§ 16 ．粒子の崩壊
■2粒子への崩壊，C系 粒子(内部エネルギーE内部)が《自然に》(すなわち，外場の介入なしに)2つの粒 子(質量m1, m2，内部エネルギーE1内部, E2内部)へと崩壊する過程を考える．粒子間の相互作用の具体的な 種類に依らずに，運動量とエネルギーが保存する．崩壊する粒子の静止系(慣性中心系またはC系)において
• 運動量保存則
→ 2粒子は共通の大きさp0の反対向きの運動量で離れてゆく
• エネルギー保存則
E内部=E1内部+E2内部+p02
2m, m= m1m2 m1+m2
：換算質量
→ 《崩壊エネルギー》 ε≡E内部−E1内部−E2内部= p02 2m からC系における各粒子i= 1,2の速度vi0=p0/miが決定される．
■2粒子への崩壊，L系 崩壊する前の粒子が速度V を持つ基準系(実験室系またはL系)に移る．崩壊に よってできた2粒子の1つに注目し，その
• C系に対する速度をv0 (V とのなす角をθ0) – 既に得られている
• L系に対する速度をv (V とのなす角をθ) と書く．v−V =v0により
• L系における飛行方向θと速さvの関係 v2+V2−2vV cosθ=v02 – V < v0の場合，粒子は任意の角度θの方向へ飛ぶことができる
– V > v0の場合，粒子は前方θ≤θmaxへだけ飛ぶことができる(sinθmax=v/V)
• L系とC系における飛行方向θとθ0の関係 cosθ0=−vV0sin2θ±cosθ√ 1−vV22
0
sin2θ – V < v0の場合，複号は+をとる
– V > v0の場合，2つの符号に対応した2つのθ0の値がある が見いだされる．
■2粒子への崩壊，崩壊粒子の方向分布 次に多くの同種粒子の崩壊を考える(各粒子はいずれも決まった種 類の粒子1,2へと崩壊する)．同一の崩壊過程が考えられているため，C系において同種の崩壊粒子(例えば粒 子1)はすべて同じエネルギーを持つ．またはじめの粒子の系が等方的であれば，C系において飛行方向の範 囲dθ0へ飛んでゆく崩壊粒子は立体角do0= 2πsinθ0dθ0に比例し，
do0 4π = 1
2sinθ0dθ0
となる(4πは全立体角)．飛行方向の変化dθ0に伴う崩壊粒子(質量m=m1, m2)の運動エネルギーの変化 dT を用いて，これは
1
2sinθ0dθ0= dT 2mv0V と書ける．
■2粒子以上の粒子への崩壊 教科書の内容を補足しつつまとめよう．質量M，内部エネルギーE内部を持つ 粒子が多数の粒子1,2,3,· · · へと崩壊する過程を考える．粒子2,3,· · · を1つの複合粒子と見なしてこの過程 を2つの部分
• 粒子1 (質量m1，内部エネルギーE1内部)
• 複合粒子 (質量M −m1，内部エネルギーE′内部)
への崩壊と捉えると，これらの運動量は共通の大きさp0を持ち，エネルギー保存則は E内部−E1内部−E′内部= p02
2m1(M−m1)/M, m1(M −m1)/M：換算質量
∴ p02 2m1
= (
1−m1 M
)
(E内部−E1内部−E′内部)
となる．このうちE内部および各崩壊粒子1,2,3,· · · の内部エネルギーE1内部, E2内部, E3内部,· · · の値は決 まっているものと考えると，変化し得るのはE′内部のみである．これは複合粒子の静止系でのエネルギー
E′内部 =∑
a≥2
(1
2mava2+Ea内部 )
として定義されており，ここで再びEa内部の値は定まっていることに注意すると E′内部が最小
⇔ va = 0 (a= 2,3,· · ·)
「質点m1をのぞくすべての崩壊粒子が」もとの系に対し「同一の速さで運動する」(p.53，l.15,16)
⇔ E′内部=∑
a≥2
Ea内部
「E′内部は単にそれらの内部エネルギーの和に帰」す(p.53，l.16,17)．
§ 16 について
■C系における飛行の角度θ0 図14(p.51)のダイアグラムにおいて，C系における崩壊粒子の速度v0とL 系における崩壊前の粒子の速度V のなす角としてθ0が定義される．このときC 系における飛行の角度θ0
