電界は、 外部印加電界を 加えて E =E0+Ep =E0− P
3ε0 =E0−(εr−1)ε0E
3ε0 =E0−(εr−1)E
3 よ
り 、 整理する と E = 3
εr+ 2E0と なる 。 ま た、
(4) 誘電体外では、 4πa3
3 ρの電荷がdだけ 離れて おかれたと き の電荷分布と な る ので、 分極ベク ト ル pは p = 4πa3
3 ρd = 4πa3
3 P と な る が、 前問から P = (εr −1)ε0E = 3εr−1
εr+ 2ε0E0 が言え る ので、 p = 4πa3εr−1
εr+ 2ε0E0 と なる 。 従っ て 、 Ep = 1 4πε0r3
−p+3(p•r)r r2
=
−zˆ+ 3zr r2
εr−1 εr+ 2
a3 r3E0 ま た、 E =E0+Ep =E0zˆ+
−zˆ+ 3zr r2
εr−1 εr+ 2
a3
r3E0 と なる 。
で、r−r0 =−a(cosφx+sinˆ φy) =ˆ −aρˆと なる 。 ビオ=サバールの法則から B = µ0 4π
ˆ 74π
π 4
I a dφφ×(−aρ)ˆ
a3 =
µ0I 4πazˆ
ˆ 74π
1 4π
dφ= 3µ0I
8a zˆを 得る 。
次に、 直線部について は、 ベク ト ル関数を 用いて r0 = a
√2xˆ+y0y,ˆ − a
√2 ≦y0≦ a
√2 と 書ける 。 線素ベク ト ルはdr0=dy0yˆと なる 。 ま た、 r−r0=− a
√2xˆ−y0yˆであり 、 |r−r0|= a2
2 +y20 12
よ り 、 ビオ=サバー ルの法則から B= µ0
4π ˆ √a2
−√a2
dy0yˆ×(−√a2xˆ−y0y)ˆ (a22 +y20)32 = µ0I
4π ˆ √a2
−√a2
√a 2zdyˆ 0
(a22 +y20)32 = µ0I 2πazˆ 全体から の寄与は両者の和を と ればよ いので、 B=
3µ0I 8a +µ0I
2πa
ˆ z= µ0I
2a 3
4 + 1 π
ˆ z 問5. 知り たい磁場の位置(観測点)はr=0である 。
直線部分のベク ト ル関数は r = xxˆ + (x − a) ˆy,0 ≦ x ≦ a と な る 。 従っ て 、 dr0 = ( ˆx+ ˆy)dx、 ま た、 r−r0 = −xxˆ −(x −a) ˆy、 |r−r0| = {x2 + (x−a)2}12 である 。 ビオ=サバールの法則よ り 、 dB = µ0I( ˆx+ ˆy)dx× {−xxˆ−(x−a) ˆy}
4π{x2+ (x−a)2}32 = µ0I{−(x−a) +x}zˆ
4π{x2+ (x−a)2}32 dx = µ0Iazˆ
4π232{(x−a2)2+a42}32dx と な る 。 直線部 がつく る 磁場B1はB1 =
ˆ
dB = µ0Iazˆ 4π232
ˆ a 0
1
{(x− a2)2+a42}32dx= µ0I
2πazˆと なる 。
円周部については、 r0 =aρ,ˆ 0≦φ≦ 32πと 書ける 。 従っ て、 dr0=aφdφˆ 。 ま た、 r−r0 =−aρ,ˆ |r−r0|=a と な る 。 従っ て 、 円周部がつく る 磁場B2はB2 = µ0I
4π ˆ 32π
0
= a dφφˆ×(aρ)ˆ
a3 = µ0I 4πazˆ
ˆ 32π 0
dφ = 3µ0I 8a zˆ と なる 。
B =B1+B2から 求めら れる 。
問6. 経路を 表すベク ト ル関数は r0 = 1
4ay20xˆ +y0y,ˆ −∞ < y0 < ∞と 表せる 。 従っ て 、 線素ベク ト ルは dr0 = y0
2axˆ+ ˆy dy0 と な る 。 ま た観測点は r = axˆよ り 、 r −r0 =
a− 1 4ay20
ˆ
x−y0y,ˆ |r−r0|2 =
a− y20 4a
2
+y20 =
a+y02 4a
2
と なる 。 ビオ=サバールの法則よ り 、 B = µ0I
4π ˆ ∞
−∞
y0
2axˆ+ ˆy
dy0×
a−4a1y02 ˆ
x−y0yˆ
a+y4a20 3
=−µ0I 4π zˆ
ˆ ∞
−∞
1
a+y4a20 2
dy0=−µ0I 4azˆ 問7.
