円環理論と有限要素法による固有振動数解析の比較

5.1 節の理論解析において「不均一質量はそれほど大きくなく，単に慣性力として作用する」と仮定 して得た式(5.1)と(5.2)の近似の精度を確認するために，この円環理論とFEMによる結果を比較検討する．

すなわち， 5.1節の円環理論において円環の外周上に動吸振器はなく，不均一質量のみが存在する場合 を考え，不均一質量があるときの式(5.1)，(5.2)から求まる固有振動数と有限要素法から求まる固有振動 数を比較することで式(5.1)と(5.2)の近似の精度を調べる．

四角形8節点要素を用い，固定子本体は半径方向は3分割とし，円周方向は144分割，288分割，576 分割の3種類を対象とする．不均一質量については，固定子の質量の2.5%の質量とし，その形状として，

円周方向の長さが異なるA，B，C，3つのタイプを考える．固定子の分割数に応じて8，16，32要素に 分割する．タイプAは不均一質量が外周方向に最も広く約12rad分布している形状，タイプBは不均 一質量の円周方向分布長さが約

 18

radと中程度であり，タイプCは不均一質量の円周方向分布長さが 約 24radと最も短い形状である．図5.26の下段に固定子の円周方向を576分割したときの有限要素モ デルを示す．不均一質量がないときのn=2のモードの固有振動数はcosモード，sinモードともに765.6Hz である．図5.26の上段に不均一質量があるときのcosモードの形状とその固有振動数を示し，中段にsin

モードの形状とその固有振動数を示している．図5.26から不均一質量の位置が腹となるcosモードの固 有振動数は5Hz～9Hz 程度減少し，sinモードの固有振動数は3Hz 程度減少していることがわかる．図 5.27にA，B，C各タイプの固有振動数の減少率を示す．図(a)，(b)はそれぞれcosモードとsinモードの 場合である．各図の縦軸は固有振動数の減少率（%）であり，横軸は不均一質量のタイプを表している．

図の黒，橙，緑の各丸印はそれぞれ円周方向の分割数144，288，576の場合と対応している．一方，図 の赤い点線は円環理論による式(5.1)，(5.2)から求めた固有振動数の減少率である．有限要素解析から求 めた減少率は円周方向の分割数が576のときにほぼ収束していると考えられる．図5.27から，分割数が 576のとき有限要素解析から求まった固有振動数の減少率は，cosモードの場合，不均一質量と円環の円 周方向接触長さの最も短いタイプ Cの場合に円環理論による減少率とほぼ一致していることがわかる．

一方，sin モードの場合，いずれのタイプも有限要素モデルの方が約0.4%と固有振動数がわずかに低く なっている．これは振動の節に不均一質量がある場合でもわずかに固有振動数が減少することを意味す る．以上から，不均一質量が円環の外周方向に24rad 程度の長さ以下で分布しているのならば，不均 一質量のi=2のモードへの影響は小さく，単に慣性力として作用するとする近似的な取り扱いの誤差は 小さいと考えられる．なお，不均一質量の質量が固定子の 10%と大きい場合，式(5.1)， (5.2)による固 有振動数の減少率と有限要素解析（不均一質量の形状はType Cと同様）による減少率は，cosモードで はそれぞれ4. 6%と4. 1 %であり，sinモードでは0%と0.6%であった．このとき，近似的な取り扱いに よる数値計算結果の誤差はやや大きくなると思われる．なお，式(5.1)，(5.2)から求めた固有振動数の減 少率と有限要素解析による減少率について，図5.27で示した不均一質量が1個の場合と同様に，図5.7(c)，

(d)のパラメータである不均一質量が 2 個でそれぞれの質量比が_I0.05の場合を調べた結果，2 個の不 均一質量の開き角が 0°の場合が両者の差が最大であり開き角が腹と節の間隔である 45°に近 づくほど両者の差は減少し，開き角 が腹と節の間隔である45°のときは両者はほぼ一致することを 確認しているので，式(5.1)，(5.2)から求めた図 5.7 の数値計算結果の近似精度はある程度高いものと考 えられる．

