第 9 章 最後に応用を 2 つ 114
F.4 Z 上の関数の離散時間 Fourier と畳み込み
G.1.2 波動方程式の初期値問題, d’Alembert の波動公式
(G.1) を満たす解 u=u(x, t) は無数に存在し、解を一つに特定するためには、何か他に条件を追
加しなければならない。代表的なものは、特定の時刻 (ここでは t= 0) における状態を指定する条 件である。
(G.4) u(x,0) =ϕ(x), ∂u
∂t(x,0) =ψ(x) (x∈R)
条件 (G.1) と (G.4) を同時に満たす u = u(x, t) を求めよ、という問題を初期値問題 (initial value problem)またはCauchy 問題(Cauchy problem)と呼ぶ。また(G.4)を初期条件(initial
condition)と呼ぶ。波動方程式は時刻 tについて 2階であることから、初期条件の式が二つになっ
ていることに注目しよう。二つの関数 ϕ と ψ を初期値(initial values)と呼ぶ。
前項で見たように、(G.1) を満たす uの一般形 (G.2) が得られた。そこで、初期条件 (G.4)を満 たすように、(G.2) 中の f, g を定められれば初期値問題が解けることになるが、これが実際に可能 であることを以下に示す。初期条件に (G.2)を代入すると
f(x) +g(x) = ϕ(x) (x∈R), c(−f′(x) +g′(x)) =ψ(x) (x∈R) となる。後者から
−f(x) +g(x) = 1 c
∫ x
0
ψ(y)dy−f(0) +g(0) (x∈R) が得られるので、連立1次方程式を解いて
f(x) = 1 2
(
ϕ(x)− 1 c
∫ x
0
ψ(y)dy+f(0)−g(0) )
, g(x) = 1
2 (
ϕ(x) + 1 c
∫ x
0
ψ(y)dy−f(0) +g(0) )
. これから
(G.5) u(x, t) = 1
2(ϕ(x−ct) +ϕ(x+ct)) + 1 2c
∫ x+ct
x−ct
ψ(y)dy.
これを ダ ラ ン ベ ー ル
d’Alembert の波動公式あるいはStokes の公式と呼ぶ (Euler による、1750年頃の結果4)。
以上をまとめると次の定理を得る。
定理 G.1.3 (1次元波動方程式の初期値問題の解の一意存在) ϕ ∈ C2(R), ψ ∈ C1(R) ならば、
波動方程式の初期値問題 (G.1), (G.4)の C2 級の解が一意的に存在し、それは d’Alembert の波
動公式 (G.5) で与えられる。
4Eulerが得た結果なのに、なぜd’AlembertやStokesの名を冠されるのだろうか？ともあれ、簡単であるから1750 年という早い時期に解けたのだろうが、偏微分方程式の問題がこんなに簡単かつ鮮やかに解けるのは奇跡のような気が する。
興味があったらやってみよう 次の各場合に d’Alembert の波動公式で解を計算し、それがどうい う波を表わすか考えてみよ (コンピューターが使える場合、アニメーションを表示してみよう)5。 (1) ϕ(x) = sinx, ψ(x)≡0.
(2) ϕ(x) = {
1 (x∈(−1,1))
0 (それ以外) , ψ(x)≡0.
(3) ϕ(x) = 0, ψ(x) = sinx.
問 9. ϕ ∈C2(R;R), ψ ∈C1(R;R) とするとき、
u(x, t) := 1
2(ϕ(x−ct) +ϕ(x+ct)) + 1 2c
∫ x+ct
x−ct
ψ(y)dy ((x, t)∈R×R) で定めた u が
1
c2utt(x, t) =uxx(x, t) in R×R, u(x,0) =ϕ(x) (x∈R), ut(x,0) =ψ(x) (x∈R) を満すことを直接計算で示せ。
G.2 1 次元熱方程式の初期値境界値問題
(準備中)
Fourierの方法を説明しない Fourier解析の解説はおかしい感じもする。固有値問題と固有関数の
直交性を見せないなんて…
コンパクトに説明するにはどうすれば良いかなあ…
5実は(2)の場合、d’Alembertの波動公式に機械的に代入することによってuは簡単に「求まる」が、不連続関数に なってしまう。不連続関数をどうやって微分方程式の解と考えるのか、頭をひねらねばならないところであるが、この 結果は物理的にそれなりにもっともなものになっている。この辺りの事情は後述する熱伝導方程式とは対照的である。
熱伝導方程式の解は、最初に不連続性があっても、すぐに解は滑らかになってしまうが、波動方程式の解においては、
不連続性は消滅せずに伝搬していく。実用面から見ても、波動現象においては、衝撃波のような、不連続な関数で表現 するほうがむしろ適当なものを扱う必要があるため、これは重要な問題である。
付 録 H [0, ∞ ) 上の関数の Laplace 変換と 畳み込み
f: [0,∞)→C とするとき、fe:R→C を f(x) :=e
{
f(x) (x≥0) 0 (x <0)
で定めて、f の代わりに feを用いて、Fourier変換や畳み込みを定義することも出来るが、Laplace 変換を使うという方法も有用である。
f: [0,∞)→C とするとき、
Lf(s) :=
∫ ∞
0
f(x)e−sxdx (s は複素変数) で定まる Lf を f の Laplace 変換(the Laplace transform of f) と呼ぶ。
g の 逆 Laplace 変換(the inverse Laplace transform ofg) とは Lf =g
を満たす関数f のことをいう。存在するならば一意に定まることが知られている。f =L−1g と書 くことにする。
余談 H.0.1 (Laplace 逆変換の積分表示) g の特異点を含まない領域{z ∈C|Rez > γ}において、
g の Laplace 逆変換L−1g は、Bromwich 積分 L−1g(t) = lim
R→+∞
1 2πi
∫ γ+iR
γ−iR
g(s)estds で求められる。
f, g: [0,∞)→C のとき、f∗g は f ∗g(x) =
∫ x 0
f(x−y)g(y)dy (x∈[0,∞)) で定義される関数 f∗g: [0,∞)→C である。実は
f∗g(x) =fe∗eg(x) (x≥0)
であるから、?? 節の結果から、こちらの畳み込みの性質のいくつかを導くことが出来る。
f と g の畳み込みのLaplace 変換は、f と g の Laplace 変換の積である: L[f ∗g] =LfLg.
