時間の較正

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15

0 20 40 60 80 100

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15

Td-Tu

Coincidence with Horizons

図 4.16: 上下時間差dt=t_d−t_uのスペクトル。上はゲートなし、下は横置き検出器とのコインシデンスゲート適 用。下では図4.15に示した4箇所の交点が見えている。

Y Coincide with Horizon Detector

-1000 -750 -500 -250 0 250 500 750 1000

35 40 45

Raw YDetector ID

Y(mm)

-1000 -750 -500 -250 0 250 500 750 1000

35 40 45

Calibrated YDetector ID

Y(mm)

図 4.17: 水平位置Y の横置きシンチレータとの同時測定結果。左：較正前 右：較正後

時間原点を用いないslew補正

先の時間原点の問題により、タイミング情報の絶対値は意味を持たない。しかし、タイミング情報同士の差は、

それによってオフセットが相殺されるので、意味を持つことができる。2つのタイミング信号t1, t2の差について式 4.46を適用すると次式のようになる：

t⁰₂−t⁰₁=t₂−t₁+ ( C1

√A₁ +D₁− C2

√A₂ −D₂ )

(4.47) 各パラメータの下つき添字は、その量がt₁, t₂のどちらに対応するのかを表す。この式から、A1, A₂のうちどちら かを固定することができれば、固定しない方によるslewのみが現れるので、正確なslew補正を行える。

CFD

CFD(Constant Fraction Discriminator)は、波高弁別のタイミングがパルスそのものの大きさに依存しないよう、

検出方法が工夫されたDiscriminatorである。

CFDの原理を簡単に説明する。パルスの波高がf(x−vt)と書けるとする。このパルスを時間τだけ遅延させたも のと、パルスを反転させて減衰させた(減衰率C)ものを足しあわせると、合成波高はf(x−v(t+τ))−C(f(x−vt)) となる。ここで、パルスの形がパルスの電荷量に比例する(電荷量がA倍になると波高はAf(x−vt))と仮定する と、合成波高がゼロになるタイミングは波高によらず一定になる。この合成波のゼロクロスタイミングを検知する のがCFTである。

本論文では、NEBULAの通常の構成にCFDモジュールを4ch(検出器2基)分だけ導入し、slewの影響がないク リーンなタイミング情報を作る。⁸そして、これらの検出器をリファレンスとして、その他の検出器の補正を行う[4]。

時間差の位置依存性の除去

実際にslew補正を行うためには、t2−t1がゼロになるように別途補正を行う必要がある。具体的にどのよう な補正をするべきか、その考察のために、図4.22のように隣り合う2つのシンチレータを考え、それぞれに番号 1,2を充てる。考察に用いる座標系及びシンチレータと入射粒子の位置関係も図4.22に倣う。また図4.22におけ る点0(x0, y0) = (x0,0)を通過する時刻を仮の時間原点t0とする。入射粒子の移動速度をvµとすると、粒子が 点1(x1, y1)および点2(x2, y2)を通過するのにかかる時間はそれぞれT1 := vµ

√(x0−x1)²+ (y0−y1)² および T2:=vµ

√(x0−x2)²+ (y0−y2)² と書ける。一方、点1・点2から出た蛍光がシンチレータの上下に達するまでに

8ただし実際にはCFDにも微小ながらslew効果があるので、その補正を行って後使用する。

Y (Gate Free)

-1000 -750 -500 -250 0 250 500 750 1000

35 40 45

raw YDetector ID

Y(mm)

-1000 -750 -500 -250 0 250 500 750 1000

35 40 45 1

10 10² 10³

Calibrated YDetector ID

Y(mm)

図4.18: 位置較正前後での水平位置yの分布。左が較正前、右が較正後。

必要な時間は、光の伝播速度をv_i (i= 1,2)として、上側がT_u:=−v_iy₁、下側がT_d:=v_i(y_i+H)と書ける。よっ て、シンチレータ1,2それぞれの上下のタイミングt_u,dは次のように書ける：

t_1u=−y1

v₁+

√(x0−x1)²+ (y0−y1)²

v_µ t_1d= y1+H

v₁ +

√(x0−x1)²+ (y0−y1)²

v_µ (4.48)

t2u=−y2

v₂+

√(x0−x2)²+ (y0−y2)²

v_µ t2d= y2+H

v₂ +

√(x0−x2)²+ (y0−y2)²

v_µ (4.49)

