{Pk}(k= 0,1,2,· · ·)を点列(sequence)という。
Pk∈Rn {Pk}がP ∈Rnに収束する
⇔d (Pk, P)→0
⇔Pk = (ak1,· · ·akn)∈RnとしたP= (a1,· · · , an)
|akj−aj| →0(
j= 1,· · ·, nに対して) {Pk}がA内の点列であるとは、Pk ∈A
3.9.1 命題
{Pk}がP ∈Rnに収束したとすると、
P∈AO∪∂A
∵) P∈(
AC)O
として矛盾を出す。
あるε >0があってBε(P)⊂AC
∴Pk ∈A⇒d (Pk, P)> ε PkはPに収束できない
3.9.2 命題
P∈AO∪∂AならばPに収束するAの点列{Pk}が存在する
∵)
どんなε >0をとっても
Bε(P)∩A̸=ϕ ε1> ε2>· · ·>0となる列をとる。
Bεk(P)∩A∋Pk∈A
d (Pk, P)< εk→0
∴PkはPに収束
3.9.3 系
Aが閉集合でAの点列{Pk}がある店Pに収束すればP ∈A
3.9.4 定義
Rnの点列が有界
⇔d (Pk,0)≦M
⇔Pkのどの座標ajkについても
|akj|≦M′⇒√∑
a2kj≦√ nM′
√∑a2kj≦M ⇒ |akj|≦M
3.9.5 定理(Bolzano-Weierstrass)
有界な点列∈Rnは部分列をとれば収束
∵)
nによる帰納法を用いる n= 1は正しい。
n= 1まで正しいとする。
Pk = (Pk′, ak) akは有界数列
部分列で置き換えると、a∈Rは収束 ak →aと仮定して良い。
Pk′: 有界点列
帰納法の仮定から、また部分列で置き換えるとPk′ はP′に収束 Pk′ →P′, ak →aとしてよい⇔PkがP= (P′, a)に収束
3.9.6 系
Aが有界閉集合ならば、Aの点列{Pk}は部分列をうまくとればAの点に収束。
3.9.7 定義
Aが点列コンパクト(sequentially compact)とは、Aの任意の点列{Pk}はAの点に収束する部分列を持つ。
3.9.8 定理
A⊂Rnに対し、
Aは点列コンパクト⇔Aは有界閉集合
⇐: もう示した。
⇒:
有界でなければ点列コンパクトでない。
∵)
1. 有界でないとすると、
Pk∈A Pkの座標の絶対値の最大→+∞となるように取れる。
Pk: 発散
2. 閉でなければ点列コンパクトでない。
A̸⊃∂Aとする。
k∈∂A∪ACとなる点がある。
Pk∈Bεk(b)∩A̸=ϕ
εk→0 {Pk}はAの点列である。
Pk →b /∈A
3.9.9 連続関数
A⊂Rn部分集合
A上の関数とはAの各店Pに対しf(P)∈Rが定まっていること。
fがP ∈Aで連続⇔どんなε >0をとってもあるδ >0があって、d (Q, P)< dなら|f(Q)−f(P)|< ε
3.9.10 定理
A⊂Rn有界閉集合(点列コンパクト) fはAの連続関数
⇒fは最大値、最小値を持つ。P1, P2∈Aがあって、任意のQ∈Aに対し f(P1)≦f(Q)≦f(P2)
とくにf の値は有界
3.9.11 証明
まずf(Q)が有界を示す。
fが有界でないとする。
Q1, Q2Q3,· · · ∈A
|f(Qk)| →+∞とする。
部分列で置き換える。Qk →Q∈Aに収束。
連続性より
f(Qk)→f(Q) =有限値 となり矛盾
有界なので
sup
Q∈A
f(Q) =α
inf
Q∈Af(Q) =β supの定義から、f(Q1)→αとなるQq ∈A
部分列を置き換えて、Q1→P2∈Aとしてよい。
f(Q1)→f(P2) =α
αが最大値
3.9.12 多変数の微分
A⊂Rn開集合 f: A上の連続関数 P∈A
fがPで(全)微分可能(dierentiable)であるとは、
fがPの近くでは一次関数でよく近似できる
すなわちP= (a1,· · · , an), Q= (x1,· · ·, xn)として、
Qには依存しないα1,· · ·, αn∈Rがあって、
f(x1,· · ·, xn)≑f(a1,· · ·, an) +α1(x1−a1) +· · ·+αn(xn−an) このαk = ∂x∂f
k(a1,· · · , an)と書く。(偏微分係数) さらに正確には
f(x1,· · · , xn) =f(a1.· · · , an) +
∑n k=1
αk(xk−ak) +g(x1,· · · , xn)
と書いた時、
|g(Q)| d (P, Q) →0 (
d (P, Q)→0のとき) (d (P, Q)
√n ≦max|x1−a1|≦d (P, Q) )
記号として
d (P, Q)→0であるとき、
f(x1,· · ·, xn)−f(a1,· · · , an) = df(x1,· · · , xn)
xk−ak= dxk
と書く。
☆をdf(x1,· · · , xn) = ∂x∂f
1(a1,· · ·, an) dx1+· · ·+∂x∂f
n(a1,· · ·, an)と書き表す。
n= 2,3の場合を主に扱う。
3.9.13 例
exy P= (1,1)
y= 1を代入して、yの関数を思う。
ex≑e + e (x−1) x= 1を代入してyの関数と思う。
e + e (y+ 1)
n= 2のとき、
f(x, y)がP = (a, b)においてxで偏微分可能(partially dierentialable in x)
⇔f(a, b)がxの関数としてx=aで微分可能
∂f
∂x(a1,· · · , an) yで偏微分可能
⇔f(a, b)がy=bで微分可能 f(a, b)がAにおいてxで微分可能
⇔各店で微分可能
∂P
∂x (x1,· · ·, xn) 偏導関数という。
3.9.14 定理
fがAでC級なら、fはAの各店で全微分可能。
3.9.15 証明
n= 2
f(x, y)−f(a, b) =f(x, y)−f(x, b) +f(x, b)−f(a, b) f(x, y)−f(x, b)をyの関数と思うと、
f(x, y)−f(a, b) = ∂f
∂y (x, c) (y−b) cはyとbの間
同様に
f(x, b)−f(a, b) = ∂f
∂x(x′, b) (x−a) x′はxとaの間
f(x, y)−f(a, b) =∂f
∂x(a, b) (x−a) +∂f
∂y (a, b) (y−b) + (∂f
∂x(x′, b)−∂f
∂x(a, b) )
(x−a) + (∂f
∂y(x, c)−∂f
∂y(a, b) )
(y−b)
誤差項において、
|x−a|<d (P, Q)
|y−b|<d (P, Q) ∂f
∂x(x′, b)−∂f
∂x(a, b) →0 ∂f
∂y(x, c)−∂f
∂y(a, b) →0
誤差項 d(P,Q) →0
∴前微分可能
Pで全微分可能⇒偏微分可能
f(x, y)−f(a, b)≑α(x−a) +β(y−b) C級⇒全微分可能⇒偏微分可能