付 録 I メモ
I.1
周期関数の Fourier変換には超関数が必要になるが、遠方で 0 にカットして Fourier 変換したら どうなるだろう？
fm(x) = {
sinx (|x| ≤mπ) 0 (|x|> mπ)
FourierTransform[If[Abs[x] < Pi, Sin[x], 0], x, y]
結果はなるほどである。
f(x) = ei2πxT として、
fm(x) = {
f(x) (|x| ≤mT)
0 (それ以外)
f: R→C が周期 T とする。
cn = 2 T
∫ T /2
−T /2
f(x)e−i2πTxdx とおくと、
f(x) =∑
n∈Z
cnei2πTx.
fm(x) = {
f(x) (|x| ≤mT /2)
0 (それ以外)
とする。
f(ξ) =b 1
√2π
∫ ∞
−∞
f(x)e−iξxdx であるから、
fbm(ξ) = 1
√2π
∫ mT /2
−mT /2
f(x)e−iξxdx 特に
fbm(n) = 1
√2πx
∫ mT /2
−mT /2
f(x)e−inxdx
I.2 sinc
(ここは本文に書いたから要らないのかも。チェックして削除する。)
有名な sinc という関数は次式で定義される。
sincx:=
sinx
x (x∈R\ {0}) 1 (x= 0).
実はこれは非正規化 sinc と呼ばれる。信号処理の分野では 正規化sincx:=
sinπx
πx (x∈R\ {0}) 1 (x= 0).
で定義される正規化 sinc 関数も使われる([40]がそうなっている)。以下のMathematica の Sinc[]
は非正規化 sinc である。この文書では一貫して非正規化 sinc を使うことにする。
Mathematicaで sinc のグラフ描画
g = Plot[Sinc[x], {x, -15, 15}, PlotRange -> Full]
-15 -10 -5 5 10 15
-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-15 -10 -5 5 10 15
-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
図 I.1: 左はsincx= sinx
x のグラフ, 右は± 1
x のグラフを重ねた 滑らかな偶関数で、x = nπ (n ∈ Z) が零点で、グラフは y = ± 1
|x| で挟まれた部分を上下して いる。
sinc が重要視される理由は次の事実にある。ωp ∈(0, π) とするとき、区間[−ωp, ωp] の特性関数 χ[−ωp,ωp] の逆Fourier 変換1は ωp
π sincωpt である。実際、
1 2π
∫ ∞
−∞
χ[−ωp,ωp](ω)eiωtdω = 1 2π
∫ ωp
−ωp
eiωtdω
= 1 2π
[eiωt it
]ω=ωp
ω=−ωp
= 1 2π
eiωpt−e−iωpt
it = 1
π
sinωpt t
= ωp
π sincωpt.
I.3 復習 : 周期、周波数、角周波数
周期の逆数を周波数と呼ぶ。周波数に2πをかけたものを角周波数と呼ぶ。
x(t) = eiΩt という正弦波の角周波数は Ωである。周波数、周期をそれぞれ F,T とすると、
F = 2πΩ, T = 1 f.
1フーリエ変換の定義には色々な流儀があるが、??節の「流儀2」を採用した。
サンプリングするとき、サンプリング周波数を Fs とすると、サンプリング周期 Ts, サンプリン グ角周波数 Ωs は
Ts = 1
Fs, Ωs = 2πFs.
付 録 J Laplace 変換、 z 変換
Laplace変換、z変換まで含めて話が出来れば良いのだけど…
J.0.1 Laplace 変換
x: [0,∞)→C の Laplace 変換とは
L[x(t)](s) = X(s) =
∫ ∞
0
x(t)e−st dt.
x(t) = 1 2πi
∫ α+i∞ α−i∞
X(s)estds.
ただし α は Laplace 変換の収束域が Res > γ であるとして、α > γ であるように選ぶ (自由度が あるがどれを取っても同じ)。