time-likeな測地線上の点の全体である．
int S(p, v) =
0 y z
; y2−z2 <0
,→
0 y z y2−z2
1
; y2−z2 <0
⊂Ein3
である．ここで， {
y=rsinhθ z =rcoshθ と置換を行う．
すると，上の集合は
0 rcoshθ rsinhθ
−r2 1
; r ̸= 0
⊂Ein3
となる．この集合をEin3で閉包をとろう．
まずはr, θに関する極限を考える．すると，斉次座標で
0 rcoshθ rsinhθ
−r2 1
r−→→∞
0 0 0 1 0
,
0 rcoshθ rsinhθ
−r2 1
θ−→→∞
0 1 1 0 0
,
0 rcoshθ rsinhθ
−r2 1
θ→−∞−→
0 1
−1 0 0
となる．ここで，
p1 =
0
−1 1 0 0
, p2 =
0 1 1 0 0
とする．これはそれぞれideal pointである．
また境界には，i = 1,2に対してp0, piとp∞, piを通るphotonも現れ，この
photonは一意的に決定する．
まず，p0, p1 通るphotonはl+を埋め込んで閉包をとったもので，p0, p2 を 通るphotonはl−を埋め込んで閉包をとったものである．ただし，l+, l−は S(p, v)⊂E2,1の境界に現れるlightlikeな直線である．実際，
l+ =
0
−s s
; s∈R
,→
0
−s s 0 1
; s∈R
⊂Ein3
であり，これはs = 0のときp0に対応する．またs → ±∞を考えると，そ の極限はp1である．l−に関しても同様であるから，省略する．ここで
ϕ1 := ι(l+) = ι(l+)∪ {p1}, ϕ2 := ι(l−) = ι(l−)∪ {p2} としておく．
次に，p∞, p1を通るphotonはl+を埋め込んで閉包をとったもののinversion による像で，p∞, p2 を通るphotonはl−を埋め込んで閉包をとったものの inversionによる像である．実際，
ι(l+) =
0
−s s 1 0
; s∈R
⊂Ein3
であり，これはs= 0のときp∞に対応する．またs → ±∞を考えると，そ の極限はp1である．したがって，l−に関しても同様であるから，省略する．
ここで，
ψ1 := ISι(l+) =ISι(l+)∪ {p1}, ψ2 := ISι(l−) =ISι(l−)∪ {p2} としておく．
したがって，
ι(S(p, v)) =ι(S(p, v))∪ψ1∪ψ2 ⊂Ein3 である．
各iに対して，ψiとϕiはinversion IS で移りあう．
2. Wing W+(l+), W+(l−)
W+(l+)について，W+(l+)∪l+を埋め込む．この方が考えやすいためである．
W+(l+)∪l+=
x y
−y
; 0 ≤x
,→
x y
−y x2
1
; 0≤x
Ein3における閉包をとろう．これもまずはstemの場合と同様に極限を考え ればよい．ι(l+)の極限はp1である．次に，yを固定してxに関する極限を考 えると，極限はp∞である．したがって，境界にはp∞, p1を通るphoton ψ1
も現れる．以上から，
ι(W+(l+)) = ι(W+(l+))∪ϕ1 ∪ψ1 ⊂Ein3 である．
同様にして，
W+(l−)∪l−=
x y y
; x <0
−→
x y y x2
1
; x≤0
である．ι(l−)の極限はp2であり，yを固定したxに関する極限はp∞である から，境界にはp∞, p2を通るphotonψ2も現れる．以上から，
ι(W+(l−)) = ι(W+(l−))∪ϕ2 ∪ψ2 ⊂Ein3 である．
以上から，crooked surface Cは次のように定義されると分かる．
C =ι(C(p, v))∪ψ1∪ψ2 したがって，
C\C =ψ1∪ψ2
である．
つまり，Cは次のような部品に分解することができる．
1. 4つの点vertex p0，improper point p∞，ideal point p1, p2． 2. 8つの線分ϕi\ {p0, pi}, ψi\ {p∞, pi} (i= 1,2)．
3. W+(l+), W+(l−)の内部．
4. S(p, v)の内部．
また，元のcrooked planeは
{p0} ∪(ϕ1\ {p1})∪(ϕ2\ {p2})∪int(W1)∪int(W2)∪int(S(p, v)) とも表すことができる．
crooked surface Cは図を描くと，次のようになっている．
1. p0を中心に見た図
ただし，p∞を中心に見ても同様の図が描ける．
2. p1を中心に見た図
ただし，p2を中心に見ても同様の図が描ける．
