重みを 付け て いる ためbirthと deathが近いノ イ ズである ホモロ ジー群の影響を 小さ く する こ と ができ て いる 。 0次元ホモロ ジー群を 除いて いる ため、 データ の連結成分に関する 幾何学構造を 同定す る こ と はでき て いないが、 他次元のホモロ ジー群によ る 幾何学構造を 同定する こ と で、 幾何学 構造を 保存する よ う な 閾値を 提案でき た。
人が視認でき ない多次元空間において 、 幾何学構造を 用いる こ と で多次元フ ァ ジィ 集合を 編 集する ための検討材料の一つにする こ と ができ たと 言え る 。
5.2 今後の課題
本研究の課題はパーシステン ト ホモロ ジーから よ り よ い閾値を 導出する こ と である 。 平均を 取っ た場合、 0次元ホモロ ジー群のbirthが多いため値が小さ く なる 傾向がある 。 本研究では0
次元ホモロ ジー群を 除いて 計算し たが、 0次元ホモロ ジー群も 幾何学構造である ために、 ホモ ロ ジー群の次元によ っ て 重みを 変更する な ど 方法を 検討する 必要がある 。
サン プル密度を 計算する ための閾値は、 本研究の手法では幾何学構造を 保存する ための閾値 と 近く なり 、 幾何学構造を 保存し た意味がなく なっ て し ま う ため、 他の計算手法も 検討する 必 要がある 。
ま た、 本研究によ っ て 提案し た閾値は人が編集する 際の指標の一つであり 、 よ り 人が多次元 データ を 理解する ために他の検討材料を 提案する こ と が課題である 。 統計量を 用いる こ と や、
人が理解でき る よ う 次元を 削減し たデータ を 用いる こ と が必要にな る 。
そし て 、 システム面から 考え 、 システムにおいて 使いやすいためにメ ン バーシッ プ値の分散 が最も 大き く なる 閾値を 取る と いう 考え 方も ある 。 様々 な点から 検討でき る よ う にする こ と が 一番の課題である 。
参考文献
[1] Lotfi A Zadeh. The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning―i. Information sciences, Vol. 8, No. 3, pp. 199–249, 1975.
[2] Lofti A Zadeh. Information and control. Fuzzy sets, Vol. 8, No. 3, pp. 338–353, 1965.
[3] Takaki Okuyama, Nobuhiko Kawashiro, and Junji Nishino. Humanoid motion generation with fuzzy state knowledge. In 27th Fuzzy System Symposium, pp. 175–178, 2011.
[4] Junji Nishino and Akihiro Kasuya. Gpgpu for human modelling with konohen fuzzy set.
In 27th Fuzzy System Symposium, p. to be appeared, 2011.
[5] Akihiro Kasuya and Junji Nishino. High-speed generation of multi-dimensional, fuzzy set with gpgpu. In 26th Fuzzy System Symposium, pp. 1232–1235, 2010.
[6] Junji Nishino. Konohen fuzzy: A sample points based computational model for multi-dimensional fuzzy set. InGranular Computing (GrC), 2014 IEEE International Conference on, pp. 230–234. IEEE, 2014.
[7] Takashi Harada and Junji Nishino. Multi-dimensional fuzzy set identification using per-sistent homology. International Fuzzy Systems Association, 2017.
[8] 原田貴史, 西野順二. 多次元フ ァ ジィ 集合生成におけ る パーシステン ト ホモロ ジーの応用.
第33回フ ァ ジィ システム シン ポジウ ム, 2017.
[9] Yasuaki Hiraoka. Protein Structure and Topology : Introduction to Persistent Homology.
Kyoritsu Shuppan, 2013.
[10] Mark Anthony Armstrong. Groups and Symmetry. Springer Japan, 1988.
[11] Afra Zomorodian and Gunnar Carlsson. Computing persistent homology. In Discrete Comput Geom 33, pp. 249–274, 2005.
[12] Herbert Edelsbrunner and John Harer. Persistent homology - a survey. In Contemporary Mathematics Volume 453, pp. 257–282, 2008.
[13] Ulrich Bauer. Ripser. https://github.com/Ripser/ripser, 2015–2016.
[14] Otter N, Porter MA, Tillmann U, Grindrod P, and Harrington HA. A roadmap for the computation of persistent homology. http://arxiv.org/abs/1506.08903, 2015.
[15] Genki Kusano, Kenji Fukumizu, and Yasuaki Hiraoka. Persistence weighted gaussian kernel for topological data analysis. International Conference on Machine Learning, pp.
2004–2013, 2016.