は，それを測る基準となる方向がV であるため，C系だけでなく，C系に対するL系の速度−V にも関係 することになる．
■θ0とθの関係(16.6)の導出 式(16.5):
tanθ= sinθ0 cosθ0+V /v0
, ∴
(
cosθ0+V v0
)
tanθ= sinθ0
図18 飛行方向θ0の範囲dθ0の方向の立体角
を両辺平方して整理すると，cosθ0についての2次方程式 cos2θ0+ 2V
v sin2θcosθ0+ (V
v0
)2
sin2θ−cos2θ= 0 になる．よって
cosθ0=− V v0
sin2θ±
√(V v0
)2
sin4θ− (V
v0
)2
sin2θ+ cos2θ
=− V
v0sin2θ±cosθ
√ 1−
(V v0
)2
sin2θ: (16.6) を得る．
■立体角do0= 2πsinθ0dθ0(p.52，l.18,19) 図18参照．
■分布(16.8) 崩壊粒子のC系での速さv0を固定して飛行方向をθ0→θ0+ dθ0と変化させたとき，これに 伴いL系での速さ，運動エネルギーがそれぞれv →v+ dv, T →T+ dT と変化したとする．このとき飛行 方向の範囲dθ0に飛んでゆく粒子の割合(16.7)は
1
2sinθ0dθ0= 1
2|d(cosθ0)|=1 2
d(v2) 2v0V =1
2 dT
(m/2)2v0V = dT
2mv0V : (16.8) と書き換えられる．
§ 16 ，問題 2
式(16.6)，式(16.7)より
1
2sinθ0dθ0=−1
2d(cosθ0) = sinθdθ 2
2V
v0cosθ± 1 + (V
v0
)2
cos 2θ
√ 1−(
V v0
)2
sin2θ
(6)
を得る．これはL系での飛行方向の範囲dθと，対応するC系での飛行方向の範囲の関係を与える．v0< V のときθ0の増大dθ0に伴うcosθ0の変化d(cosθ0)は図19のように，式(16.6)の正号+に対応するθ0に対
図19 θ0の増大dθ0に伴うcosθ0の変化d(cosθ0)
して負に，負号−に対応するθ0に対して正になる．よって式(6)最右辺は複号で+をとったものが正に，− をとったものが負になることに注意して各々の絶対値1
2|d(cosθ0)|を足すと答を得る．
§ 17 ．粒子の弾性衝突
2粒子(質量m1, m2)の弾性衝突を考える．弾性衝突において粒子の内部エネルギーは変化しないため，エ ネルギー保存則において考慮しなくて良い．
C系において
• 運動量保存則· · · 衝突前後で全運動量がゼロ
• エネルギー保存則· · · 衝突前後で全運動エネルギーが不変
であることから，衝突後に2粒子の速度の方向は変化するが，それらの大きさは変わらず，また互いに逆向き であることも衝突前と変わらないことが結論される(図20参照，衝突後の方向n0は粒子の相互作用の法則，
および衝突時における粒子の相互位置に依存する)．
ここからL系における衝突前の2粒子の運動量p1,p2と，衝突後の2粒子の運動量p′1,p′2の関係が得 られる．p1,p2 およびn0 が与えられたとき，p′1,p′2 は以下の手順で作図することができる(図20参照，
v≡ |v1−v2|：相対速度)．
1. ベクトルp1+p2を描き，これを−→
ABとする．
2. −→
ABを質量比m1対m2に内分する点Oをとる．
3. −→
OC =mvn0により定まる点Cをとる(m：換算質量)． 4. このとき衝突後の運動量p′1,p′2は，p′1=−→
AC,p′2=−→
CBによって与えられる．
特にL系に対して粒子2が静止しており，ここに粒子1が相対速度vで入射する場合のダイアグラムは図 22のようになる．衝突後の2粒子の運動量p′1,p′2のなす角はθ1+θ2で与えられる(図23参照)．ここから 次のことが分かる．
• C系での粒子1の方向転換の角度χを用いてθ1, θ2, v′1, v′2を表せる．
• m1< m2ならばθ1+θ2> π/2，m1> m2ならばθ1+θ2< π/2となる．
• 正面衝突(χ=π)のとき，v′2∝sin(χ/2)が，