(1) 電流の範囲を 表すベク ト ル関数はr0 =acosφ0yˆ+asinφ0zˆ+x0x,ˆ −∞< x0 <∞,0≦φ0 ≦π (2) Js= I
πaxˆ
(3) ベク ト ル関数から 、 面素はdS0=a dφ0dx0と なる 。 従っ て 、 B =
ˆ ∞
−∞
ˆ π 0
µ0 4π
I
πaxa dφˆ 0dx0×(−acosφ0yˆ−asinφ0zˆ−x0x)ˆ (x20+a2)32
= µ0I 4π2
ˆ ∞
−∞
ˆ π 0
−acosφ0zˆ+asinφ0yˆ
(x20+a2)32 dφ0dx0= µ0Ia 2π2
ˆ ∞
−∞
1
(x20+a2)32dx0yˆ= µ0I π2ayˆ 問8.
(1) r= (cosφxˆ+ sinφy)R, 0ˆ ≦φ≦2π (2) dr=R(−sinφxˆ+ cosφy)dφˆ (3)
˛
C
B•dr= µ0I 2π
ˆ 2π 0
−sinφˆx+ cosφyˆ
R •R(−sinφxˆ+ cosφy)dφˆ =µ0I
(4) 直線部分はr′ = √R
2xˆ+yy,ˆ −√R2 ≦y≦ √R
2 よ り 、 線素ベク ト ルはdr=dyyˆと なる 。
˛
C
B•dr= µ0I 2π
ˆ 74π
π 4
dφ+µ0I 2π
ˆ √R2π
−√R2
−yxˆ+ √R 2yˆ
R2
2 +y2 •ydyˆ = 3µ0I 4π +µ0I
2π
√R 2
ˆ √R2π
−√R2
dy y2+R22
= 3µ0I 4π +µ0I
4π =µ0I 問9.
(1) C1について は4つの経路に分けて 計算する 。 P→Qの経路はr=−sˆx+aˆy, −a≦s≦aと おける 。 線 素ベク ト ルはdr=−dsxˆと なる ので、
ˆ
P→Q
B•dr= µ0I 2π
ˆ a
−a
−axˆ−sˆy
s2+a2 •(−x)dsˆ = µ0Ia 2π
ˆ a
−a
ds
s2+a2 = µ0I 4 次に、 Q→Rの経路はr=−aˆx−sy,ˆ −a≦s≦a、 線素ベク ト ルはdr=−dsyˆ、 従っ て 、
ˆ
Q→R
B•dr= µ0I 2π
ˆ a
−a
sxˆ−ayˆ
a2+s2 •(−y)dsˆ = µ0Ia 2π
ˆ a
−a
ds
s2+a2 = µ0I 4 R→Sの経路はr=sxˆ−aˆy, −a≦s≦aであり 、 線素ベク ト ルはdr=dsxˆ、 従っ て 、
ˆ
R→S
B•dr= µ0I 2π
ˆ a
−a
aˆx+syˆ
s2+a2 •xdsˆ = µ0Ia 2π
ˆ a
−a
ds
s2+a2 = µ0I 4 S→Pの経路はr=axˆ+sˆy,−a≦s≦a、 線素ベク ト ルはdr=dsyˆ、 従っ て 、
ˆ
S→P
B•dr= µ0I 2π
ˆ a
−a
−sxˆ+ayˆ
a2+s2 •ydsˆ = µ0Ia 2π
ˆ a
−a
ds
s2+a2 = µ0I 4 結局、 周回積分路はこ れら の和と な る ので、
˛
C1
B•dr=µ0I
(2) C2も 同様に 4つの経路に分ける 。 P→Tについて は、 経路はr=sxˆ+ay,ˆ a≦s≦3aと なる 。 線素ベ ク ト ルはdr=dsxˆと なる 。 従っ て 、
