正則半単純共役類の局所大域原理

さて3.2節の状況に戻って代数体F 上の連結簡約群Gとその準分裂データ(G^∗, ψG)を 取る。以下、簡単のためにGの導来群は単連結であるとする。正則半単純なγ ∈G(F)rs

に対してその局所、大域安定共役類γ^G(¯A)∩G(A), γ^G(F)の差を記述するだけでは十分 ではない。準分裂でないGに対してはF 有理点は持たないがA値点を持つ半単純共役類 があるからである。そこで定理3.5 とその直前の注意を考慮してγ_∗ ∈G^∗(F)rs の共役類 から出発し、そのψ_G⁻¹ :G^∗_F¯ →^∼ G^∗_F¯ による像の局所大域原理を記述したい。

問題を正確に述べよう。上の状況でγ_A = (γ_v)_v ∈ G(A)が γ_∗ をアデール像 (adelic image)に持つとは、各素点vでψG(γv)とγ_∗ がG^∗( ¯Fv)共役であることとする。これは 後で見るように

Ad(g)ψ_G(γ_A) =γ_∗, g∈G^∗_sc( ¯A) (4.3) に同値になる。

問題 4.11. γ_A ∈G(A)がγ_∗ ∈ G^∗(F)rs をアデール像に持つとする。γ_A^G(A)∩G(F)6= ∅ となるための必要十分条件を求めよ。

4.4.1 G_scでの共役類

これを解決するため、まずはγ_A^G(A)をγ_A^Gsc(A)で置き換えた類似の問題を考える。これは T :=G^∗_γ∗として次に解説するΓ上のTsc( ¯A)/Tsc( ¯F)捻子で記述される。X˜ = ˜X(γ_∗, γ_A) をh∈G_sc( ¯A)とη:TF¯ ,→GF¯ の対で

• η=ψ_G⁻¹◦Ad(δ)|TF¯, (δ ∈G^∗_sc( ¯F));

• η(γ_∗) = Ad(h)γ_A

を満たすものの集合とする。これは (4.3) から (ψ⁻_G¹(g), ψ_G⁻¹) を含むから空でなく、Γ 作用

σ(h, η) = (σ(h), σ(η) :=σ◦η◦σ⁻¹), σ ∈Γ を備えている。

補題4.12. γ_A^Gsc(A)がF 有理点を持つためには、X(γ˜ _∗, γ_A)^Γ 6=∅^{が必要十分である。}

証明. ^まずγ_A^{Gsc(A) が}F ^有理点Ad(h)γ_A =: γ ∈ Grs(F), (h ∈ Gsc(A)) ^{を持つとする。}

(4.3)^から

γ = Ad(hψ⁻_G¹(g)⁻¹)ψ⁻_G¹(γ_∗)

なので補題4.2 により、あるδ ∈ G_sc( ¯F)に対して γ = Ad(δ)ψ⁻_G¹(γ_∗) である。そこで η := Ad(δ)◦ψ_G⁻¹|TF¯ :TF¯ ,→GF¯ とおく。(3.1)の記号で

η⁻¹◦σ(η) =ψ_G◦Ad(δ⁻¹σ(δ))◦ψ⁻_G¹ = Ad(ψ_G(δ⁻¹σ(δ))u_σ), σ ∈Γ

だが、η⁻¹◦σ(η)(γ_∗) =η⁻¹◦σ◦η(γ_∗) =η⁻¹(γ) =γ_∗ ^なのでψG(δ⁻¹σ(δ))uσ ∈T( ¯F), (σ ∈Γ)が従う。つまりη :T ,→GはF 準同型で(h, η)∈X˜(γ_∗, γ_A)^Γ だから、条件は必 要である。

逆に(h, η) ∈X˜(γ_∗, γ_A)^{Γ があれば、}η(γ_∗) = Ad(h)γ_A ^はG( ¯F)∩G(A) = G(F)^に属 するから条件は十分である。

次にX(γ˜ _∗, γ_A)にはGsc( ¯F)が左から

δ.(h, η) := (δh,Ad(δ)◦η), δ ∈Gsc( ¯F)

と作用する。この作用でX(γ˜ _∗, γ_A)を割ったものをX =X(γ_∗, γ_A)とおく。

X :=Gsc( ¯F)\X˜ −→^∼ ß

Gsc( ¯F)(h, η0)

• h∈Gsc( ¯A)

• Ad(h)γ_A =ψ_G⁻¹(γ_∗)

™ .

