曲線の方程式と導関数

A x，yの方程式と導関数

方程式y² = 4xの表す曲線は，右の図のよ うな放物線である．この式をyについて解く と，次のようになる．

y =±2√ x

よって，この放物線は，2つの関数 y= 2√

x · · ·°1 y=−2√

x · · ·°2 のグラフを合わせたものである．

O y

x y= 2√

x

y=−2√ x

関数°1 を微分すると dy

dx = 2· 1 2√

x = 1

√x = 2

y ←(√

x)⁰=“ x¹²”₀

=1 2x¹²⁻¹

=1

2x⁻¹² = 1 2√

x

関数°2 を微分すると dy

dx =−2· 1 2√

x =− 1

√x = 2 y

これらは，次のようにまとめて表すことができる．

y² = 4xついて dy dx = 2

y ただし，y6= 0

練習 3.25 円x²+y² = 1 について，次の問いに答えよ．

(1) 方程式をyについて解け．

(2) dy

dx =−x

y であることを示せ．

次に，x，yの方程式が与えられたとき，この方程式はxの関数yを定めると考え，

合成関数の微分法により，dy

dx を求めてみよう．

応用例題 3.2 方程式 x² 9 + y²

4 = 1 で定められるxの関数yについて，dy

dx は次のよ うに表せることを示せ．

y6= 0 のとき dy

dx =−4x 9y

¶ ³

考え方 yをxの関数と考え，方程式の両辺をxで微分する．

合成関数の微分法により d

dxy² = d dyy²·dy

dx = 2ydy dx

µ ´

【解】x² 9 +y²

4 = 1 の両辺をxで微分すると 2x

9 +2y 4 ·dy

dx = 0 よって，y6= 0 のとき

dy

dx =−4x 9y

O y

3 x

−3

2

−2 x²

9 +y² 4 = 1

［注意］応用例題3.2の方程式が表す曲線は，円x²+y² = 9 をx軸をもとにしてy軸 方向に2

3倍に縮小したものである．このような曲線を

だ

楕円という．

練習 3.26 次の方程式で定められるxの関数yについて，dy

dx を求めよ．

(1) y² =x (2) x²−y² = 1

練習 3.27 a，bを正の定数とする．方程式 x² a² +y²

b² = 1 で定められるxの関数yに ついて，dy

dx =−b²x

a²y と表せることを示せ．

B 曲線の媒介変数表示と導関数

曲線C上の点P(x, y)の座標x，yが，いずれもある1つの変数tの関数として表 されるとき，曲線Cについて調べてみよう．

例 3.9 曲線C上の点P(x, y)の座標x，yが，tの関数によって，

x= 2t² · · ·°1 y= 2t · · ·°2 で表されるとする．

1

°，°2 からtを消去すると y² = 4t²

から

y² = 2x

O y

x

y² = 2x 2

2

−2

よって，曲線Cは，放物線 y² = 2x である．

一般に，曲線C上の点P(x, y)の座標x，yが1つの変数tの関数f(t)，g(t) に よって

x=f(t), y =g(t)

と表されるとき，この表し方を曲線Cの媒介変数表示といい，tを媒介変数またはパ ラメータという．媒介変数にはt以外の文字を用いることもある．

例 3.10 原点を中心とする半径aの円 x²+y² =a²

は，媒介変数θを用いて x=acosθ, y=asinθ と表される．

O y

a x

−a

a

−a θ a

(x, y)

［注意］円の媒介変数表示では，媒介変数としてθを用いることもある．

座標平面上の曲線Cが，媒介変数tを用いて x=f(t), y =g(t)

と表されているとき，yをxの関数と考えると，合成関数および逆関数の微分法に より

dy dx = dy

dt·dt dx = dy

dt· 1 dx

dt となる．したがって，次のことが成り立つ．

曲線の媒介変数表示と導関数

¶ ³

x=f(t)，y=g(t) のとき dy dx =

dydt dxdt

= g⁰(t) f⁰(t)

µ ´

例題 3.8 xの関数yが，tを媒介変数として，次の式で表されているとき，dy

dxをtの 関数として表せ．

(1) x= 2t²，y= 4t (2) x= cost，y= sint

【解】 (1) dx

dt = 4t，dy

dt = 4 から dy dx = 4

4t = 1 t (2) dx

dt =−sint，dy

dt = cost から dy

dx = cost

−sint =− 1 tant

［注意］ xまたはyを用いて表すと，次のようになる．

(1) dy dx = 4

y (2) dy

dx =−x y

練習 3.28 xの関数yが，tを媒介変数として，次の式で表されているとき，dy dxをt の関数として表せ．

(1) x= 2t，y=t² −1

(2) x= 3 cost，y= 2 sint