理論式の誘導

y

 waves

    ↑x＝−d   十d

@   2b

〃＝−1

x＝−2（1一λ）b

2λb

X

 

図5−1記号と座標系

k、X＝え、X COSθ1＋た、y sinθ1

k2x＝ちx cosθ2＋た2y sinθ2

とおくと（5−1）式および（5−2）式は次のように書き換えられる．

弓・xp本x柳…｝白2）

したがって港内外の速度ポテンシャルとしては1次波相互の干渉により

   σ一τ±k−x，σ一τ±k＋x，σ＋τ±k＋x，σ＋ご±k−x

および

   2←、・まk、x）」一Ω

の偏角を持つ2次波の項を含むものが得られる．ここでは長周期の波を対象としているの でσ＋を含む波と2σノの波を無視する．さらに湾水の長周期振動に対するσコ±k＋xの波の 影響はσ τまk−xのものに比して小さいので無視する（Bowers，1977）2）．

まず港外について考える．（5−1）および（5−2）式で表される2つの入射波の干渉による2次波 の速度ポテンシャルは次式のようになる．

φ留一一i生

2×4  coshん一乃

…hえ』）二，x晦＋の＋ε一｝

      σ

（5−3）

となる．ここに

ぴユ96畦2）

  σ∫

克一一lk1−k、1，k−−k1−k2

σ ＝σ1一σ2 ε ＝ε1一ε2

D−＝

姫W版偏一畔）一，脈一R揚・2賦嘔ア（klk、−RIR、）

R戸ん」tanhμ ‥1，2

瓦、−lk、1

89

である．

（5−1）式の波がy＝0の壁に反射してできる反射波の水面形は次式のようになる。

  η1÷xp砥・…（一θ1）・κ1y・i・（一θ1）・輌｝

同様に（5−2）式の波の反射波の水面形は次式のようになる．

  η・一÷・xp堪・・…（一θ・）・え・y・i・（一θ・）・σ・・＋ε1｝

（5−4）

（5−5）

（5−4），（5 5）式で表される2つの反射波の干渉による2次波の速度ポテンシャルは同様にし て次式で表される．

φ』幾c°蒜元z）芸・xp」長；x＋ぴ 一｝

（5−6）

（5−3）式と（5・6）式を加え合わせると港外における2次干渉波の重複波の速度ポテンシャルが 得られる．すなわち

φ￡）＝φ㍑＋φ認

一一

ﾎc°㌶z）芸も・p〜r・）・・xp嗣・xpi』εう

一一

ﾎc°鷲z）芸・xpiピ・ε一）

   ・［・Xμ（え1x…θ1・え1y・i・θ1一ち・…θ、一え、y・i・θ、）

   ・・xp皐、x…（一θ1）・た1y・i・（一θ、）一一髭、・…（一θ、）一瓦、y・i・（一θ、田

⇒c°鷲z）芸・xp丸・…ぽ…ら｝

   ・・xp十一・＋ε一｝…ぴ1y・i・θ1一え、y・i・θ、）

（5−7）式で表される速度ポテンシャルをもつ波の水面形は次式のようになる．

（5−7）

   η5・。1∂φ（2）

      9  ∂τ

      49

ここで

   b＝聖L  9α∫

   ∫     σ∫  9え，tanhえ、力

    ＝9αf

     厄

を用いると（5−8）式は次のように書き換えられる．

   η8）弓毒

となる．ちなみに（5−3）式の入射波による2次干渉波の水面形は

  η留一器毒駆回』…一｝

（5−6）式の反射波による2次干渉波の水面形は

  η綴一巖毒嚇・・位＋ε一｝

である．ここにk；はk一とy軸に対して対称な波数ベクトルを表す、

射する場合，港内の水面形は

  』・り一一わ欝1・x』叫融・・胸一』刃

で与えられる．ここに

      ηπ彦

』）−4

ユD−c・・ぴ1y・i・θ1一ん、y・i・θ、）・x輌…θ1一ち・…θ、｝・xpZ』ε一｝

（5・8）

（5−g）