ここでη0 :=ψ_G⁻¹|TF¯ :TF¯

→∼ GF¯ と書いている。

系4.13. γ_A^Gsc(A)∩G(F)が空でないためには、X(γ_∗, γ_A)^Γ 6=∅^{が必要十分。}

証明. 補題4.12 から、X(γ_∗, γ_A)^Γ が空でなければ X(γ˜ _∗, γ_A)^Γ も同様なことを見れば十 分。Gsc( ¯F)(h, η)∈X(γ_∗, γ_A)^Γとすれば、σ ∈Γに対してあるδσ ∈Gsc( ¯F)があって

σ(h, η) = (δ_σ⁻¹h,Ad(δ_σ⁻¹)◦η)

が成り立つ。特に第一成分に注目してδσ =hσ(h)^{−1 であるから、}{δσ}σ はGsc( ¯F)^値1 コサイクルでそのクラスはX¹(F, G_sc)に属する。よって命題4.8 からあるδ₁ ∈ G_sc( ¯F) があってδσ =δ⁻₁¹σ(δ1), (σ ∈Γ)である。このときδ1.(h, η)∈X(γ˜ _∗, γ_A)^Γである。

さて、X(γ˜ _∗, γ_A)にはT_sc( ¯A)が右から

(h, η).t:= (η(t)⁻¹h, η), t ∈Tsc( ¯A)

と 作 用 し 、こ れ か ら X(γ_∗, γ_A) へ の T_sc( ¯A) 作 用 が 定 ま る 。任 意 の G_sc( ¯F)(h, η₀), Gsc( ¯F)(h⁰, η0) ∈ X に対して η0(γ_∗) = Ad(h⁰)γ_A = Ad(h⁰h⁻¹)η0(γ_∗) から h⁰h⁻¹ ∈ η₀(T_sc( ¯A))だから、このT_sc( ¯A)作用は推移的である。さらに(η(t)⁻¹h, η)∈G_sc( ¯F)(h, η) であるためにはη(t) ∈ η(T_sc)( ¯F) が必要十分だから、X はT_sc( ¯A)/T_sc( ¯F)捻子である。

X =X(γ_∗, γ_A)のH¹(A/F, Tsc)でのクラスinvX (補題4.10)のTate・中山同型 α_Tsc : H¹(A/F, T_sc)−→^∼ π₀(T”_sc^Γ)^D =π₀(( ˆT /ZGˆ)^Γ)^D

による像をobs1(γ_A, γ_∗)^{と書く。系}4.13^と補題4.10 (b)から次は明らかである。

命題4.14. γ_A ∈G(A)がγ_∗ ∈G^∗(F)rsをアデール像に持つとき、γ_A^Gsc(A)∩G(F)が空で ないためにはobs1(γ_A, γ_∗) = 1が必要十分である。

後で用いやすいようにobs₁(γ_A, γ_∗)のもう一つの表示を与えておこう。(3.1), (4.3)^の記 号で

vσ :=guσσ(g)⁻¹ ∈G^∗_sc( ¯F)

とおく。Ad(vσ)γ_∗ = Ad(g)◦ψG◦σ(Ad(g)◦ψG)⁻¹γ_∗ =γ_∗ ゆえv={vσ}^はTsc( ¯F)値 1^{コチェイン}(1.2^節)^で∂v=∂u∈Z²(Γ, ZG^∗_sc( ¯F))^{を満たす。従ってその}H¹(A/F, Tsc) での像は定義可能である。そのα_Tsc による像をinv(γ_∗, γ_A)∈π₀(( ˆT /Z_Gˆ)^Γ)^Dと書く。

補題4.15. ^{上の状況で}obs₁(γ_A, γ_∗) = inv(γ_∗, γ_A)⁻¹.