ˆ
P→T
B•dr= µ0I 2π
ˆ 3a a
−aˆx+syˆ
s2+a2 •xdsˆ =−µ0Ia 2π
ˆ 3a a
ds
s2+a2 =−µ0I 2π
α− π
4 ただし 、 α = tan−13である 。
T→Uの経路はr= 3axˆ−sˆy,−a≦s≦a、 線素ベク ト ルはdr=−dsyˆと なる 。 従っ て 、 ˆ
T→U
B•dr= µ0I 2π
ˆ a
−a
sxˆ+ 3ayˆ
9a2+s2 •(−y)dsˆ = −µ0I3a 2π
ˆ a
−a
ds
s2+a2 = −µ0I π β ただし 、 β = tan−11
3 である 。
U→Sの経路はr=−sxˆ−ay,ˆ −3a≦s≦−a、 線素ベク ト ルはdr=−dsxˆ、 従っ て 、 ˆ
U→S
B•dr= µ0I 2π
ˆ −a
−3a
axˆ−syˆ
s2+a2 •(−x)dsˆ =−µ0Ia 2π
ˆ −a
−3a
ds
s2+a2 =−µ0I 2π
α−π 4 S→Pの経路はr=axˆ+sˆy,−a≦s≦a、 線素ベク ト ルはdr=dsyˆと なる 。 従っ て 、
ˆ
S→P
B•dr= µ0I 2π
ˆ a
−a
−sxˆ+ayˆ
s2+a2 •ydsˆ = µ0Ia 2π
ˆ a
−a
ds
s2+a2 = µ0I 4 C2の周回積分はこ れら の和を と ればよ い。
˛
C2
B•dr=−µ0I 2π
α−π
4 − µ0I
π β−µ0I 2π
α−π
4 +µ0I
4 =−µ0I
π (α+β) +µ0I 2 = 0 ただし こ こ で、 α+β = π
2 を 用いて いる 。
問10. 円筒軸を 中心と する 半径ρの円周の経路でアン ペールの法則を 応用する と 、 2πρB(ρ) =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
µ0πaI2πρ2, ρ < a µ0I, a≦ρ < b 0, ρ > b
と なる ので、 B(ρ)は以下の通り と なる 。 B(ρ) =
⎧
⎪⎨
⎪⎩
µ02πaρ2I, ρ≦a
µ0I
2πρ, a < ρ≦b 0, ρ > b
問11. 円筒軸から 半径ρの円の面積を +z方向に流れる 電流を i(ρ)と する 。 半径ρの円周上でアン ペールの 法則を 適用する 。
ρ≦r0ではi(ρ) = I
πr20πρ2 = ρ2
r20Iよ り 、 アン ペールの法則を 適用する と 2πρB(ρ) =µ0i(ρ)と なる 。 従っ て、
B(ρ) = µ0Iρ
2πr02 と なる 。
r0< ρ≦Riではi(ρ) =Iよ り 、 アン ペールの法則を 適用し た結果から B(ρ) = µ0I 2πρ。 Ri< ρ≦R0ではi(ρ) =I− ρ2−R2i
R02−R2iI = R20−ρ2
R20−R2iIよ り 、 B(ρ) = µ0I 2πρ
R02−ρ2 R02−R2i ρ > R0ではi(ρ) = 0なので、 B(ρ) = 0と なる 。
問12.