図20 C系から見た2粒子の弾性衝突 図21 L系における衝突後の運動量の作図
図22 衝突前に粒子2が静止している場合のダイアグラム
𝑚1
𝑚1
𝑚2
𝑚2 𝒑1= 𝒑1+ 𝒑2
𝒑1′
𝒑2′ θ1
θ2
図23 衝突後の2粒子の運動量p′1,p′2のなす角はθ1+θ2で与えられる
したがって粒子2の受け取るエネルギーE′2が最大となる．
• m1=m2のときθ1+θ2=π/2となる．
図24 三角形AOC(教科書の図16(p.56)) 図25 二等辺三角形BOC(教科書の図16(p.56))
§ 17 について
■L系における同質量粒子の正面衝突 共通の質量m1 =m2を持つ2粒子が正面衝突する場合を考えると (n0はp1と反平行)，L系における衝突後の運動量の式(17.3)は
v′1=v2, v′2=v1
を与える．これは衝突により2粒子の速度が交換されることを意味する．よって2粒子を区別しなければ，粒 子は互いをすり抜けるように運動する．
■θ1の式(17.4) 図24より
tanθ1= mvsinχ (m1
m2 + cosχ )
mv
= m2sinχ m1+m2cosχ.
■v′1, v′2の式(17.5) 図24における三角形AOCに余弦定理を用いると (m1v′1)2=(mv)2
{ 1 +
(m1 m2
)2
+ 2m1 m2
cosχ }
,
∴v′1=v m2
m1+m2
√ 1 +
(m1
m2
)2
+ 2m1
m2
cosχ=
√m12+m22+ 2m1m2cosχ m1+m2
v を得る．v′2の表式は図25における二等辺三角形BOCに注目すると得られる．
■「m1< m2ならばθ1+θ2> π/2，m1 > m2ならばθ1+θ2< π/2となる」(p.57，l.2,3) このことは教 科書の図16(a)(p.56)において角ACB> π/2，教科書の図16(b)(p.56)において角ACB< π/2であることか ら分かる．
■正面衝突後の速度(17.6) 静止している粒子2に粒子1が正面衝突する場合(χ=π)を考える．図16(p.56) のダイアグラムから
m1< m2 ⇒ 衝突後，粒子1は後退する m1> m2 ⇒ 衝突後，粒子1は前進する
ことが読み取れる．さらに衝突後の速度の大きさv′1の式(17.5)においてχ=πとすると v′1= m2−m1
m1+m2
v (m1< m2), v′1=m1−m2
m1+m2
v (m1> m2)
図26 有効散乱断面積dσ= 2πρdρ
となることと考え合わせると，衝突後の速度の式(17.6):
v′1= m1−m2
m1+m2v を得る．
§ 18 ．粒子の散乱
2粒子の衝突について，それと等価な換算質量mを持つ粒子の，中心力の場U(r)による散乱を考える．
無限遠での粒子の速度v∞， 衝突パラメターρ
→ エネルギーE=mv∞2
2 ， 角運動量M =mρv∞
→ 散乱による粒子の方位角の変化2ϕ0， ϕ0=
∫ ∞
rmin
M r2dr
√
2m[E−U(r)]−Mr22
=
∫ ∞
rmin
ρdrr2
√
1−ρr22 −mv2U2
∞
→ 軌道のふれの角度χ=|π−2ϕ0|の決定．
散乱中心に向かう同一粒子の(一様な)ビームを考える．単位時間のうちに角度χの区間dχの方向に散乱 される粒子数dN は，入射粒子数の流れの密度nに依存する．そこで比dσ= dN/nを導入すると散乱過程 そのものを特徴づけることができる．角度χの区間dχの方向に散乱される粒子数dNは，対応する衝突パラ メターの幅dρがビームの断面の中に形成する円環を通過する粒子数に等しいから，これをnで割った量dσ は円環の面積2πρdρに他ならない(図26参照)．このためdσは有効散乱断面積と呼ばれる．このことから，
上で得られた衝突パラメターρとふれの角度χの関係ρ=ρ(χ)を用いて有効散乱断面積は dσ= 2πρ(χ)
dρ(χ) dχ
dχ= ρ(χ) sinχ
dρ(χ) dχ
do
と計算されることになる(doは角度の幅dχの方向の立体角do= 2πsinχdχ)．
§ 18 について
