第 3 章 Si 単結晶の理想格子不安定解析 24
4.3 結言
fcc金属であるAl単結晶について，前章と同様に[001]方向引張変形下での横方向非 等方収縮への変形分岐条件，および，変形分岐前後の格子不安定性について検討した．
得られた結果は以下のとおりである．
(1) 横方向の等方収縮を仮定して得られる理想引張強度εzz = 0.18に対し，εzz = 0.051 を臨界ひずみとする非等方収縮がエネルギー的に低くなる変形経路への分岐が示 された．
(2) 電子構造の変化から，(1)の非等方収縮変形によって，部分転位に対応する方向 への原子の移動が生じることが示された．
(3) 変形分岐ひずみεzz = 0.052以降は弾性剛性係数行列の行列式が負となる不安定 状態であることが示された．前章同様，この不安定は横方向変形に対する抵抗を 表す小行列式B112 −B122 が負となることによってもたらされていた．このように，
fcc金属であるAlについても，格子不安定性の観点からεzz >0.051が横方向変 形に対する分岐クライテリアであることが示された．
第 5 章 結 論
第一原理分子動力学法による変形破壊解析は，膨大な計算を必要とするため，必然 的に変形経路を仮定したものとなる．このため，それより得られる理想強度と自由度 の高い実際の系で生じる他の変形経路への分岐との関係を明らかにする必要がある．
本研究では，格子不安定条件に基づく変形分岐解析を第一原理分子動力学法により非 経験的に行うことを目的とする．その第一歩として，引張変形下での転位発生クライ テリアとして重要と報告されている，横方向非等方収縮への変形分岐について検討し た．以下に本論文で得られた結果を総括する．
第3章では，[001]方向(z軸方向)に単軸引張を受けるSi単結晶について検討した．
等方的なPoisson収縮を仮定して得られる理想引張強度はεzz = 0.25であったのに対
し，非等方収縮を考慮した場合，εzz = 0.094以降の引張ひずみにおいて，非等方収縮 の方がエネルギー，応力ともに低くなる変形経路への分岐が存在することがわかった．
分岐臨界ひずみεzz = 0.093 における⟨110⟩方向の分解せん断ひずみはεzx = 0.295で あり，垂直方向応力0の条件下における(111)面の理想せん断強度εzx = 0.30に近い．
また，非等方収縮変形下の電子構造変化からも，部分転位に対応する原子の移動を示 唆するSi間のボンドの変化が認められた．これらより，本解析における引張時の横方 向変形分岐は，転位発生に対する理想せん断強度と密接に関係していることが示唆さ れた．変形分岐に関して格子不安定性の観点から考察するため，各ひずみ下の弾性剛 性係数を数値的に評価したところ，εzz = 0.094以降は弾性剛性係数の行列式が負とな る不安定状態になっていることが示された．この不安定は，横方向変形に対する抵抗
を表す小行列式B211−B122 が負となることによってもたらされていた．このように格 子不安定性の観点からもεzz >0.093が[001]引張を受けるSiの横方向変形に対する分 岐クライテリアであることが示された．
第4章では，[001]方向に単軸引張を受けるAl単結晶について，第3章と同様の検討を
行った．その結果，等方Poisson収縮下の理想引張強度εzz = 0.18に対して，εzz = 0.052 以降の引張ひずみで非等方収縮への変形経路の分岐を生じることが示された．Siと同 様，電子構造変化から非等方収縮により部分転位に対応する原子移動を生じることが 示された．また，弾性剛性係数の正値性に基づく格子不安定性評価からもεzz = 0.052 以降が不安定であることが示され，fcc金属であるAl単結晶においても同手法が不安 定変形開始の指標となりうることが示された．
参 考 文 献
(1) Kitagawa, Aihara, Kawazoe編, Mesoscopic Dynamics of Fracture, (1998) (2) Abrahan, F. F., Materials Science for the 21st Century; The Society of Meterials
Science, A (2001), 195–202.
(3) Vashishta, P., Bachilechner, M. E., Nakano, A., Campbell, T. J., Kalia, R.
K., Kodiyalam, S., Ogata, S. and Shimojo, F., Materials Science for the 21st Century; The Society of Meterials Science, A (2001), 213–219.
