行列Aに対して，A′はAの転置を表す．特に断らない限り，これ以降ベクトルはすべ て列ベクトルとする．ただし，x, y∈Rに対して，(x, y)′といちいち書くのはわずらわし いので，(x, y)と書く．
r.v.’s X1, . . . , Xnに対して，それらを並べたベクトルX = (X1, . . . , Xn)′ をn次元の 確率ベクトル (random vector)と呼ぶ．このとき，x1, . . . , xn∈Rに対して，
F(x1, . . . , xn) =P(X1≤x1,· · · , Xn≤xn) =P({X1≤x1} ∩ · · · ∩ {Xn≤xn}) をXの 同時分布関数(joint distribution function)と呼ぶ．また，各iに対して，Xiの分 布を 周辺分布(marginal distribution)と呼ぶ10．
10“同時”とか“周辺”とかは省略する場合も多い．
Remark 1.11. Rnの部分集合族{(−∞, x1]× · · · ×(−∞, xn] : −∞< x1, . . . , xn<∞}
の生成するσ加法族のことをRnのBorelσ加法族と呼び，Bnと書く．Bnに属する集合
をRnのBorel集合と呼ぶ．Xがn次元の確率ベクトルなら，任意のA ∈ Bnに対して
X−1(A)∈ F であって，
µ(A) :=P(X−1(A)), A∈ Bn
と定めると，µは(Rn,Bn)上の確率測度になる．µのことをXの分布と呼ぶ．Xの分布 はd.f.から一意に決まるので，1次元のときと同様にして，分布とd.f.を同一視する．ま た，Xがd.f. Fをもつことを，X ∼Fと書く．
以下，n= 2の場合を主に考えて，(X, Y)を2次元の確率ベクトルとする．
まず，X, Y が離散型の場合を考える．X, Y がそれぞれ，{x1, x2, . . .}と{y1, y2, . . .}に 値をとるとき，(X, Y)は{(xm, yn) :m, n = 1,2, . . .}に値をとる．このとき，(X, Y)を 離散型の確率ベクトルといって，
p(xm, yn) =P(X =xm, Y =yn) を 同時確率関数 と呼ぶ．形式的に，
p(x, y) = 0, (x, y)∈ {/ (xm, yn) :m, n= 1,2, . . .} と定義しておけば，
F(x, y) = ∑
u:u≤x
∑
v:v≤y
p(u, v)
と表せる．このように表せるd.f. Fを離散分布関数と呼ぶ．また，
pX(x) :=P(X =x) =∑
y
P(X =x, Y =x) =∑
y
p(x, y) をXの 周辺確率関数 と呼ぶ．
pX(x)>0なるxに対して，
pY|X(y|x) =P(Y =y|X=x) = P(X=x, Y =y)
P(X =x) = p(x, y) pX(x) をX = xを与えたときのY の 条件付き確率関数 と呼ぶ．∑
ypY|X(y | x) = 1だから，
pY|X(y | x)はyの関数として確率関数になる．pY|X(· | x)を確率関数にもつ分布のこ とをX =xを与えたときのY の 条件付き分布 (conditional distribution)と呼ぶ．なお，
pX(x) = 0ならp(x, y) = 0だから，そのようなxに対してはpY|X(y |x)をどう選んでも，
p(x, y) =pY|X(y|x)pX(x) ∀(x, y) が成り立つ．
次に，(X, Y)の同時d.f.が，適当な(可積分)関数f :R2 →R+を用いて，
F(x, y) =
∫ y
−∞
∫ x
−∞
f(u, v)dudv, (x, y)∈R2
と表せるとき，(X, Y)を連続型の確率ベクトルといって，fを 同時(確率)密度関数 と呼 ぶ11．このとき，F は 絶対連続 であるという．
同時密度関数fは ∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
f(x, y)dxdy = 1 (*)
をみたす．逆に，与えられた関数f :R2→R+が条件(*)をみたすなら，f を同時密度に もつ確率ベクトル(X, Y)が存在することが知られている．
(X, Y)が連続型のとき，Xの周辺分布は
FX(x) =P(X≤x) =P(X ≤x, Y <∞) =F(x,∞) =
∫ x
−∞
{∫ ∞
−∞
f(u, y)dy }
du と表せるから，Xは連続型であって，その密度関数は
fX(x) =
∫ ∞
−∞
f(x, y)dy と表せる．fXをXの 周辺密度関数 と呼ぶ．
fX(x)>0なるxに対して，
fY|X(y|x) = f(x, y) fX(x)
をX =xを与えたときのY の 条件付き密度関数 と呼ぶ．fY|X(y |x)はyの関数として 確率密度関数であって，対応する分布をX=xを与えたときのY の条件付き分布と呼ぶ．