各タイミングの第2項は、幾何学的考察からそれぞれ次のように変形できる⁹：

√(x0−x1)²+ (y0−y1)² = (y0−y1)

√ 1 +

(x0−x1

y₀−y₁ )2

= (y0−y1)√

1 + tan²θ= y0−y1

cosθ (4.50)

√(x₀−x₂)²+ (y₀−y₂)² = (y₀−y₂)

√ 1 +

(x₀−x₂ y0−y2

)2

= (y₀−y₂)√

1 + tan²θ= y₀−y₂

cosθ (4.51) 4つのタイミングから、次の量を作る：

dt_u := t_1u−t_2u=−y1

v₁ +y2

v₂ −y1−y2

v_µcosθ (4.52)

dtd := t1d−t2d=−y2

v₂+y1

v₁ − y1−y2

v_µcosθ +H v₁ −H

v₂ (4.53)

dhTi := t1u+t1d

2 −t2u+t2d

2 = dtu+dtd

2 (4.54)

= −y₁−y₂ vµcosθ+ H

2v1− H 2v2

(4.55) 幾何学的に ^x_y^1−x2

1−y₂ = tanθが成り立つので、シンチレータ物性の個体差を無視(v1=v2=v)すると、

dt_u := −x1−x2

vtanθ −x1−x2

v_µsinθ (4.56)

dtd := +x₁−x₂

vtanθ −x₁−x₂

vµsinθ (4.57)

dhTi = −x1−x2

vµsinθ (4.58)

9常にy0≥y1となることに注意

Residual Correction

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400

-1000 -750 -500 -250 0 250 500 750 1000

Position vs Residual

-120 -100 -80 -60 -40 -20

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600

2971. / 121

P1 -54.42 0.1904

P2 -0.9448E-01 0.9201E-03

P3 -0.9562E-04 0.3748E-05

P4 -0.1191E-06 0.6582E-08

P5 0.1265E-09 0.1720E-10

P6 0.5585E-12 0.1062E-13

P7 0.3039E-15 0.2156E-16

図4.19: 未補正時のトラッキングの残差(上)とその6次関数によるフィット結果(下)

Slew(A)

図4.20: slew効果の例。パルスの立上りからディスクリレベル(緑)までの時間はパルスの波高に依存する

もし全ての粒子が図4.22におけるXY平面を動くならば、x1−x2=W = const.とすることができるので、上記3 つの量は1つの変数θに依存する:

dtu = W

vtanθ + W

v_µsinθ (4.59)

dtd = − W

vtanθ+ W

vµsinθ (4.60)

dhTi = + W

vµsinθ (4.61)

各シンチレータのyからθ= arctan_y^−W

1−y₂ として天頂角を求められるので、上記の式に従って依存性を除去する ことができる。なお、実際には粒子の飛跡は3次元的で、XY平面に対し傾きを持つ。そのためW はシンチレータ の幅12cmより系統的に大きくなる。

実際に測定した各種時間差が上記の式に従う様子を図4.23,図4.24および図4.25に示した。

実際の補正には、2つのシンチレータのうち一方をリファレンスとする。また、2つは一般に隣接しない(Wは位 置関係に応じて変動する)。

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Pulse Height

Time Constant Fraction Triggering

Input Pulse Delayed Pulse Inverted and Attenuated Pulse Synthesized pulse

図 4.21: CFT(Constant Fraction Triggering)の図解。パルスはGaussianで近似してある。入力波形(Input Pulse) を遅延させたものがDelayed Pulse,反転して減衰させたものがInverted and Attenuated Pulse。これら2つを合成 したのが合成波形(Synthesized Pulse)。CFTでは、合成波形がゼロを横切る時間を見る。

実際の位置依存性除去

天頂角θは理想的には2つのシンチレータでの位置の差dY から決定できるが、これは2点から最小2乗法で直 線を決定することと同じで誤差が大きい。よって実際の補正に用いる天頂角は飛跡トラッキングから得たものを用 いるのがより適切である。しかし、トラッキングからの角度を使うにはトラッキングが可能である必要がある。後々 行うslew補正ではアナログが小さなイベントが重要になるが、トラッキング可能という条件はこの種のイベントの 数をかなり削減する。そこで、トラッキングができない場合もトラッキング天頂角と同等の量を使うために、dY と の対応付けを前もって行う。すなわち、トラッキングによる天頂角θTrに対し、