証明. Gsc( ¯F)(h, η0)∈X(γ_∗, γ_A)を取る。Ad(g)◦ψG(γ_A) =γ_∗ = Ad(ψG(h))◦ψG(γ_A) からt:=ψG(h)g⁻¹ ∈Tsc( ¯A)^{に注意する。}σ ∈Γ^に対して

σ(h, η₀) =δ⁻¹_σ .(h, η₀).t_σ, δ_σ ∈G_sc( ¯F), t_σ ∈T_sc( ¯A)

と書いたとき、{t⁻_σ¹}σ∈Γ のH¹(A/F, Tsc)でのクラスがinvX(γ_∗, γ_A)であった^*8。この 等式の第一成分に注目して、

tσ =η₀⁻¹(hσ(h)⁻¹δ⁻_σ¹) =ψG(h)ψG(σ(h))⁻¹ψG(δσ)⁻¹

=ψ_G(h)(

ψ_G◦σ(ψ_G)⁻¹◦σ(ψ_G(h)))

ψ_G(δ_σ)⁻¹

=ψ_G(h)u_σσ(ψ_G(h))⁻¹u⁻_σ¹ψ_G(δ_σ)⁻¹

=tgu_σσ(g)⁻¹σ(t)⁻¹u⁻_σ¹ψ_G(δ_σ)⁻¹

=tv_σσ(t)⁻¹(ψ_G(δ_σ)u_σ)⁻¹ を得る。ここで第二成分の等式は

ψ_G⁻¹◦Ad(u_σ)|T =σ(ψ_G)⁻¹|T =σ(η₀) =ψ⁻_G¹◦Ad(ψ_G(δ_σ))⁻¹|T

と書けるからψG(δσ)uσ ∈Tsc( ¯A)∩Gsc( ¯F) =Tsc( ¯F)である。よってtσ のH¹(A/F, Tsc) でのクラスはinv(γ_∗, γ_A)^{に等しい。}

4.4.2 GscからGへの移行

まずT の双対トーラスTˆ= Hom(X^∗(T),C^×)について次が成り立つ。

*8Tsc( ¯A)/Tsc( ¯F)^はX(γ_∗, γ_A)^{に右から作用するので}tσの逆元になる。

補題4.16. (i)(X_∗(T) =X^∗( ˆT),Z)のGalois Ext群は次で与えられる。

Extⁿ_Γ(X_∗(T),Z) =







X(T)_F n= 0のとき π0( ˆT^Γ) n= 1のとき Hⁿ⁻¹(Γ,Tˆ) n≥2のとき (ii)特に長完全列

0−→X(G)_F −→X(T)_F −→X(T_sc)_F

−→π0(Z_G^Γ_ˆ)−→π0( ˆT^Γ)−→π0(( ˆT /ZGˆ)^Γ)

−→H¹(Γ, Z_Gˆ)−→H¹(Γ,Tˆ)−→H¹(Γ,T /Zˆ _Gˆ)−→. . . がある。

証明. (i)まず定義からExt⁰_Γ(X_∗(T),Z) = Hom(X_∗(T),Z)^Γ =X(T)F である。また完全 列1→Z^2πi→ C^exp→ C^× →1^{の長完全列}

HomΓ(X_∗(T),C) //Hom_Γ(X_∗(T),C^×) //Ext¹_Γ(X_∗(T),Z) // Ext¹_Γ(X_∗(T),C) ˆt^Γ

exp //Tˆ^Γ

において、1.5^節(1.3) ^からExt¹_Γ(X_∗(T),C) 'H¹(Γ,ˆt)∼= lim−→^EH¹(Γ_E/F,ˆt) = 0だから Ext¹_Γ(X_∗(T),Z)' π0( ˆT^Γ)である。同様にn ≥1のとき1 →Z ^2πi→ C ^exp→ C^× →1の長 完全列と(1.3)^から