(a) I 0.05

(b) I 0.1

図5.1 不均一性が1個あり動吸振器を設置していない場合の共振曲線（10°）

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A 2

Without Imperfection sin mode

+cos mode cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A 2

Without Imperfection sin mode

+cos mode

cos mode

sin mode

(a) 1 0°

(b) 1 45°

図5.2 不均一性と動吸振器を各1個設置した場合の共振曲線（10°,I 0.05）

図5.3 不均一質量と動吸振器の設置間隔とν=1における振幅との関係

0.70 0.8 0.9 1 1.1 1.2

100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.70 0.8 0.9 1 1.1 1.2

100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0 10 20 30 40

0 50 100 150

⊿θ

A

2

(a) 10°,2 22.5° (b) 10°,245°

(c) 145°,2 67.5° (d) 145°,290° 図5.4 不均一性が1個あり動吸振器を2個設置した場合の共振曲線（1 0°,I 0.05）

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

(a) 1 0° (b) 1 45° 図5.5 不均一性と動吸振器を各1個設置した場合の共振曲線（1 0°,I 0.1）

(a) 10°,2 22.5° (b) 10°,245°

(c) 145°,2 67.5° (d) 145°,290° 図5.6 不均一性が1個あり動吸振器を2個設置した場合の共振曲線（10°,_I 0.1）

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

(a) 10°,2 22.5°(_I 0.025) (b) 10°,245°(_I 0.025)

(c) 10°,2 22.5°(_I 0.05) (d) 10°,2 45°(_I 0.05)

図5.7 不均一性が2個あり動吸振器を設置していない場合の共振曲線

(a) I 0.025 (b) I 0.05

図5.8 不均一質量の設置間隔とν=1における振幅との関係

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without Imperfection sin mode

+cos mode cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without Imperfection sin mode

+cos mode cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without Imperfection sin mode

+cos mode cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without Imperfection sin mode

+cos mode cos mode sin mode

0 10 20 30 40

0 100 200 300

⊿α

A2

Without Imperfection With Imperfection

0 10 20 30 40

0 100 200 300

⊿α

A2

Without Imperfection With Imperfection

(a) 1 0° (b) 1 45°

図5.9 不均一性が2個あり動吸振器を1個設置した場合の共振曲線（10°,2 22.5°,I 0.025）

(a) 10°,2 22.5° (b) 10°,245°

(c) 145°,2 67.5° (d) 145°,290°

図5.10 不均一性が2個あり動吸振器を2個設置した場合の共振曲線（1 0°,2 22.5°,I 0.025）

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

(a) 1 0° (b) 1 45°

図5.11 不均一性が2個あり動吸振器1個設置した場合の共振曲線（10°,2 45°,I 0.025）

(a) 10°,2 22.5° (b) 10°,245°

(c) 145°,2 67.5° (d) 145°,290°

図5.12 不均一性が2個あり動吸振器を2個設置した場合の共振曲線（1 0°,2 45°,I 0.025）

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

(a) 1 0° (b) 1 45°

図5.13 不均一性が2個あり動吸振器1個設置した場合の共振曲線（10°,2 22.5°,I 0.05）

(a) 10°,2 22.5° (b) 10°,2 45°

(c) 145°,2 67.5° (d) 145°,2 90°

図5.14 不均一性が2個あり動吸振器を2個設置した場合の共振曲線（10°,2 22.5°,_I 0.05）

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

(a) 1 0° (b) 1 45°

図5.15 不均一性が2個あり動吸振器1個設置した場合の共振曲線（1 0°,2 45°,I 0.05）

(a) 10°,2 22.5° (b) 10°,2 45°

(c) 145°,2 67.5° (d) 145°,2 90°

図5.16 不均一性が2個あり動吸振器を2個設置した場合の共振曲線（10°,2 45°,_I 0.05）

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

0 100 200 300

ν

A2

Without D.A.

