我々は今まで静電・磁気に関するCoulombの法則、電荷保存の法則、電磁誘導の法則を基本 法則としてきた。もう一つの基礎法則として運動する点電荷と磁場との相互作用、Lorentz 力 を採用しよう。
磁場密度 B が与えられたとき、電荷 q、速度 v の運動体は B から次の力をうける。
F=qv×B (7.1)
力の原因は B か Hかは真空中の磁場を調べるだけでは判断できないが、磁化された鉄材中 を通過する荷電粒子の軌跡を調べれば、B である事が判断できる。真空中ではB とH は比例 関係にあり、鉄材中でも比例関係にあるとして良いが、比例係数が異なるので軌跡の曲率半径 が異なる。H を変えながら軌跡を観測すると余計はっきりする。
B と一緒に Eも存在すれば、(7.1)には更に qE と言う項が加わる。ただしこう言えるのは、
E の存在が Bに影響を与えない、逆に B が E に影響を与えない事を暗黙に仮定している。
(7.1) の大きな特徴の一つは、B が時間に依存しない時は、Lorentz 力は荷電粒子に仕事をし
ない事である。仕事率を dw
dt とすると dw
dt =F·v=qv·(v×B) = q(v×v)·B= 0 (7.2) 時間依存のある磁場による荷電粒子の加速としては宇宙線の Fermi-Chandrasekar の加速が 有名である。電荷に作用を及ぼすのは電場であるという考え方をするならば、(7.1) は、v×B は等価電場とも見られる。
電流と磁場との相互作用 電荷の集合が一様に運動している時、微小体積を dv、電流密 度をi とすると、電流要素 idv に働く力 dFは
dF=idv×B (7.3)
と書くのは (7.1) の簡単な拡張であろう。又、細い電線にI という電流が流れているならば、
ds という線素に働く力 dF は
dF=I ds×B (7.4)
と書ける事からも明らかだろう。
電流要素の作る磁場
qm
Ids/ idv r’
磁荷qm が点r0 に作る磁場 H(r0) は次式とする。
H(r0) = qm 4πµ0 · r0
r03 電流要素 Idsは、この H(r0) からF の力を受けるとすると
F=I ds× µ qm
4πµ0 · r0 r03
¶
×µ0
ここで作用反作用の法則を仮定すると、I ds は r(= −r0) の点にある qm に −F の力を及 ぼす。
Ids r dH
即ち Ids は点r に dH(r) の磁場を作るとすると dH= Ids
4π × r
r3 (7.5)
この式はある種の推量から導かれたものだから本当かどうかは実験で確認しなければならな い。一定電流の閉回路に沿ってdsを積分した式が正しい事はすぐにcheckされた。これをBiot と Savart の法則と呼ぶ。
問 ２つの電流要素 I1ds1、I2ds2 を考える。
I1 ds1
I2 ds2
この場合、(7.4), (7.5) を用いて、お互いに働く力 を計算し、作用反作用の法則が 成立しない事 を確 かめよ。
但し、閉電流路や両端が無限に延びた電流路にわたって積分をすると、作用·反作用の法則は 恢復する事もcheck せよ。この問から、運動する２つの電荷間の磁気的相互作用として、(7.5) をそのまま使用する事は危険である事が分かる。
(7.5) は一見微分方程式のように見えるが、原点に置かれた電流要素と場の点がr だけへだっ
ているのでこのままでは場の方程式を作れない。少し許り細工をする必要がある。時間に依存 しないベクトルの回転の定義や静磁場が満足する方程式 ∇ ×H= 0を思い出し、図を見ると 分かるように、この場の方程式は ∇ ×H と電流(回転ベクトルの向き及び作られる磁場の源) を関係付けるべきである。
無限に大きな一様電流密度が作る電流場の中に、細い流管 CI を仮想的に取り出し、この流 管に流れる電流が作る磁場 Hを、流管を取り巻く軌道CH に対して線積分する。換言すれば、
CH に沿って単位磁荷を動かし、その仕事 W を計算する。
C C
I
H s
r dr d dr d S C
C
H
H
CI Ids
上左図で、電流要素を I ds、電流要素から CH 迄の位置ベクトルをr、CH に沿っての微小 変位を dr とする。仕事量W は次式で計算出来る。
W = Z
CH
H· dr= I 4π
Z
CH
dr· Z
CI
³
ds× r r3
´
= I 4π
Z
CHCI
(dr×ds)· r r3
= I 4π
Z
CHCI
dS· r r3 = I
4π Z
dΩ (7.6)
ここで、dr× ds=dS は、中央の図から分かるように、両微小要素の作る面積要素である。
第２行目の式は、位置 r の始点からこの面積要素を見た立体角になることを示している。最後 の積分は、ds をCI に沿って動かし、dr をCH に沿ってds とは独立に動かした時の面積分で あるが、これは CI 上の全ての点を CH に沿って動かした時に描かれる面積について積分する のと等価である。上右図での円筒側面が作る立体角は、円筒の外から見ると、手前側と向こう 側の面では、立体角の絶対値は同じだが符号が異なるから０である。一方、円筒の中から見る と 4π である。場の方程式を作る立場からは、電流が流れている点へ入って行かねばならない から、内部から側面の立体角を見る。
Z
CH
H·dr= I
4π ×4π =I = Z
CH
i·dA (7.7)
右辺は CH で閉まれた面についての面積分。(dA は CH で囲まれた微小部分の面積要素。)