Extⁿ_Γ(X_∗(T),C) //Extⁿ_Γ(X_∗(T),C^×) // Extⁿ⁺¹_Γ (X_∗(T),Z) //Extⁿ_Γ(X_∗(T),C) Hⁿ(Γ,ˆt) = 0 Hⁿ(Γ,Tˆ) Hⁿ(Γ,ˆt) = 0 ゆえExtⁿ_Γ(X_∗(T),Z)'Hⁿ⁻¹(Γ,Tˆ), (n≥2)が成り立つ。

(ii)^は0 → X_∗(T_sc) → X_∗(T) → X_∗(D_G) → 0に付随する長完全列にほかならない。

Ext群の第一変数についての導来関手性については[Wei94,定理10.7.4]などを見よ。

上の補題の連結射 π0(( ˆT /ZGˆ)^Γ) → H¹(Γ, ZGˆ) ^による X¹(F, ZGˆ) ^の逆像をK(T) = K^G(T)と書く。以前の通りγ_∗ ∈G^∗(F)_rs とそれをアデール像に持つγ_A ∈G(A)を取り、

obs1(γ_A, γ_∗) ∈ π0(( ˆT /ZGˆ)^Γ)^D のK(T)への制限を obs(γ_A, γ_∗)と書く(Kottwitz障害)。 この節の目的はこれまでの議論を関手性によって拡張し、命題4.14^{から次の定理を引き} 出すことである。

定理4.17. γ_∗ ∈G^∗(F)_rs をアデール像に持つγ_A ∈G(A)のG(A)共役類がG(F)の元を 含むためにはobs(γ_A, γ_∗)が消えることが必要十分である。

証明. ^まずK(T)^のPontrjagin双対を計算しよう。補題4.16 (ii)^{と制限射の可換図式} π0(( ˆT /ZGˆ)^Γ) −−−−→ H¹(Γ, ZGˆ)



y y

∏

v π₀(( ˆT /Z_Gˆ)^Γv) −−−−→ ∏

v H¹(Γ_v, Z_Gˆ) から

K(T) = ker (

π0(( ˆT /ZGˆ)^Γ)→∏

v

π0(( ˆT /ZGˆ)^Γv)→∏

v

H¹(Γv, ZGˆ) )

である。Pontrjagin^{双対を取れば、}

A:⊕

v

π0(( ˆT /ZGˆ)^Γv)^D 3(κv)v 7−→∏

v

κv◦v¯∈π0(( ˆT /ZGˆ)^Γ)^D として

K(T)^D=π0(( ˆT /ZGˆ)^Γ)^D /

A(⊕

v

im(

H¹(Γv, ZGˆ)^D →π0(( ˆT /ZGˆ)^Γv)^D))

=π₀( ˆT_sc^Γ)^D /

A(⊕

v

ker(

π₀(( ˆT /ZGˆ)^Γv)^D →π₀( ˆT^Γv)^D)) を得る。よってBv :π0(( ˆT /ZGˆ)^Γv)^D →π0( ˆT^Γv)^D,B := ⊕

v Bv としてobs(γ_A, γ_∗)が 消えるためには次が必要十分である。

obs₁(γ_A, γ_∗)∈A(kerB) (4.4) 主張4.17.1. γ_A^G(A)∩G(F)6=∅^{であるためには、}γ_A⁰ =γ_A^h1 ∈G(A),h1 ∈Gsc( ¯A)^で

(i) obs1(γ_A⁰, γ_∗) = 1;

(ii) ∂h₁のH¹(F, G( ¯A)_γA)でのクラスは自明。

を満たすものがあることが必要十分。

証明. 実際γ =γ_A^h ∈ G(F),h ∈ G(A)ならば、h = h1t, (h1 ∈Gsc( ¯A),t ∈Gγ( ¯A))とし てγ_A⁰ :=γ_A^h1 = Ad(t)γ =γ^{は主張の条件を満たす}:

obs1(γ_A⁰, γ_∗) = obs1(γ, γ_∗) = 0,

(∂h1)σ =ht⁻¹σ(th⁻¹) = (∂Ad(h)t⁻¹)σ, σ∈Γ.