■軌道の漸近線は場の中心を通らない 粒子が角度χの方向に散乱されると言うとき，それは場の中心Oか ら見た角度ではない．粒子の軌道は場の中心Oから見て角度χの方向の直線と平行になるけれど，軌道の漸
図27 C系で見た2体の衝突
近線は場の中心Oを通らない(図18(p.58)参照)．
■C系で見た2体の衝突 図18(p.58)のように換算質量mを持つ粒子が衝突パラメターρで入射し角度χ の方向に散乱されるとき，式(13.2)より元の2体問題における散乱過程は図27のようである．すなわち
• 散乱が起きる前の2粒子の漸近線は距離ρだけ隔たっており，
• 散乱により2粒子はともに角度χだけふれる．
■ϕ0の式(18.2) 式(18.2)の積分範囲は式(14.5)でr˙≥0としたことに対応している．
§ 18 ，問題
1
図19(p.61)はL系において静止した剛体球に粒子が衝突する様子を示したものではなく，C系における剛
体球ポテンシャルの下での換算質量を持つ仮想的な粒子の散乱を描いたものである．
2
式(17.7)を用いる際，E1= 12m1v∞2とする．
3
断面積の式(18.8):dσ= sinρ(χ)χdχdρ
doにρ=v∞−2/nを代入すると dσ=v∞−4/nf(χ)|f′(χ)|
sinχ do∝v∞−4/ndo となる．これはn= 1に対するRutherfordの公式(19.3):
dσ= ( α
2mv∞2 )2
do sin4χ2
と整合している．
4
場の中心に《到達》する条件(14.11):r2U(r)|r→0 <−M2m2 すなわち2α > mρ2v∞2は，E = 12mv∞2>0 の下で《衝突》が起きるのが
M2 2m < α のときであること(§ 15，問題2)と整合している．
v∞→ ∞のときσ→ ∞となる，すなわち粒子は場の中心に落ちない．
5
有効ポテンシャルの極大を与えるrは 0 = dU有効
dr =−mρ2v∞2 r3 + αn
rn+1, ∴r=
( αn mρ2v∞2
)n−21
≡r0 であり，極大値は
U0= 1 r0n
(mρ2v∞2
2 r0n−2−α )
=
(mρ2v∞2 αn
)n−2n α
(n 2 −1
)
となる．条件U0< E= 12mv∞2を満たすρの範囲は
ρ <
√ αn mρ2v∞2
( mv∞2 (n−2)α
)1−n2
=
√
n(n−2)n2−1αn2(mv∞2)−n2 ≡ρmax
で与えられる．
v∞→ ∞のときσ→ ∞となる，すなわち粒子は場の中心に落ちない．
6
有効ポテンシャル
U有効(r) =mρ2v∞2 2r2 −α
r
の概形は図10(p.43)のようだから，rminはU有効(rmin) =E= mv2∞2 から決まる．ところでE= mv2∞2 >0 の範囲ではU有効(r)は単調減少するので，衝突の条件rmin< RはU有効(R)< U有効(rmin)すなわち
mρ2v∞2 2R2 − α
R <mv∞2 2 と書き換えられる．これを満たすρの範囲は
ρ2≤R2 (
1 + 2α Rmv∞2
)
≡ρmax2
で与えられる．ここでm2≫m1を仮定してm≃m1とし，さらにα=γm1m2とおくと断面積の表式 σ=πρmax2≃πR2
(
1 + 2γm2 Rv∞2
) を得る．
§ 19 ．ラザフォードの公式
断面積dσ= 2πρ(χ)dρ(χ)dχ
dχは，χとρの関係 χ=π−2ϕ0, ϕ0=
∫ ∞
rmin
ρdrr2
√
1−ρr22 −mv2U2
∞
から求まる(§ 18)．そこでCoulomb場U =α/r(αの符号は任意)による荷電粒子の散乱を考えると，断面 積はRutherfordの公式
dσ=π ( α
mv∞2 )2
cosχ2 sin3χ2dχ=
( α 2mv∞2
)2
do
sin4χ2, do= 2πsinχdχ で与えられる．
はじめ粒子2が静止している実験室系を考える．
• 粒子2が角度の区間dθ2に散乱されるとき，粒子m(または粒子1)が通過しなければならない断面積 dσ2= 2π
( α mv∞2
)2
cosθ2
sin3θ2
dθ2= ( α
mv∞2 )2
do2
cos3θ2
, do2= 2πsinθ2dθ2.
