理系 (理，医保健 (放射線，検査)，薬，工学部)

1

以下の問いに答えよ。 解答1 (p.69) (1) kを整数とするとき，xの方程式x²−k² = 12が整数解をもつようなkの

値をすべて求めよ。

(2) xの方程式(2a−1)x²+ (3a+ 2)x+a+ 2 = 0が少なくとも1つ整数解を もつような整数aの値とそのときの整数解をすべて求めよ。

2

実数cに対して，行列 A =

Ã

1 −c

c 1

!

で表される1次変換をT とするとき，以下の問いに答えよ。 解答74(p.177) (1) T は原点の回りの回転移動と原点中心の拡大(相似変換)との合成変換で

あることを示せ。

(2) xy平面上の同一直線上にない3点P，Q，RがTによってそれぞれP⁰，Q⁰， R⁰に移るとする。三角形P⁰Q⁰R⁰の面積が三角形PQRの面積の2倍とな るcの値を求めよ。

(3) c= 2とする。楕円 E : x²

4 +y² = 1

上の点がT によって楕円E⁰上の点に移るとする。EがE⁰の内部にある ことを示し，E⁰の内部にありEの外部にある部分の面積を求めよ。

0 0

て，以下の問いに答えよ。 解答37(p.120) 問1 f(x)とg(x)を求めよ。

問2 f⁽ⁿ⁾(x)とg⁽ⁿ⁾(x)をそれぞれf(x)とg(x)の第n次導関数とする。

(1) n=2のとき，f⁽ⁿ⁾(x)およびg⁽ⁿ⁾(x)を，f⁽ⁿ⁻¹⁾(x)とg⁽ⁿ⁻¹⁾(x)を用い て表せ。

(2) {f⁽ⁿ⁾(x)}²+{g⁽ⁿ⁾(x)}²を求めよ。

(3) 実数aについて，

X∞

n=1

e^2a

{f⁽ⁿ⁾(a)}²+{g⁽ⁿ⁾(a)}² の和を求めよ。

4

関数f(x)を

f(x) = Z ^π

2

0

¯¯sint−xcost¯

¯dt (x >0)

とおく。以下の問いに答えよ。 解答38(p.122) (1) a > 0のとき，a = tanθを満たすθ

³

0< θ < π 2

´

に対して，cosθをaを 用いて表せ。

(2) f(x)を求めよ。

(3) f(x)の最小値とそのときのxの値を求めよ。

2.12.2 医学部医学科

1

n =4とする。(n−4)個の1と4個の−1からなる数列a_k (k = 1,2,· · · , n)を 考える。以下の問いに答えよ。 解答55(p.143)

(1) このような数列{a_k}は何通りあるか求めよ。

(2) 数列{a_k}の初項から第k項までの積をb_k = a₁a₂· · ·a_k (k = 1,2,· · · , n) とおく。b₁+b₂+· · ·+b_nがとり得る値の最大値および最小値を求めよ。

(3) b₁ +b₂ +· · ·+b_nの最大値および最小値を与える数列{a_k}はそれぞれ何 通りあるか求めよ。

2

実数cに対して，行列 A =

à 1 −c

c 1

!

で表される1次変換をT とするとき，以下の問いに答えよ。 解答75(p.178) (1) xy平面上の同一直線上にない3点P，Q，RがT によってそれぞれP⁰，

Q⁰，R⁰に移るとする。三角形P⁰Q⁰R⁰の面積が三角形PQRの面積のk倍 (k=1)となるcの値を求めよ。

(2) 楕円

E : x²

4 +y² = 1

上の点がT によって楕円E⁰ 上の点に移るとする。楕円E⁰ 上のすべての 点が楕円Eの周上または外部にあるための，cの条件を求めよ。

f(x) = Z ^π

2

0

¯¯sint−axcost¯

¯dt

とおく。以下の問いに答えよ。 解答39(p.124) (1) f(x)を求めよ。

(2) f(x)の最小値とそのときのxの値を求めよ。

4

一辺の長さが√

2の正四面体OABCにおいて，辺ABの中点をM，辺BCを 1 : 2に内分する点をN，辺OCの中点をLとする。~a =−→

OA，~b=−→

OB，~c=−→

OC とおく。以下の問いに答えよ。 解答63(p.155)

(1) 3点L，M，Nを通る平面と直線OAの交点をDとする。−→

ODを~a，~b，~cを 用いて表せ。

(2) 辺OBの中点Kから直線DN上の点Pへ垂線KPを引く。−→

OPを~a，~b，~c を用いて表せ。

2.13 2013 年度

2.13.1 理系 ( 理，医保健 ( 放射線，検査 ) ，薬，工学部 ) 1

数列{a_n}の初項から第n項までの和S_nが

Sn = 2an+n²

で与えられるとき，以下の問いに答えよ。 解答71(p.171) (1) an+1をanを用いて表せ。

(2) a_nをnの式で表せ。

2

Oを原点とする空間内の2点A(−1, 1, 1)，B(2, 1,−2)に対して，−→

OA·−→

OP=0 かつ−→

OB·−→

OP=0を満たす平面OAB上の点Pからなる領域をDとする。以下

の問いに答えよ。 解答64(p.156)

(1) 実数kに対して，−→

OQ =k−→

OA + (1−k)−→

OBによって定まる点Qが領域D に含まれるとき，kの値の範囲を求めよ。

(2) 15s+t52を満たす実数s，tに対して，−→

OR =s−→

OA +t−→

OBによって定 まる点Rからなる領域をEとする。このとき，領域DとEの共通部分の 面積を求めよ。

の問いに答えよ。 解答40(p.126) (1) f(θ)を求めよ。

(2) 0< θ < πの範囲でf(θ)は単調に増加し，f⁰(θ)は単調に減少することを 示せ。

(3) 定積分 Z ^π

2

π 3

f(θ)dθ を求めよ。

4

xy平面上で，点(1, 0)までの距離とy軸までの距離の和が2である点の軌跡を Cとする。以下の問いに答えよ。 解答4 (p.72)

(1) Cで囲まれた部分の面積を求めよ。

(2) 円x² +y² = 9

4とCの交点のx座標を求めよ。さらに，交点の個数を求 めよ。

ドキュメント内 入試の軌跡 (ページ 62-68)