…伝1y・i・θ1鴫，y・i・θ、）・xp串1・…θ1一ん、x…θ、｝・xp」ピ＋ε一｝

（5−10）

（5−11）

（5−12）

次に港内について考える．（5−1）式のように入射波が港口に対して直角以外の方向から入

cos−（x−2λのcoshβ1πえ、（y＋Z）

91

（5−13）

（5−14）

である．（5−13）式の自由波のうち，港内のx軸方向の波を無視すると

        α・c14，xp」（σ、・＋ε1＋ω、）、。、克1（y．／）    （5−・5）

  η、し，り一一

        bsinた1／

のみとなる．（5−15）式の波は重複波であり，これは沖から岸に向かう波と岸から沖に向か う波が重なり合ったものである．すなわち

  嚇一蒜1・xp』・軌）・xp砥剛

       （5−16）

       一鎧1・xpl（σ1τ十ε1十ω1）・xp−」鮪・1｝

となる．（5・16）式のうち第1項は沖から岸に向かう波を表し，第2項は岸から沖へ向かう 波を表している．いま（5−15）式の添字を2としたもう1つの波について考えると

  花（y・り一謡、1・xμ（σ・・・…ω・）・xp勧・Z｝

       （547）

       鑑1・xp」（σ2τ十ε2十ω2）・xp一鞠1｝

となる．

（5・16），（5−17）式のうち同じ方向の波が干渉してできる2次長周期波の水面形は，沖から岸 に向かう波の場合

η当4蕊㍍z慮αμ拓ちX蜘一ら』⊇

    一；〔4b鑑え、1｜毒・x蜘・Z）一ε一・ω一｝

       （5・18）

であり，岸から沖に向かう波の場合

酬4bξ蓋蕊1臆・xp」臨Xy・1）・（』・叫w｝

    十器劃毒・xp伝（y・1）・ ＋ε一＋ω一｝

      （549）

である．（5−18）式と（5−19）式を重ね合わせると，港内における2次干渉波の水面形が得られ

る．

η｛；・−4蕊誌毒…えご（γ・1）・xpiピ＋ε⇒ （ふ2・）

それぞれの波の速度ポテンシャルは，まず（5・18）式より沖から岸に向かう波について

  φ｛蹄巳鵠鑑1｝芸c°ま曇警芳づαμ勧・1）・ゲ・・ε∋

      （5−21）

ここに

  えこ一え、一え2ん11k、1ち一lk、1

次に（5−19）式より岸から沖に向かう波について

φ当肪㌶言1）芸c°慧8元z）叫←如）・一ε一・σ｝

      （5−22）

（5・21）式と（5・22）式の速度ポテンシャルを重ね合わせると，港内における1次の進行波の重 なり合った波（重複波）に伴う2次干渉波の速度ポテンシャルが得られる．

φ｛；・一一

o4b㌶∋芸c°絵）…κ⑭p土＋ε一∋

      （5−23）

93

碧難．

2．2 2次長周期波による湾水振動

 2．1において港内外における2次干渉波の重複波の速度ポテンシャルを求めた．これ ら波も（2−8−1）〜（2−84）式に示す境界条件を満足しなければならない． しかし，（5−7）式 と（5−23）式は港口で等しくならず，y＝0でポテンシャルの不連続が起こる．具体的には（5−7）

式は境界条件（2−8−2），（2−8−4）は満足するが他は満たさない．（5，23）式は境界条件（2−8−1），

（2・8−3）は満足するが他は満たさない．ここでもこの不連続を埋めるような周波数がぴの 波が新たに発生するものと考える．この波のポテンシャルを求めるにあたっては，前と同 様に，港外側と港内側のものに分けて計算し，最後に（5−7）式，（5−23）式も含めて港口で接 続させる．

 まず港外の波について検討する．港外には速度ポテンシャルが（5−7）式で与えられる2次 波が存在する．ここではさらにぴの自由波が存在するものと考える．いまそのポテンシ