sin mode +cos mode

cos mode sin mode

(a) I 0.05

(b) I 0.1

図5.17 有限要素解析モデル

(a) 751.8Hz（I 0.05, cosモード） (b) 764.2Hz（I 0.05, sinモード）

(c) 727.7Hz（_I 0.1, cosモード） (d) 763.9Hz（_I 0.1, sinモード）

図5.18 不均一性がある場合のモード特性（i=2）

(a) t=0 (b) t=T/8 (c) t=2T/8

(d) t=3T/8 (e) t=4T/8 (f) t=5T/8

(g) t=6T/8 (h) t=7T/8 (i) t=T

0.0 3.8 7.6 11.4 15.2 19.0 22.8 26.6 30.4 34.2 38.0 (j) 変位振幅の定義

図5.19 不均一性がない場合の応答シミュレーション（f 765.6Hz）

(a) t=0 (b) t=T/8 (c) t=2T/8

(d) t=3T/8 (e) t=4T/8 (f) t=5T/8

(g) t=6T/8 (h) t=7T/8 (i) t=T

0.0 3.8 7.6 11.4 15.2 19.0 22.8 26.6 30.4 34.2 38.0

(j) 変位振幅の定義

図5.20 腹と腹の間隔に不均一性を設置し動吸振器を設置していない場合の応答シミュレーション

（f 765.6Hz,I 0.05）

(a) t=0 (b) t=T/8 (c) t=2T/8

(d) t=3T/8 (e) t=4T/8 (f) t=5T/8

(g) t=6T/8 (h) t=7T/8 (i) t=T

0.0 3.8 7.6 11.4 15.2 19.0 22.8 26.6 30.4 34.2 38.0

(j) 変位振幅の定義

図5.21 腹と腹の間隔に不均一性を設置し動吸振器を1個設置した場合の応答シミュレーション

（f 765.6Hz,145°,I 0.05）

(a) t=0 (b) t=T/8 (c) t=2T/8

(d) t=3T/8 (e) t=4T/8 (f) t=5T/8

(g) t=6T/8 (h) t=7T/8 (i) t=T

0.0 3.8 7.6 11.4 15.2 19.0 22.8 26.6 30.4 34.2 38.0

(j) 変位振幅の定義

図5.22 腹と腹の間隔に不均一性を設置し動吸振器を設置していない場合の応答シミュレーション

（ f 765.6Hz,I 0.1）

(a) t=0 (b) t=T/8 (c) t=2T/8

(d) t=3T/8 (e) t=4T/8 (f) t=5T/8

(g) t=6T/8 (h) t=7T/8 (i) t=T

0.0 3.8 7.6 11.4 15.2 19.0 22.8 26.6 30.4 34.2 38.0

(j) 変位振幅の定義

図5.23 腹と腹の間隔に不均一性を設置し動吸振器を1個設置した場合の応答シミュレーション

（f 765.6Hz,145°,I 0.1）

(a) t=0 (b) t=T/8 (c) t=2T/8

(d) t=3T/8 (e) t=4T/8 (f) t=5T/8

(g) t=6T/8 (h) t=7T/8 (i) t=T

0.0 3.8 7.6 11.4 15.2 19.0 22.8 26.6 30.4 34.2 38.0

(j) 変位振幅の定義

図5.24 腹と腹の間隔に不均一性を設置し動吸振器を2個設置した場合の応答シミュレーション

（ f 765.6Hz,1 30°,2 345°,_I 0.1）

(a) t=0 (b) t=T/8 (c) t=2T/8

(d) t=3T/8 (e) t=4T/8 (f) t=5T/8

(g) t=6T/8 (h) t=7T/8 (i) t=T

0.0 3.8 7.6 11.4 15.2 19.0 22.8 26.6 30.4 34.2 38.0

(j) 変位振幅の定義

図5.25 腹と腹の間隔に不均一性を設置し動吸振器を2個設置した場合の応答シミュレーション

（ f 765.6Hz,1 15°,2 345°,I 0.1）

761.3Hz 757.9Hz 756.5Hz (a) cos mode

762.4Hz 762.5Hz 762.5Hz

(b) sin mode

Type A Type B Type C

図5.26 固有モードと有限要素解析モデル

(a) cos mode

(b) sin mode

図5.27 固有振動数の減少率

-1.5 -1 -0.5 0

A B C

D ec re as in g ra ti o (% ) -1.2 (144 × 3+8) elements (288 × 3+16) elements (576 × 3+32) elements

-1.5 -1 -0.5 0

A B C

D ec re as in g ra ti o (% ) -1.2

(144 × 3+8) elements

(288 × 3+16) elements

(576 × 3+32) elements

ドキュメント内 動吸振器による電動機固定子の制振 (ページ 114-136)