θTr=f(dY) (4.62)

となる較正関数fをフィッティングにより求め、以後の較正ではf(dY)をθTrの代用として用いる。

位置yが上下時間差dt=td−tuの関数であることを考えると、「時間差の差」ddtとθTrとの対応をつけておけ ば位置情報が使えないシンチレータについても補正が可能になる(slew補正自体は位置情報がいらない)ので、実際 にはこちらを用いる。図4.26はddtとθTrとの相関を示している。この相関をarcsinとarctanの和でフィットし て、式(4.62)の関数f を得る。

以上の手続きから求めた角度様情報(以後これをθ_dtと記す)を用いて位置依存性の除去を行うが、実際にはdhTi を経由せず、上時間差dt_u、下時間差dt_dをそれぞれ直接ワンステップで補正する。すなわち、これら2つとθ_dtと の相関を関数

f(θ_dt) = p₁

tan(θdt−p2)+ p₄

sin(θdt−p2)+p₃ (4.63)

でフィットして、これをdt_u, dt_dから差し引く。差し引き後の値は位置に依存するファクタを含まないので、slew補 正が行える。

ゲートによる’良い’イベントの選択

これまでに説明してきた位置依存性の除去を行うにあたって、気をつけるべき点がもう1つある。図4.27は、図 4.22を上から見下ろしたものである。図中の3本の矢印は宇宙線の飛跡を示している。×印をつけた2本は、シン チレーション光源の間隔x1−x2がW から大きく外れるために時間差dhTiが式4.58に従わない可能性が高い。

このような悪いイベントを除くためには「通過距離の差が小さい」という条件でイベントを選別するのが良いが、

通過距離自体を直接求めることは困難なので、その代わりとして「エネルギー損失の差が小さい」という条件を設 ける。宇宙線(∼ミュオン)の速さは光速に近いので、シンチレータ中でエネルギーを失っても事実上減速しないと 考えることができる。ゆえに長さあたりのエネルギー損失は一定で、従って損失の合計は通過距離に比例する。

図 4.22: タイミングの差と入射粒子の軌跡の依存関係の模式図。この図に従って座標を設定して考察する。

slewの補正

位置依存性を除去した後の上下時間差dt_u, dt_dは式(4.47)に従うはずである：

dt⁰_u = t⁰_1u−t⁰_2u=t1u−t2u+ ( C1u

√A1u

+D1u− C2u

√A2u

−D2u

)

(4.64) dt⁰_d = t⁰_1d−t⁰_2d=t1d−t2d+

( C1d

√A1d

+D1d− C2d

√A2d

−D2d

)

(4.65) この式に、例えばA2を固定¹⁰するゲートを適用して、固定しない方(A1)との相関を見ると、そこにはA1によ るslewが現れるはずである。図4.3.6の左側は実際の実験データで見たこの相関で、右側は、左側に見えるカーブ を次の関数形でフィットしたものである:

f(x) = p1

√x+p2

+p3 (4.66)

図4.3.6でフィットを行って求めたf(x)を用いてslewの補正を行うと、図4.3.6の左側のように時間差のアナロ グ依存性が除去される。

位置とアナログ依存性を除去した時間差は理想的には1つのピークを持つ。実際の時間差分布も、slew補正が正 しく行われていれば図4.3.6の右に示すように単独のピークを持つ。これは2つの検出器(補正対象とリファレンス) の合成時間分解能を直接反映する。

時間差分布からの時間分解能の評価

全てのファクタを除去した時間差は、2つの検出器の時間分解能を反映した分布を持つ:

σt1−t2 =

√

σ_t²₁+σ_t²₂. (4.67)

通常は、一方を補正対象検出器、もう一方をリファレンス検出器とする。左辺は直接測定できるので、リファレン ス検出器の分解能がわかっていれば、補正対象検出器の分解能を推定できる。

リファレンス検出器の分解能は、次節に述べる方法で推定する。

10狭い範囲(10-20chくらい)に限定する、という程度の意味

-7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5 10 12.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Zenith Angle vs d〈Τ〉

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5

1.439 / 122

P1 0.4410 0.3227E-01

P2 -0.1815E-02 0.1536E-01

P3 3.881 0.1016

図4.23: 天頂角(横軸)と時間差dhTiとの相関(左)とそのフィット結果(右)。フィット関数はf(x) =_sin(x^p1_−p

2)+p3.