左辺はStokesの定理より∇ ×Hの面積分になるから、任意の面に対して面積分が等しいから、
∇ ×H=i (7.8)
これにより、電流密度が原因で磁場がつくられるというイメージが出来た。しかしこの式は、
Biot-Savartの式から出発した。Biot-Savartの式は上で与えた問で示した欠陥があり、(7.8) に もこの欠陥はうけつがれているはずである。例えば(7.8)の発散を計算すると、∇ ·(∇ ×H) = 0 であるから ∇ ·i= 0 となり、電荷保存の法則と矛盾する。従って、何らかの補正が必要であ る。
Maxwellの補正 今までの方程式∇ ·D =ρ, ∇ ·B= 0, ∇ ×E=−∂B
∂t , ∇ ·i+∂ρ
∂t = 0 と矛盾しないように (7.8) を修正するために、Maxwellは
∇ ×H=i+∂D
∂t (7.9)
と書きかえた。
E ↔ H D ↔ B と言う対応をつけながら考えると、(7.9) で磁流はないとし、im → 0 とす
ると∂/∂t の符号を除いて電磁誘導の法則になる事に気付くだろう。静磁気の所で述べたよう に、電荷と磁荷の時間反転に対する性質の相違が顔を出しているから、上の符号の変化が生 じたと思っておけばよい。この符号の相違は、次の理論の発展で、非常に大切な役割をする。
∂D/∂tの項は変位電流密度と呼ばれている。誘電体が分極し、且つ時間変化があると、∂P/∂t、
∂/∂t(∇ ·P)といった分極電流が誘電体の内部を流れているとしたが、真空も相対誘電率εr = 1 の 物質 を考えよ、と Maxwell は言った事になる。この 真空物質 が Coulomb力を伝え ている。
この補正により、電磁場もエネルギーや運動量を有する存在となる。即ち上の問で、エネルギー や運動量を担うのは２つの電流要素だけでないのに、あたかも２つの電流要素だけで全系が閉 じていると仮定した事が矛盾の源であった訳である。場がエネルギーや運動量を持つとすると、
運動する点電荷によって作られた場は慣性を持つ事になり、場は源の点電荷が急に運動状態を 変えると、源の運動に追随できなくなり、勝手に自由空間を電磁波（光子）としてただよう事 になる。これが輻射である。
余談
磁 石 y
x vt
r q B
R
固定点r に電荷q があり、q の近くに永久磁石が 置いてある。点rでの磁場をB(r, t)と書くと、こ れは一定である。t=0 に原点が一致し、−v で運 動している座標系（ v 系）を考える。v 系から見 ると磁石も電荷も一定速度 v で動いている。v 系 ではLorentz 力 qv×Bv(R, t) が電荷に働いてい るが、静止系で見て電荷に力は働いていないから、
v 系でも電荷に力が働いては困る。
回転座標系では遠心力が見掛けの力として働いたように、v 系では見掛けの電場Ev(R, t) =
−v×Bv(r+vt, t)が発生し上記 Lorentz 力を打ち消すと考えられる。
実質的に Bv が一定である事を式で書くと
Bv(r+vt+v∆t, t+ ∆t) =Bv(r+vt, t) 左辺をTayler展開すると
Bv(r+vt, t) + ∆t
·
(v· ∇)Bv(r+vt, t) + ∂Bv(r+vt, t)
∂t
¸
=Bv(r+vt, t) これが任意の ∆t に対して成立するから
(v· ∇R)Bv(r+vt, t) + ∂Bv(r+vt, t)
∂t = 0, R=r+vt (7.10)
見掛けの電場の回転をとり、v が一定である事を考慮すると
∇R×(−v×Bv(R, t)) =−v(∇R·Bv) + (v· ∇R)Bv
上の関係式と、∇R·Bv = 0 を用いると
∇ ×Ev(R, t) =−∂B(R, t)
∂t (7.11)
これは v 系で見た Faradayの電磁誘導の法則の微分形である。
ここでは時刻 tは静止系、v 系に共通であるからたとえ形が同一でも証明としては不十分だと 思う。逆に電場を動いてみると磁場が見えるのであろうか？ と考えてみると面白い。
余談 ２
◦ 先ず電荷保存を認めよう。
∇ ·i+∂ρ
∂t = 0 (7.12)
◦ Maxwellの方程式から次の二つを認めよう。
∇ ×E =−∂B
∂t (7.13)
∇ ×H=i+∂D
∂t (7.14)
電気変位の発散の時間微分を計算してみよう。(7.14) と ∇ · ∇ ×H= 0 を利用すると
∂
∂t∇ ·D=∇ · µ∂D
∂t
¶
=∇ ·(∇ ×H−i) =−∇ ·i= ∂ρ
∂t
∂
∂t(∇ ·D−ρ) = 0 ∴∇ ·D−ρ=C1
◦ 磁束密度の発散の時間微分を計算すると
∂
∂t(∇ ·B) = ∇ · µ∂B
∂t
¶
=−∇ ·(∇ ×E) = 0 ∴∇ ·B =C2
◦ Coulomb の法則は (7.12)、(7.13)、(7.14) を認めた時に導かれる二つの保存則
∂
∂t(∇ ·D−ρ) = 0, ∂
∂t(∇ ·B) = 0 (7.15) の積分定数 C1, C2 がどちらも０である事を述べている。ある意味でC1, C2 は天地創造の瞬 間に決まった定数であり、これが(7.15)の保存則に従い現在も続いている事になる。C1, C2 両 者が同時に０と言う何か意味あり気な数になるのはもっと深い基礎法則のなせる業のような気 がする。
Maxwellの法則にrankをつけるならば、(7.12) と(7.14) は天下りに認める。(7.13)は E と B の関係を決める保存則、∇ ·D=ρ,∇ ·B= 0 は t = 0 での初期条件を与える式となる。