逆に主張の条件が成り立つとする。(ii)からあるt ∈ G( ¯A)γ_A があって∂h1 = ∂t⁻¹ だ からh:=th1 ∈G(A)^で、(i)^から

γ_A^G(A) =γ_A^hG(A) =γ_A^0G(A)⊃γ_A^0Gsc(A) はG(F)の元を含む。

主張の条件(i)は補題4.15から

obs₁(γ_A, γ_∗) = inv(γ_∗, γ_A⁰)

inv(γ_∗, γ_A) (i)⁰

に同値である。一方Ad(gψG(h1))◦ψG(γ_A⁰) =γ_∗であるから、inv(γ_∗, γ_A⁰)を与える1コ チェインv⁰ は

v_σ⁰ =gψ_G(h₁)u_σσ(ψ_G(h₁))⁻¹σ(g)⁻¹ =gψ_G(h₁)u_σσ(ψ_G(h₁))⁻¹u⁻¹_σ u_σσ(g)⁻¹

=gψ_G((∂h₁)_σ)u_σσ(g)⁻¹ = Ad(g)ψ_G((∂h₁)_σ)·v_σ となる。つまり(i)^0のinv(γ_∗, γ_A⁰)/inv(γ_∗, γ_A)は∂h₁ のコホモロジー類の

ϕ: H¹(F, G_sc( ¯A)_γA)^Ad(g)−→^◦ψG H¹(F, T_sc( ¯A))−→H¹(A/F, T_sc)^α−→^Tsc π₀(( ˆT /Z_Gˆ)^Γ)^D による像に他ならない。定義から∂h₁ のコホモロジー類は下のC の核に含まれるが、主 張の(ii)はそれがkerDに属することを意味する。

C : H¹(F, Gsc( ¯A)γ_A)−→H¹(F, Gsc( ¯A)), D: H¹(F, Gsc( ¯A)γ_A)−→H¹(F, G( ¯A)γ_A)

結局、γ_A^G(A)がF 有理点を持つためには、obs₁(γ_A, γ_∗)∈ϕ(kerC∩kerD)が必要十分で ある。これと(4.4)から、定理は次の主張に帰着される。

主張4.17.2. A(kerB) =ϕ(kerC∩kerD).

証明. まず命題2.5から次の可換図式がある。

H¹(F, Gsc( ¯A)γ_A)^Ad(g)◦ψG //

D

H¹(F, T_sc( ¯A)) //

⊕αTsc,v

H¹(A/F, T_sc)

αTsc

H¹(F, G( ¯A)_γA)

Ad(g)◦ψG

⊕

v

π0(( ˆT /ZGˆ)^Γv)^{D A} //

B

π₀(( ˆT /ZGˆ)^Γ)^D

H¹(F, T( ¯A))

⊕α_Tv

//⊕

v

π0( ˆT^Γv)^D

(4.5)

ここでϕは1行目で右端に行って一つ下がる射だから ϕ(kerC∩kerD)⊂ϕ(kerD)⊂ϕ(

ker (

B◦⊕

αT_sc,v ◦Ad(g)◦ψG

))

⊂A(kerB) は直ちにわかる。

逆向きの包含関係を示そう。仮定からγ_A ほとんど全ての非アルキメデス成分γv の中 心化群G_γv およびG_γv,sc :=G_γv ∩G_sc,v はF_v 上の不分岐トーラスである。よって(2.5) と同様に

H¹(F, Gsc( ¯A)γ_A)'⊕

v

H¹(Fv, Gγv,sc)