ャルを

φ1，一二礁y拓1ω・xμピ＋ε一）

  σ

（5−24）

と仮定する．（5−7）式の拘束波のポテンシャルはラプラスの式を満足するので，（5−7）式と（5−

24）式の波が共存する場合には（5−24）式もまたラプラスの式を満足しなければならない．（5−

24）式をラプラスの式に代入すると

去｛夢・夢）・÷∂診一・

_（5−25）

第1項はx，yの関数第2項はzだけの関数であるので両者の和が定常的に0となるた

めには両項とも定数でなければならない．いまこれらを形に等しいと置く．すなわち

  ⊥∂2z

   Z∫1∂z2 および

∫1一写 ^（5−26）

嘉・夢砲一・

^（5−27）

（5−26）式を変形し

∂2Z

 ：Lえ鍵Z∫1−0

∂z

（5−28）

とする．ここで（5−28）式と底面の境界条件

   甦  。o

   ∂z

     z＝一；z

を用いると

      …hえ，（z＋乃）

   Z∫1＝9

       coshえβ

が得られる．水面形は水面での境界条件より導かれ次式のようになる．

』）言（鷲一眺P乏嗣

定数局は水面における連続式から決定される．

誓一惨L

したがって周波数差の波に関する分散関係式が得られる．

   ヒーアー9え，・・叫乃

ここにえ∫はσ一に対応する自由波の波数である．ここで（5・27）式の五として    五＝兎∫CexμΩ鴉

と置く．五に対する境界条件は

   五→Ox2＋y2→。。

である．ここで合田らに習って

       95

︶9 5 2

︵ ︶

0 3

︵5 ︶

31

ピO︵  

2 5 3

︵ ︶

3 3

︵5 ︶

4 5 3

︵

        エ

   F（μ・y）＝∫．．〜ぱ五 （x・y㎏

      （5−35）

   万（鋤一士￡ピぱ施鋤

で定義される五 （x，y）のフーリエ変換F（μ，y）を用いる．五がヘルムホルッの式を満たすの で九もまたヘルムホルッの式を満足する．すなわち

   謬・警・卿．     （536）

（5・35）式の関係（第2式）を（5・36）式に代入するとF（μ，y）に対する微分方程式が導かれる．

   勢砂一・     （537）

を得る．（5−34）式の境界条件はF（μ，y）に置き換えられ次式のようになる．

［∂F象y）L一ぴ誓已

      一止〜協

       2s警

F（μ，y）＝O  y→◎◎

（5・37）式の微分方程式の一般解は次式で与えられる．

（5−38）

（5−39）

   F（。，y）。q（昨馬。C、（昨一蹄・      （5−4・）

（5・40）式の右辺に含まれる係数C1，C2を決定するために，μの範囲を2つに分けて考える．

すなわち，同〉ん∫の場合と，㈲＜克∫の場合に分けて考える．

i）レ1・ちの齢

この場合，（δ一39）式よりy→。。の時にF（μ，y）＝0とならなければならない．よって C1（め＝0とならなければならない．したがって（5−38）式よりC2（のが得られ， F（μ，y）が

i︾ーー︾÷§㍉ξ葦：︸災ーーSj多﹂÷ー§ー乏Xー員iき劣ー﹈÷

決定する．すなわち

  F（。，yト2sin〃∂。一厄・

        ・・2一κ｝

（5−41）

ii）同・ちの場合

（5−40）式の第1項は1次波の場合と同様に沖から岸に向かう波を表している．ここで扱っ ているのは岸から沖に向かって伝播する放射波であるのでC、（μ）＝0として（5−38）式から次 式のようになる．

   砿y）．」2si吻〜疏        （5−42）

       跳多一・2

いまここで関数万を前と同様に次式のように置く．

   ∫1＝i∫1−∫2       （5−43）

ここに

  ろ一鑑鷲・・一♂厭y4・

ち一

である．これで港外の水面形η1∫は次式のようになる．

  η、，一κ砥一・、）・xpわ・Ω・・ ｝       （5−44）

また速度ポテンシャルφ1∫は次式のようになる．

鱈・一

ﾃ融Cgc°畿）・xp七一一｝ （一）

 次に港内の波について検討する．港内にはすでに周波数がσ一の2次の拘束波が存在し

97

ている．この波と港外の周波数がσ一の2次の拘束波である放射波とは港口部で連続しな い．そこで港内外の波が港口部で接続するような新しい2次の自由波が港内に発生するも のと考える．ここで新しく発生する自由波の速度ポテンシャルを次式のように仮定する．