(1) 電流部分の経路はr=yyˆ−aˆz,d≦y≦d+ 2aと 表せる 。 従っ て、 dr=dyyˆ。 こ の微小部分にかかる ア ン ペール力はdF =I dyyˆ×µ0I0(−yx)ˆ
2πy2 = µ0I I0
2πy dyzˆと なる ので、 F = ˆ
dF = µ0I I0 2π
ˆ d+2a d
dy y zˆ= µ0I I0
2π logd+ 2a d zˆ (2) 上辺と 下辺は相殺する 。
y = d に ある 辺は I dr = −I dzzˆ、 磁束密度は B = −µ0I0
2πdxˆ で与え ら れる ので、 ア ン ペール力は dF =Idr×B= µ0I0I
2πd ydzˆ よ り F = µ0I0Ia
πd yˆと なる 。
y = d+ 2a にある 辺について は、 電流素片はIdr = I dzzˆ、 磁束密度はB = − µ0I0
2π(d+ 2a)xˆ、 アン ペール力はdF =I dzzˆ×
− µ0I0 2π(d+ 2a)xˆ
=− µ0I0I
2π(d+ 2a)ydzˆ よ り 、 F =− µ0I0Ia
π(d+ 2a)yˆと なる 。 ループ全体にかかる 力は各辺の力を 合成し て Ftot = µ0I0Ia
π yˆ 1
d− 1 d+ 2a
= 2 µ0I0Ia2
πd(d+ 2a)yˆと なる 。 問13. yz平面内の磁束密度はB = −µ0I0
2πy xˆと なる 。
➀の辺のベク ト ル関数は r0 = dyˆ+ (h +b) ˆz + (ayˆ−bz)sˆ = (d+sa) ˆy+ (b+h−sb) ˆz, 0 ≦ s ≦ 1 と 書け る 。 線素ベク ト ルはdr0 = (aˆy−bz)dsˆ と な る ので、 電流素片に かかる ア ン ペール力は dF1 = Idr0 × B = I(aˆy−bz)dsˆ × −µ0I0xˆ
2π(d+sa) = −µ0I0I(azˆ+by)ˆ
2π(d+sa) ds と な る ので、 F1 = µ0I0I(azˆ−by)ˆ 2π
ˆ 1 0
ds d+sa = µ0I0I(azˆ−by)ˆ
2π
1
alogd+a
➁の辺はr0 = (d+a−ds) ˆy, 0≦s≦aと 書ける 。 線素ベク ト ルはdr0=−dsyˆと なる 。 電流素片にかかる 力 はdF2=−I dsyˆ× −µ0I0xˆ
2π(d+a−s) =− µ0I0Izˆ 2π(d+a−s)ds F2=−−µ0I0I
2π zˆ ˆ a
0
ds
d+a−s = µ0I0I
2π zˆlog d
d+a=−µ0I0I
2π zˆlogd+a d
➂の辺はF3 =Ibzˆ×−µ0I0
2πd xˆ=−µ0I0Ib 2πd yˆ 結局、 全アン ペール力は∴F = µ0I0I
2π b
alogd+a d −b
d
ˆ y
問14. 電流の経路はr0 =acosαcosψxˆ+acosαsinψyˆ+asinαz, 0ˆ ≦α <2πと 表せる 。 線素ベク ト ルは dr0=a dα(−sinαcosψxˆ−sinαsinψyˆ+ cosαz)ˆ と 与え ら れる 。 線素ベク ト ル部分にかかる アン ペール力は
dF =Idr0×B =Iadα(−sinαcosψxˆ−sinαsinψyˆ+ cosαz)ˆ ×B0yˆ=−B0Ia(sinαcosψzˆ+ cosαx)dαˆ と なる 。 従っ て 、 F =
ˆ
dF =0。
ま たこ の線素ベク ト ル部分の力のモーメ ン ト は
dN =r0×dF =a(cosαcosψxˆ+ cosαsinψyˆ+ sinαz)ˆ ×(−B0Ia)(sinαcosψzˆ+ cosαx)dαˆ
=−B0Ia2{(−sinαcosαcos2ψ+ sinαcosα) ˆy+ sinαcosαsinψcosψxˆ−cos2αsinψzˆ}dα と なる 。 従っ て 、 N =
ˆ
dN =B0Ia2sinψzˆ ˆ 2π
0
cos2α dα=B0Iπa2sinψˆz 問15.