が成り立つ。この同型により両者を同一視すれば、Kneserの消滅定理3.7から kerC =⊕

v|∞

ker(

H¹(Fv, Gγv,sc)→H¹(Fv, Gsc))

⊕⊕

v-∞

H¹(Fv, Gγv,sc)

である。ここで再び(4.5)からϕ=A◦⊕

α_Tsc,v◦Ad(g)◦ψ_Gだから有限成分に関しては ϕ(kerC∩kerD)⊃ϕ(⊕

v-∞

ker(

H¹(Fv, Gγ_v,sc)→H¹(Fv, Gγ_v)))

=⊕

v-∞

ker(

π₀(( ˆT /ZGˆ)^Γv)^D →π₀( ˆT^Γv)^D)

=⊕

v-∞

kerB_v

を得る。このとき実は次が成り立つのでϕ(kerC∩kerD)⊃A(kerB)が従う。

主張4.17.3. A(kerB) =A(⊕

v-∞ kerB_v).

証明. kerBfin := ⊕

v-∞ kerBv, kerB_∞ := ⊕

v|∞ kerBv と書けば示すべき主張は kerA∩kerB+ kerB_fin = kerB,すなわち

kerA∩kerB  //kerB_∞⊕kerBfin ////kerB_∞ が全射であることである。

まず各行が完全系列からなる可換図式 H¹(F, T_sc) //

H¹(F, T_sc( ¯A)) //

⊕αTsc,v

H¹(A/F, T_sc)

α_Tsc

⊕

v

π₀(( ˆT /ZGˆ)^Γv)^{D A} //

B

π0(( ˆT /ZGˆ)^Γ)^D

⊕

v

π0( ˆT^Γv)^D //π0( ˆT^Γ)^D

H¹(F, T) // H¹(F, T( ¯A)) //

⊕α_Tv

OO

H¹(A/F, T)

α_T

OO

を考える。右上のスクエアの可換性から kerA ^はH¹(F, Tsc) ^の⊕

v π0(( ˆT /ZGˆ)^Γv)^{D で} の像である。よって左のスクエアの可換性からkerA∩kerBはX¹(F, T)のH¹(F, T_sc) での逆像の⊕

v π0(( ˆT /ZGˆ)^Γv)^Dでの像である。よってker[H¹(F, Tsc)→H¹(F, T)]の H¹(F, T_sc) // H¹(F, T_sc( ¯A))

⊕α_Tsc,v

//⊕

v|∞

π₀(( ˆT /ZGˆ)^Γv)^D による像がkerB_∞ であることを示せば十分である。

そこで1, 2行目が1 →T_sc →T →D_G →1のGaloisコホモロジー完全列、3行目が 補題4.16の完全列のPontrjagin双対からなる可換図式

D_G(F) ^δ //

H¹(F, Tsc) //

β

H¹(F, T)

DG(F_∞) //

(†)

⊕

v|∞

H¹(F_v, T_sc) //

γ

⊕

v|∞

H¹(F_v, T)

⊕

v|∞

H¹(Γv, ZGˆ)^D ⊕

δ_v

//⊕

v|∞

π0(( ˆT /ZGˆ)^Γv)^{D B∞} //⊕

v|∞

π0( ˆT^Γv)^D を考える。問題の像は im(γ ◦ β ◦δ) で kerB_∞ = im⊕

v|∞ δ_v だから、第一列の射 DG(F)→⊕

v|∞ H¹(Γv, ZGˆ)^Dのが全射であることを示せばよい。

これは直接計算で証明できる。まず(2.2) ^によりH¹(Γv, ZGˆ) ' Hb²(Fv, X^∗(DG))^で、

Tateコホモロジー群のカップ積

`:Hb²(F_v, X^∗(D_G))⊗Hb⁰(F_v, D_G)−→Hb²(F_v,Gm)⊂Q/Z

は有限群の完全双対性だからH¹(Γv, ZGˆ)^D はHb⁰(Fv, DG) = DG(Fv)/NΓ_vDG( ¯Fv)に標 準同型である。ただしNΓvt=∏

σ∈Γv σ(t)と書いている。よって上の図式中の射(†)^は自 然な射影D_G(F_v) D_G(F_v)/N_ΓvD_G( ¯F_v), (v|∞)^{の直和である。}∏