(4) Li, J., Cai, W., Chang, J. and Yip, S. , Materials Science for the 21st Century;
The Society of Meterials Science, A (2001), 220–233.
(5) 香山正憲,田中真梧, 材研連講演論文集, (2000), 342–343.
(6) 尾方成信,北川浩, 金属学会誌, 60–11, (1996), 1079–1083.
(7) 梅野宜崇, 北村隆行,日本計算工学会第6回講演論文集, 6–2, (2001), 571.
(8) 楠幸久,渋谷陽二, 冨田佳宏, 神戸大学修士論文, (1999)
(9) Born, M and Huang, K., Dynamical Theory of Crystal Lattices, (1954), Oxford UP.
(10) Huang, K., Proc. R. Soc. London, 204A(1950), 178.
(11) Milstein, F., Phys. Rev. B, 3–4B(1971), 1130.
(12) Milstein, F. and Hill, R. , J. Mechanics and Physics of Solids, 25 (1977), 457.
(13) Milstein, F. and Hill, R. , J. Mechanics and Physics of Solids, 26 (1978), 213.
(14) Milstein, F. and Farber, B. , Phys. Rev.Lett., 44–4, (1980), 277.
(15) Hill, R., Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 77, (1975), 225.
(16) Milstein, F. and Hill, R. , J. Mechanics and Physics of Solids, 23 (1975), 21.
(17) Wang, F. et al.,Phys.Rev.lett., 45–14, (1980), 1196.
(18) Wang, J., S.Tip, S.R.Phillpot and Wolf, D.,Phys. Rev.Lett.,71–25 (1993), 4182.
(19) Wang, J., Li, S.Tip, S.R.Phillpot and Wolf, D., Phys. Rev., 52–17B (1995), 12627.
(20) Wallace, D. C.,Thermodynamics of Crystals, (1972), Wiley, Newyork (21) 屋代如月, 冨田佳宏,日本機械学会第12回計算力学講演会, (1999) (22) 屋代如月,北村隆行,大谷隆一, 京都大学博士論文, (1998)
(23) 屋代如月,北村隆行,大谷隆一, 機論, 63–615, (1997), 2380–2386.
(24) Hohenberg,P. and Kohn,W., Phys. Rev.,, 136–3B, (1964), 864–871.
(25) Kohn,W. and Sham,L.J., Phys. Rev.,, 140–4A, (1965), 1133–1138.
(26) Perdew,J.P. and Zunger,A., Phys. Rev.,B, 23–10, (1981), 5048–5079.
(27) Bachelet, G. B., Hamann, D. R. and Schl¨uter, M., Phys. Rev.,B, 26–8, (1982), 4199–4228.
(28) 上田顕,コンピュータシミュレーション, (1990), 朝倉書店.
(29) Monkhorst,H.J. and Pack,J.D.,Phys. Rev.,B,13–12, (1976), 5188–5192.
(30) Chadi,D.J.and Cohen,M.L., Phys.Rev.B., 8-12(1973), 5747-5753.
(31) 香山正憲, 固体材料の電子状態の基礎, (1993),材料学会勉強会資料.
(32) L.D.ランダゥ , E.M.リフシッツ著,佐々木健,好村磁洋訳, 量子力学1, (1992), 東京図書.
(33) 尾口多美夫,佐々木泰造, 固体物理,25–11, (1990), 857–865.
(34) キッテル,固体物理学入門 上 第7版(1998),丸善
(35) Car,R. and Parrinello,M.,Phys. Rev.Lett., 55, (1985), 2471–2474.
(36) Teter,M.P. et al., Phys. Rev.B, 40, (1989), 12255. ; Payne,M.C. et al., Rev.Mod.Phys., 64, (1992), 1045.
(37) Bylander,D.M. et al., Phys. Rev.B, 42, (1990), 1394. ; Kresse,G. and Hafner,J, Phys. Rev.B,49, (1994), 14251.
(38) King-Smith,R.D. and Vanderbilt,D. ,Phys. Rev.B, 49, (1994), 5828.
(39) Gillan,M.J. , J. Phys. Condens. Matter 1, (1989), 689.
