球座標によるラプラス方程式の一般解

注意

 ここでは重力を例にとって，ポテンシャル関数の方程式を導いたが，電荷の間に作 用する力についても同様の偏微分方程式を満足する．このとき異なるのはGρが電荷 の密度分布に変わるだけである．したがって，二つの場合を同じ様に扱うためにG= 1 とし ，以下あらためて

∂²V

∂x² + ∂²V

∂y² +∂²V

∂z² = 4π ρ(x) (4.9)

をポアッソンの方程式と呼ぶことにする．ポアッソンの方程式に対しては重ね合わせ の原理が成り立つ．すなわちρ1(x), ρ2(x)を別々の関数としたとき

∇²V₁ = 4π ρ₁, ∇²V₂ = 4π ρ₂

であればV₁(x) +V₂(x)は物質分布がρ(x) =ρ₁(x) +ρ₂(x)であるときのポアッソン方 程式の解となる．ポテンシャルの計算の注意として，ポテンシャルは位置の連続関数 であり, 物質分布がρ(x)6= 0であれば無限遠方で0とならなければならない．

ポテンシャルは位置の連続関数であるからϕ = 0とϕ= 2πにおけるポテ ンシャルの値は一致する．よってmは整数である．ゆえに一般解

Φ(ϕ) = γ·cosmϕ+δ·sinmϕ (m : 非負整数, γ, δ : 任意定数) を得る．

Θ(θ)の微分方程式について

A=ν(ν+ 1), cosθ =x, |x| ≤1とおくと，Θは(2.53)に示すルジャン ド ル陪関数の満たす微分方程式

(1−x²)d²Θ

dx² −2xdΘ dx +

n

ν(ν+ 1)− m² 1−x²

o

Θ = 0 (4.15)

を満たす．

 この微分方程式は，u(x)を(2.14)に示したルジャンド ル微分方程式 (1−x²)d²u

dx² −2xdu

dx +ν(ν+ 1)u= 0 の解とするとき，

w= (1−x²)^m/2d^mu dx^m とおくことによって得る．

 一般にルジャンドル微分方程式の一次独立な解P_ν(z), Q_ν(z)は次の性質 を持つ．

1. νが整数のときPν(z)は Pn(z) =

Xσ

s=0

(−1)^s(2n−2s)!

2ⁿs!(n−2s)!(n−s)! z^n−2s

となる．但し ，σは nが偶数のときは n/2，奇数のときは (n−1)/2 ．

2. νが整数でないときP_ν(z)は, z =−1の近傍での解の性質を 得るために

|z−1|<2での級数解Pν(z) = X∞

m=0

Γ(ν+m+ 1) (m!)²Γ(ν+ 1−m)

³z−1 2

´_m

を|z+ 1|<2に解析接続して Pν(z) = APν(−z) +B

n

Pν(−z) logz+ 1

2 +g(z+ 1 2 )

o

となる．但し，gは|z+ 1|<2で正則な関数である．特にν が整数でないときは，B 6= 0でありz =−1において対数的 特異点をもつ．

3. Q_ν(z)を積分表示すると Q_ν(z) = 1

2^ν+1 Z ₁

−1

(1−t²)^ν

(z−t)^ν+1 dt z /∈(−∞,1] Re(ν)≥ −1/2 となり，z = 1で特異点となる．また，Q_−ν−1もP_ν(z)と一 次独立な解であるから，上の議論が−ν−1≥ −1/2で成り 立ち，結局任意のν対して第二種ルジャンド ル関数はz = 1 で特異点をもつ．

以上のことから，一般には(4.15)のルジャンド ル陪関数の微分方程式の一 般解は

P_ν^m(cosθ), Q_ν^m(cosθ) の1次結合で表されるが，P_ν^m(x)は一般のνに対して,

m= 0のときはlog(1 +x)という項をもつ．

mが自然数のとき(1 +x)^−m/2という項をもつ．

ことからx=−1で無限大となる．そして，νが整数nのときP_n(x)はxの 多項式で特異点は存在しない．

他方Qνm(x)は，νが何であってもx= 1で特異点をもつ．

したがって，ポテンシャル関数V はθの有界な連続関数であるから，条件 を満足するのは

整数次のルジャンド ル陪関数 P_n^m(x) のみである．

R(r)の微分方程式について

先の結果からR(r)の微分方程式は d²R

dr² + 2 r

dR

dr −n(n+ 1)

r² R = 0

となり ，これはr= 0が2階同次線形微分方程式の確定特異点である．指 数決定方程式の解がn, −n−1でその差が自然数であることに注意すれば，

独立な解として

R(r) =rⁿ, R(r) =r⁻ⁿ⁻¹ を得る．

ラプラス方程式の一般解

 ラプラス方程式の一つの特殊解として

(αrⁿ+βr⁻ⁿ⁻¹)P_n^m(cosθ) (γ·cosmϕ+δ·sinmϕ) (4.16) をうる．但し，α, β, γ, δは定数でnは負でない整数，mは0≤m≤nとなる整数であ る．ラプラス方程式の線形性から一般解は(4.16)の1次結合で表される．このことは，

ヒルベルト空間L²(0,2π)において，関数系{cosmϕ, sinmϕ,1} (m ≥ 1)が完全直交 系をなし，ヒルベルト空間L²(−1,1)において，関数系{P_n^m(x)}(0≤m ≤n)が完全 直交系をなすことからも理解される．