  φ、，一も伝培ω・xμ十・ε一｝

     σ

ここで関数∫（x，y）を次式に示すような変数分離できる形に仮定する．

  ∫、（x，y）一万θ・yω

（5−46）式においてZ∫（z）は前述の底面と水面における境界条件より

       …hえ，（・＋勾   z（・）−9

        coshんβ   伝一アー9え，・・血華

（5−46）

（5・47）

（548）

となる．（5−46）式と（5−47）式をあわせてラプラスの式に代入すると

   謬・た｝一一÷芸     （5−49）

を得る．（5−49）式の両辺はそれぞれyおよびxのみの関数であるので（549）式が成立するた めには両辺が共通の定数でなければならない．いまこれをα2と置くと関数X（x）とγ（y）の 一般解は次式のようになる．

   x（x）＝メεぬ＋Be一輌㎝

       （5−50）

  γ6）。c，蹄・＋De一蹄・

実数Xは港内の両側の壁での境界条件

  坐   一〇

   ∂x

     x語2λb，2（λ一1）わ

により

   ax

   −      ＝0

   ∂パ。2肪，，（、。1b

でなければならない．以下，合田らの（2−25），（2−26）式と全く同様にして

   挺）一塚…鉄一2乃）

が得られる．

さらに湾奥の壁（y＝−Z）において

   ∂φ2∫

       ＝0    ∂y

     y■−1

でなければならないので

訂一α2平岡一D・∫属］一・

となる．ここに

   c一皇e・画

     2

   D−⊆e−・百

     2

である．したがって関数γ（y）は（5・54）式を（5−50）式に代入することで次式を得る．

   γ（y）−C。c・・h［β、才，し・1）］

ここに

刷篇1−1

である．C．を．4．で表すと，関数∫、（x，y）は次式のようになる．

      99

（5−51）

（5・52）

（5−53）

（5・54）

︶5

コ5

︵5 ︶

6 5 5エ

︵

   鋤）一Σ4…陽‥］…h［β2刀ん∫（y＋1）］  （557）

次に．4．を決定する．湾口における∫2のy方向の勾配は五の湾口での勾配に等しくなけれ ばならない．すなわち

   並一綱Ω

      （5−58）

   ∂yy。〇

   五一んμΩ五 において

と置いたので（5・33），（5−34）式より

乱一え・C♂      （ ）

と置いて良い．従ってyニ0におけるア2（x，y）のyに関する微分は次式のようになる．

乱嚇si・えZ・薯繊si・h（β2。ん∫1）…ピ國］ （ふ6・）

命4については前と全く醒

wして決めることができる・すなわち

        わキガ

仁罵』・・筈此。4C評・i・誓…加π  （ふ63）

   〃 bβ、みsinhβ、。瓦∫1 ・πβ、。 si血β、。た∫Z

となる．以上を（5−57）式に代入すると∫2（x，y）が決められる．

励緯1』・・胸一∫剛

^（5−64）

ここに

（5−65）

である．以上と（5・48）式を（5−46）式に代入すると港内の速度ポテンシャルが得られる．

砺・÷蕊E・・似∫』）艦硫・Ω＋ε一｝

       （5・66）

 つぎに未知数である定数Cと位相角Ωを，港口部で速度ポテンシャルを接続することに より決定する．式中から分かるように速度ポテンシャルは，港口において港外のものと港 内のものが存在する．ここで考慮すべき条件は港外の速度ポテンシャルφ8）およびφ1ヂ 港内の速度ポテンシャルφ！；）およびφ2∫である．φ留およびφ｛；）は確定しているが，（5−45）

式および（5・66）式中に振幅および位相に関する未知数を含んでいる．ここでは港口部

｛・1・4）での願ポテンシャルの平均イ直が港内外で乳いとして，これらの未知定数を決 定する．すなわち

  記二劔㌍・払二φ・，」血

   一蕊φ！；）L。此嚇φ・，L。此

まず港外の波に関する左辺について計算する．左辺第1項は（5−7）式より

（5−67）

101

ドキュメント内 2次長周期波による湾水の振動特性について (ページ 90-106)