(40) Stich,I. et al. , Phys. Rev.B, 39, (1989), 4997.
(41) 吉田貞史 電子技術総合研究所彙報, 62–10,11, (1999),137–147
(42) Rignanese,G.M. , Ghosez,Ph. , Charlier,J.C. , Michenaud,J.P. and Gonze,X., Phys. Rev.B,52, (1995), 8160.
(43) Bernasconi,M. , Chiarotti,G.L. , Focher,P. , Scandolo,S. , Tosatti,E. and Par-rinello,M. , J.Phys.Chem.Solids 56, (1995), 501.
(44) Caperley,D.M. and Alder,B.J., Phys. Rev.Lett., 45–7, (1980), 566–569.
(45) Kerker,G.P., Phys. Rev.,B, 23–6, (1981), 3082–3084.
(46) Pui,K.L. and Marbin L.C., Phys. Rev.,B, 24–8, (1981), 4224–4227.
(47) Sasaki,T. , Rappe,A.M. and Louie,S.G, Phys. Rev.,B, 52–17, (1995), 12760–
12765.
(48) Nielsen,O.H.,Martin,R.M., Phys. Rev.,B, 32–6, (1985), 3780–3791.
(49) Dacosta,P.G.,Nielsen,O.H.and Kunc,K., J. Phys. C : Solid State Phys.,, 19, (1986), 3163–3172.
付録 A
原子単位系
従来の単位系を用いると，電子の質量はme= 9.1095×10−31kg，原子の大きさの目 安となるボーア半径はa0 = 5.2918×10−11m となり，原子または分子を扱う場合に大 変不便である．このため，原子単位 (atomic unit; a.u.) とよばれる単位系が用いられ る．今，水素原子に対する Schr¨odinger方程式は，
{
− ¯h2
2me∇2− e2 4πε0r
}
Ψ = EΨ (A.1)
となる．ここで ¯h は，Plankの定数 hを 2π で割ったものであり，me は電子の質量，
−e は電子の電荷である．この方程式を無次元化するために，
x, y, z, −→ λx′, λy′, λz′ (A.2)
とすると，式(A.1) は，
{
− ¯h2
2meλ2∇′2− e2 4πε0λr′
}
Ψ′ =EΨ′ (A.3)
運動エネルギ，およびポテンシャルエネルギ演算子の前の係数は，λ を，
¯ h2
meλ2 = e2
4πε0λ =Ea (A.4)
を満たすように置くと，くくり出すことができる．ここでEa はハートリー（hatree）
と呼ばれるエネルギの原子単位である．また，式(A.4) を λ について解くと，
λ = 4πε0h¯2
mee2 =a0 (A.5)
となり，λ は Bohr 半径a0 に等しく，長さの原子単位である．式 (A.3)，式 (A.4) に より，
Ea
{
−1
2∇′2− 1 r′
}
Ψ′ =EΨ′ (A.6)
となるので，E′ =E/Ea とすると，無次元の方程式，
{
−1
2∇′2− 1 r′
}
Ψ′ =E′Ψ′ (A.7)
を得ることができ，これが，原子単位系でのSchr¨odinger方程式である．表A に原子 単位系と SI 単位系との関係を示す．
物理量 a.u. (Hartree) SI 単位
長さ 1.0 5.2918×10−11m
質量 1.0 9.1095×10−31kg
時間 1.0 2.4189×10−17sec
エネルギー 1.0 4.3598×10−18J
電荷 1.0 1.6022×10−19C
力 1.0 8.2388×10−8N
応力 1.0 2.9417×1013Pa
また，SI単位系ではないが，よく用いられる物理量として，長さの単位では，1[a.u.] = 0.52981[A]，エネルギの単位では，1[a.u.] = 27.211[eV] などがある．
付録 B
関連講演論文
(1) 大穂正史，屋代如月，冨田佳宏，第一原理計算によるシリコンの理想格子不安定 解析，日本機械学会第14回計算力学講演会講演論文集，(2001)
(2) 大穂正史，屋代如月，冨田佳宏，第一原理計算によるAl単結晶の理想格子不安 定解析，日本機械学会関西支部第77期定時総会講演会講演論文集，(2002)，講 演予定