v|∞ N_ΓvD_G( ¯F_v)⊂ DG(F_∞)は開部分群でDG(F)⊂DG(F_∞)は稠密だから、件の全射性が従う。

5 局所と大域を結ぶ跡公式

前節で得られた共役類ごとに局所大域原理を跡公式に組み込むことで大域的な保型表現 の記述を行う。実際の込み入った公式を眺める前に、なぜ跡公式が局所情報を大域的効果 に変換してくれるべきかをおもちゃの模型で見てみよう。

5.1 雛形 — 有限群の誘導指標

有限群 Gの部分群 Γ とその (C ^係数) 有限次元表現 (ρ, V)に対して、(余) 誘導表現 Ind^G_Γ(ρ, V) = Hom_Γ(Z[G], V)の指標公式を思い出そう。G等質空間X :=Γ\G上のG 同変ベクトル束

Vρ :=V ×G

/h(v, hg)−(ρ(h⁻¹)v, g)|h∈Γi ////X

を考えると、φ∈Ind^G_Γ(V)^は切断X 3Γ g 7→(g, φ(g))∈ Vρ と同一視される。

Hⁱ(X,Vρ) := Extⁱ_Γ(Z[G], V) =

®HomΓ(Z[G], V) i= 0^のとき

0 i >0のとき

とおけば次が成り立つ。証明は学部学生向けのよい演習問題である。

事実 5.1. X 内のg ∈Gの固定点の集合をFix(g, X) := {Γ x ∈ X|Γ xg⁻¹ = Γ x}^と書 くとき、

tr Ind^G_Γ(ρ, g) = ∑

Γ x∈Γ\G Ad(x)g∈Γ

trρ(Ad(x)g)

= tr(g,H^∗(X,Vρ)) = ∑

Γ x∈Fix(g,X)

tr(g,Vρ,Γ x).

ここでVρ,Γ x はΓ x上のVρ のファイバーである。

上は同一の等式を二通りに書いたものだが、前者はFrobenius相互律を表し、後者は

Lefschetz^{跡公式のおもちゃ}(toy model)^{になっている。}Lefschetz^{跡公式はベクトル束の}

コホモロジー空間全体へのg作用のトレースを、各固定点のファイバー上の局所トレース で表すことを特徴としている。

ここからは(ρ, V)が単位表現の場合をさらに詳しく考えてみよう。Γ 3γ の共役類を γ^Γ と書けば、右辺は

Fix(g, X) ={Γ x∈X|Ad(x)g ∈Γ}= a

γ^Γ⊂Γ

{Γ x∈X|Ad(x)g∈γ^Γ}

の濃度である。一方、左辺はX 上の関数空間L(X) = Map(X,C)上のGの右移動表現 Rの指標だから、f :G→Cに対するおもちゃの跡公式

tr(R(f)|L(X)) := ∑

g∈G

f(g) tr(R(g)|L(X))

= ∑

g∈G

f(g) ∑

γ^Γ⊂Γ

|{Γ x∈X|Ad(x)g∈γ^Γ}|

= ∑

g∈G

f(g) ∑

γ^Γ⊂Γ

|{Γ_γx∈X|Ad(x)g=γ}|

= ∑

γ^Γ⊂Γ

∑

g∈G

|{Γγx∈X|γ^x =g}| ·f(g)

= ∑

γ^Γ⊂Γ

|Γ_γ\G_γ| ∑

g∈γ^G

f(g)

が得られる。すなわちArthur-Selberg^{跡公式の幾何サイドは}Lefschetz^{跡公式の局所項か} らなるサイドの類似になっている。

ドキュメント内 内視論入門 (ページ 47-57)