図から，Cにうまく座標系を張れることは明らかであるが，次のページからは 厳密な証明を行う．興味がなければ読み飛ばしてもよい．
まずCはR2に同相であるから，明らかに位相多様体である．丁寧に座標系を定 めるならば，次のようにやればよい．
Cは次の図のように模式的に表すことができる．
どのように座標系が貼られるかを確認しておこう．int(W+(l±))とint(S)の各面 には普通にR2を貼ればよい．次に，int(ϕi)においては，S, W+(l±)のそれぞれの 方向への半円が座標近傍となる．最後に，p0においては，4つの象限への1
4 サイズ
の円が座標近傍となる．よって，C上に座標系を上手く定めることができた．
次に，Cが位相多様体であることを示そう．同様に，Cにおける展開図は次の ように表すことができる．
これはC上で存在しなかった部分においてうまく座標近傍をとればよい．
まず，p∞とint(ψi) (i= 1,2)においては先ほど定めた座標近傍のinversionを考 えればよい．
次にはideal point p1, p2の周りの座標近傍を定める．まずはp1から考えよう．
p1の周りの様子を調べるために
{t=y−z w=y+z
と座標変換を行う．この座標変換のもとで，t, w軸の方向ベクトルはlightlikeな ベクトルとなる．これはy軸方向のベクトルはspacelikeであり，z軸方向のベク トルはtimelikeである．それらをπ/4回転させることでlightlikeにするというイ メージである．t ̸= 0として，
ξ:= x
t, η := y
t, ω:= w
t, υ := u
t, ν := v t と定めると，null coneはω =−ξ2+υνで定義される．
まず，(ξ, υ, ν)∈R3はp1, ϕ1, ψ1を被覆する．実際，(ξ, υ, ν) = (0,0,0)のとき，
x=w=v =u= 0であるから，y=−zである．よって，斉次座標でp1に対応す る．同様に，ϕ1, ψ1はそれぞれξ =υ = 0, ξ =ν= 0に対応している．
次に，この被覆はS(p, v), W1と交わる．実際，S(p, v)はξ = 0, ω≤0の場合で あり，W1はξ ≤0, ω= 0に対応している．計算方法は先ほどと同様である．
W1上で ξ2 =υν ≥0だから，この被覆の中でW1はυ >0かつν > 0であるか，
υ <0かつν < 0の二つの成分に分かれる．よってこの(υ, ν)はp1のW1方向の座 標近傍となっている．同様に，S(p, v)においても，ω=υν ≤0より，2つの成分 に分かれ，(υ, ν)がp1のS(p, v)方向の座標近傍となっている以上でp1の周りの座 標近傍が構成できた．
p2の周りを考えるときは，w̸= 0を考えればよい．以上からCの周りの座標近 傍が定義できたから，Cは位相多様体である．
（読み飛ばした人はここから）
次にCがKleinの壺に同相であることを示そう．Cは4つの点と8つの線分と4つ の面から成る閉曲面である．よってそのEuler数は，χ(C) = 4−8 + 4 = 0である
から，CはKleinの壺かトーラスに同相である．ではこのCが向き付け可能でな
いことを示そう．
W1上のlightlikeな直線ϕ1\p1を考える．その直線をW1上のlightlikeな直線で あって，ϕ1 \p1と交わらないような直線lへと平行移動する．その閉包を考える と，lとϕ1はp1で1度だけ交叉する．よって，ϕ1の自己交点数は1であり，これ
はϕ1の周りにM¨obiusの帯に同相な近傍が取れることを意味しているから，Cは
向き付け可能でない．したがって，CはKleinの壺に同相である．
では次にEind3を考えよう．C ∈ E2,1を片方のMinkowski patchに埋め込んで，
その閉包を考えよう．C ⊂Eind3は次のように分解される．
1. 7つの点p0, psp∞, pti∞, p±1. p±2． 2. 12つの線分 ϕ±i , α±i , βi± (i= 1,2)． 3. 2つのwingの閉包．
4. 2つのstemの成分．
これらをantipodal mapを用いてもう1つのpatchへと移してやれば，元のC ⊂ Eind3と合わせてC ⊂ Ein3の二重被覆への持ち上げが完成する．最後に，Eind3に
おいてcrooked surfaceの持ち上げは次のページの図の緑線のようになっている．
したがって，CのEind3への持ち上げはトーラスに同相である．
Remark 2. CがKleinの壺に同相であることはEind3におけるcrooked planeの貼 り合わせを直接計算することによっても証明可能である．その際はantipodal map を用いてそれぞれのphotonがどのような向きで貼り合わされるかを調べればよい．