Remark 1.12. (X, Y)が同時密度f(x, y)をもつとき，密度関数に関する積分をLebesgue 積分とみなせば，A∈ B2に対して，
P{(X, Y)∈A}=
∫∫
A
f(x, y)dxdy が成り立つ．本講義ではこの関係は認める．
r.v.’sの独立性を定義しよう．n個のr.v.’s X1, . . . , Xnに対して，(X1, . . . , Xn)′の同時 d.f.をF(x1, . . . , xn)とおいて，各Xiの周辺d.f.をFXi(xi)とおくと，
F(x1, . . . , xn) =FX1(x1)· · ·FXn(xn), ∀x1, . . . , xn∈R (**)
11重積分をRiemann積分の範囲でちゃんと扱おうとすると煩雑になるので，これ以降の議論においては，
積分がちゃんと定義できることは暗に仮定してしまっている．
が成り立つとき，X1, . . . , Xnは 独立 であるという．明らかに，X1, . . . , Xnが独立なら，
任意の1≤i1 <· · ·< im≤nに対して，Xi1, . . . , Ximも独立になる．
X1, . . . , Xnが離散型の場合，それらが独立であることは，同時確率関数が周辺確率関数の 積で表されることと同値である．すなわち，(X1, . . . , Xn)′の同時確率関数をp(x1, . . . , xn) = P(X1=x1, . . . , Xn=xn)とおいて，各Xiの周辺確率関数をpXi(xi) =P(Xi =xi)とお くと，X1, . . . , Xnが独立であることは，
p(x1, . . . , xn) =pX1(x1)· · ·pXn(xn), ∀x1, . . . , xn. (*3) となることと同値である．これを証明してみよう．(*3)が成り立つなら，X1, . . . , Xnが独 立なことは明らかである．そこで，逆をn= 2の場合に示そう(一般のnでも同様である)． X1, X2 が独立なら，P(X1 ≤ x1, X2 ≤ x2) = P(X1 ≤ x1)P(X2 ≤ x2)である．ここで，
所与のx1に対して，xm1 ↑x1となる数列xm1 をとると，P(X1 ≤xm1 , X2 ≤x2) =P(X1≤ xm1 )P(X2 ≤x2)より，P(X1< x1, X2 ≤x2) =P(X1 < x1)P(X2≤x2)となる．よって，
P(X1 =x1, X2 ≤x2) =P(X1≤x1, X2 ≤x2)−P(X1 < x1, X2≤x2)
={P(X1 ≤x1)−P(X1 < x1)}P(X2 ≤x2)
=P(X1=x1)P(X2 ≤x2) となる．同様の操作を続けて，
p(x1, x2) =P(X1 =x1, X2 =x2) =P(X1=x1)P(X2 =x2) =pX1(x1)pX2(x2) を得る．
次に各Xiが連続型の場合を考察する．一般に，各Xiが連続型であっても，それらを並 べたベクトル(X1, . . . , Xn)′は連続型とは限らない．例えば，X ∼N(0,1), Y =−Xとす ると，各X, Y は連続型だが，(X, Y)は集合S ={(x, y) :y=−x}に集中していて，Sの
面積は0だから，(X, Y)は同時密度をもちえない．しかしながら，各Xiが連続型のとき，
その周辺密度関数をfXiとおくと，X1, . . . , Xnが独立であれば，(X1, . . . , Xn)′は連続型 であって，同時密度関数
f(x1, . . . , xn) =fX1(x1)· · ·fXn(xn), ∀x1, . . . , xn∈R (*4) をもつ．これは，
FX1(x1)· · ·FXn(xn) =
∫ x1
−∞
fX1(y1)dy1· · ·
∫ xn
−∞
fXn(yn)dyn
=
∫ xn
−∞· · ·
∫ x1
−∞
fX1(y1)· · ·fXn(yn)dy1· · ·dyn
と表せることから従う．逆に，(X1, . . . , Xn)′が(*4)を同時密度関数にもてば，X1, . . . , Xn が独立になることは明らかである．
なお，確率ベクトルたちに対しても，独立性を同様に定義する．例えば，2次元の確率 ベクトル(X1, X2)とr.v. X3が独立であることは，
F(x1, x2, x3) =F(X1,X2)(x1, x2)
| {z }
=P(X1≤x1,X2≤x2)
FX3(x3), ∀x1, x2, x3 ∈R
が成り立つことと定義される．
X1, . . . , Xnを独立なr.v.’sとすると，それらをグループ分けしたものも独立になる．例 えば，X1, X2, X3が独立なら，(X1, X2)とX3も独立である．これは，X1, X2, X3の独立 性から，X1, X2が独立なので，F(X1,X2)(x1, x2) =FX1(x1)FX2(x2)となるから，
F(x1, x2, x3) =FX1(x1)FX2(x2)FX3(x3) =F(X1,X2)(x1, x2)FX3(x3) となるためである．