(1) 運動方程式は mdv
dt = qv(t)×Bxˆ = qB(vzyˆ−vyz)ˆ と な る 。 成分毎に 書く と dvy
dt = ωcvz,dvz
dt =
−ωcvy, vx = 0と な る 。 ただし 、 ωc = qB
m である 。 こ の連立微分方程式を 解く 。 d2vy
dt2 = −ωc2vy よ り 、 vy = Acosωct−Bsinωctであり 、 初期条件よ り vy(0) = A = v0 と 求めら れる 。 ま た、 vz に ついて はvz = 1
ωc
dvy
dt = −v0sinωct+ cosωctと な る 。 初期条件よ り vz(0) = B = 0と 求めら れる 。 従っ て 、 v(t) =v0(cosωctyˆ−sinωctˆz)と なる 。
位置r(t)について はvを 積分する こ と で得ら れる 。 r(t) = v0
ωc
(sinωctyˆ+Bcosωctz) +ˆ r0と な る 。 初 期条件よ り 、 r(0) = v0
ωc
ˆ
z +r0 = 0 と な る ので、 r0 = −v0 ωc
ˆ
z と 求めら れる 。 結局、 位置は r(t) = v0
ωc{sinωctyˆ+ (cosωct−1) ˆz}と なる 。 (2) v0
ωc
≧d (3) v =v0 (4) t0 = 1
ωc
sin−1 ωcd v0 問16. 運動方程式は mdv
dt = qv ×B +qE = qB0(−vxyˆ+vyx)ˆ −qE0yˆ と な る 。 成分毎に 分け て 書く と 、 dvx
dt = qB0
m vy = ωcvy, dvy
dt = −qB0
m vx = −qE0
m = −ωcvx− qEm0 と な る 。 後者の式を 微分し て d2vy
dt2 =
−ωc
dvx
dt =−ωc2vyと なる ので、 こ れを 解いてvy =Acosωct+Bsinωctを 得る 。 初期条件から 、 vy(0) =A= 0 よ り 、 vy =Bsinωct。 vxは、 vx =− 1
ωc
dvy
dt −E0 B0
=−Bcosωct−E0
B0 と なる 。 初期条件vx(0) =−B−BE00 =v0 よ り 、 B =−
v0+EB00 を 得る 。 結局、 vx =
v0+E0 B0
cosωct− E0 B0
,vy =−
v0+ E0 B0
sinωctと なる 。 問17.