• 粒子1が角度の区間dθ1に散乱されるとき，
粒子m(または粒子1)が通過しなければならない断面積dσ1
– m2≫m1(したがってχ≃θ1，m≃m1)のとき dσ1=
( α 4E1
)2
do1
sin4θ21, do1= 2πsinθ1dθ1, E1=1
2m1v∞2. – m1=m2(したがってm=m1/2)のとき
dσ1= 2π (α
E1 )2
cosθ1
sin3θ1dθ1= ( α
E1 )2
cosθ1
sin4θ1do1, do1= 2πsinθ1dθ1.
• 粒子1,2が同種粒子であり，そのいずれかが角度の区間dθに散乱されるとき，
粒子m(または粒子1)が通過しなければならない断面積 dσ= [dσ1+ dσ2]m1=m2,θ1=θ2=θ=
( α E1
)2( 1
sin4θ + 1 cos4θ
)
cosθdo, do= 2πsinθdθ.
• 散乱により粒子2が得るエネルギー(したがって粒子1の失うエネルギー)εが区間dεに含まれるとき，
粒子m(または粒子1)が通過しなければならない断面積 dσ= 2π α2
m2v∞2 dε ε2.
§ 19 について
■「初等的な積分」(p.64の1番下の行) 式(18.4)にU =α/rを代入すると ϕ0=
∫ ∞
rmin
(ρ/r2)dr
√ 1 +
( α ρv∞2
)2
−(
ρ r+ρvα2
∞
)2 (7)
となる．ここで
ρ r+ α
ρv∞2 ≡
√ 1 + α
ρv∞2cosθ とおくと*4，式(7)は[θ]r=r=r∞
minとなる．式(7)において被積分関数の分母の根号内が (E−U有効(r))
mv∞2/2 =
√ 1 + α
ρv∞2sinθ
となっていることとr=rminがU有効(r) =Eの解であることに注意すると，r =rminでθ=nπ なので，
p.65，l.1の式
ϕ0= arccos
α mv∞2ρ
√ 1 +
( α mv∞2ρ
)2
を得る．なお，U有効(r) =EはU有効(r)の概形とE =mv∞2/2>0よりr >0にただ一つの解をもち，そ れは
rmin= α mv∞2
1 +
√ 1 +
(mv∞2 α/ρ
)2
である．
■dσ2の式(19.4) 式(19.4)においても式(16.8)，式(18.7)と同様に変化量を正の値として定義しており，
χ=π−2θ2であってもdχ= 2dθ2としなければならない．
■有効断面積をエネルギー損失の関数として表した式(19.8)
dε=2m2 m2
v∞2sinχ 2cosχ
2dχ, dε
ε2 = 1
2m2 m2 v∞2
cosχ2dχ sin3χ2 による．
§ 19 ，問題
1
ϕ0の式(18.4)にU =α/r2を代入すると ϕ0=
∫ ∞
rmin
ρdrr2
√ 1−(
ρ2+mv2α2
∞
) 1 r2
= ρ
√
ρ2+mv2α2
∞
∫ 1 0
√ dX 1−X2
(√
ρ2+ 2α mv∞2
1 r ≡X
)
= πρ
2
√
ρ2+mv2α2
∞
となる．これを式(18.1):χ=π−2ϕ0に代入し
χ=π
1− 1
√
1 + mρ2α2v∞2
*4置き換え(3)のときと同じようにこれを満たすθは2通りあって，どちらを用いても良い．ここではsinθ >0となるθをとるこ とにする．