(1) v =ρω
(2) かかる 力はρ0dρ S vφφˆ×B0zˆ+ρ0dρ S Eρρˆ= 0 よ り 、 ρ0dρ S vφB0ρˆ+ρ0dρ S Eρρˆ= 0 と なる 。 従っ て 、 ρ方向成分のみと なり 、 ρ0dρ S vφB0+ρ0dρ S Eρ= 0 よ り Eρ=−vφB0
(3) 電界はE =−vφB0ρˆ=−ρωB0ρˆよ り 、 電位差はV =− ˆ a
0
E•ρˆdρ= ˆ a
0
ρωB0dρ= a2ωB0
2 問18. 初期条件は r(0) = x0xˆ+y0y,ˆ v0 = v1xˆ +v3zˆで与え ら れる 。 運動方程式は mdv
dt = qv ×B = q(vxx(+vˆ yy)+vˆ zz)ˆ ×(−B0) ˆy=qB0(−vxz+vˆ zx)ˆ と なる。 成分毎に分けるとmdvx
dt =qB0vz,mdvz
dt =−qB0vx
と なる (mdvdty = 0であり 、 初期条件よ り vy = 0)。 連立微分方程式を 解く 。 第一式を 微分し て 第二式を 代入す る と 、 d2vx
dt2 =ωc
dvz
dt =−ωc2vxと なる 。 こ こ で、 ωc= qBm0 である 。 こ れを 解く と 、 vx =Acosωct+Bsinωct
と な る 。 初期条件よ り 、 vx(0) = A = v1を 得る 。 vzはvz = 1 ωc
dvx
dt = −Asinωct+Bcosωctと な る 。 初期 条件よ り vz(0) =B =v3と なる 。 従っ て 、 速度はv = (v1cosωct+v3sinωct) ˆx+ (−v1sinωct+v3cosωct) ˆz と なる 。 こ こ で、 V =
v12+v23と おく と 、 v =V v1
V cosωct+vV3 sinωct ˆ
x+V v3
V cosωct− vV1sinωct ˆ z= V(cosαcosωct+ sinαsinωct) ˆx+V(sinαcosωct−cosαsinωct) ˆz=V cos(ωct−α) ˆx−V sin(ωct−α) ˆz と 書 ける 。 こ こ で、 tanα= v3
v1 である 。 位置はr=
ˆ t 0
v(t′)dt′+r(0) = V ωc
sin(ωct−α) ˆx+ V
ωc{cos(ωct−α)−cosα}zˆ+x0xˆ+y0yˆ と なる 。 回転を 表すベク ト ルはω=ωcyˆと なる 。
問19.
(1) 運動方程式は medv
dt =−ev×(−B0y) =ˆ B0e(vxzˆ−vzx)ˆ と な る 。 こ れを 成分毎に書け ば以下と な る 。 me
dvx
dt =−eB0vz, me
dvy
dt = 0, me
dvz
dt =eB0vx
(2) 前問の解の第1式を 微分し て 第 3式を 代入する と d2vx
dt = −eB0 me
dvz dt = −
eB0 me
2
vx を 得る 。 従っ て 、 こ れを 問いて vx = Acosωct+Bsinωctと な る 。 ただし こ こ でωc = eB0
me である 。 初期条件よ り vx(0) =A=v0と なる 。 ま た、 vzは前問の第1式から vz =− 1
ωc dvx
dt =Asinωct−Bcosωctと なる 。 初 期条件よ り vz(0) =−B = 0と なる 。 結局v =vxxˆ+vzzˆ=v0(cosωctˆx+ sinωctˆz)を 得る 。
(3) vを 積分し て 、 r= ˆ t
0
vdt+C= v0
ωc {sinωctxˆ−(cosωct−1) ˆz} (4) 半径 v0
ωc
> dよ り 、 B0 < mev0
ed (5) t0 = 0でx=dよ り v0
ωc
sinωct0 =dと な る 。 従っ て 、 t0 = 1 ωc
sin−1 ωcd
v0
と な る 。 ま た、 cosωct0 = v20−(ωcd)2
v0 =
! 1−
ωcd v0
2
よ り 、r(t0) =dˆx+v0
ωc(1−cosωct0) ˆz =dˆx+
⎛
⎝ v0 ωc −
! v0
ωc 2
−d2
⎞
⎠zˆ、 およ びv(t0) =v0(cosωct0xˆ+ sinωct0z) =ˆ
v02−(ωcd)2xˆ+ωcdˆz
(6) t0での速度のま ま 等速度運動なのでx方向に(10d−d) だけ移動する時間t1はt1= 9d
vx(t0) = 9d v20−(ωcd)2 と なる 。 従っ て 、 zp =z(0) +vz(t0)t1 = v0
ωc −
! v0
ωc
2
−d2+ 9ωcd2 v02−(ωcd)2