-7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5 10 12.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Zenith Angle vs dTu

-4 -2 0 2 4 6 8 10

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.8931E-01/ 72

P1 0.6538 0.2931

P2 -0.2107E-02 0.1113E-01

P3 3.730 0.1509

P4 1.229 1.275

図 4.24: 天頂角(横軸)と上時間差dtu との相関(左)とそのフィット結果(右)。フィット関数はf(x) = _sin(x^p1_−p

2)+

p₁p₄

tan(x−p₂)+p3.

リファレンス検出器の時間分解能評価

2基のリファレンス検出器について、時間差dt_u, dt_dの分解能から単独の分解能を推定する方法を述べる。

2つの時間t1, t2の時間差t1−t2の分布の幅を、4通りの場合で評価する：

• σA: 制限なし

• σB: A2を制限

• σC: A1を制限

• σD: A1, A2を制限 図4.30に測定例を示す。

t1とt2の誤差が独立であると考えれば、上記の幅は次のように書ける：

σ_A² = σ₁²+σ₂² (4.68)

σ²_B = σ₁²+σ₂⁰² (4.69)

σ_C² = σ₁⁰²+σ²₂ (4.70)

σ_D² = σ₁⁰²+σ⁰₂² (4.71)

ただしσ⁰は、対応するアナログを制限した場合の幅である。この式は右辺を未知数とした連立方程式と見なせるが、

係数行列が逆行列を持たないため解くことができない。そこでいくつかの仮定を措いて評価を行う。1つめは「アナ

-7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5 10 12.5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

Zenith Angle vs dTd

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.7924E-01/ 72

P1 0.3736 0.7664

P2 0.1516E-01 0.3658E-01

P3 4.060 0.1617

P4 -0.5062 0.4790

図 4.25: 天頂角(横軸)と下時間差dtd との相関(左)とそのフィット結果(右)。フィット関数は図4.24 と同型の f(x) =_sin(x^p1_−p

2)+_tan(x^p1p₋⁴_p

2)+p3.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

Difference of Time Difference vs Zenith Angle

-1 -0.5 0 0.5 1

-15 -10 -5 0 5 10

0.6665E-01/ 230

P1 -9.455 2.017

P2 -0.1897 5.834

P3 -0.1995E-03 0.3416

P4 0.1992 0.3993

図 4.26:「時間差の差」と天頂角の対応。左は実際の測定結果、右はそのフィッティング。いずれも横軸はθdt,縦軸

はddtであ。フィット結果のゼロ近辺における異常な挙動はarcsin,arctanの特異点によるもの。θdtが特異点近辺 になるようなイベントはトリガ条件上起こり得ないので、較正には影響しない。

ログを固定した場合の幅は固定しない場合の幅より小さい」。2つめは「アナログを固定した場合の幅はt1とt2で 同等」。数式で書くと、

σ²₁ > σ₁⁰² (4.72)

σ²₂ > σ₂⁰² (4.73)

σ²_D

2 ∼ σ₁⁰²∼σ₂⁰² (4.74)

σ1について評価すると、まず下限がσ²₁> σ⁰₁²∼σ²_D/2で与えられる。更に、式(4.68)よりσ²₂=σ²_A−σ²₁となるが、

σ²₂> σ⁰₂²∼σ²_D/2でもあるので、結局σ_A²−σ₁²> σ²_D/2. 例として図4.30における幅の数値(σ_A² = 0.241, σ_D² = 0.189) を用いると：

σ²_A−σ_D²/2> σ²₁> σ_D²/2 (4.75)

−→ 0.20²> σ₁²>0.13² (4.76)

単位はns. あるいは、2つめの仮定のみから、式(4.69)を用いて仮の値を導くこともできる。その場合、σ²₁ = σ²_B−σ₂⁰²∼σ_B² −σ_D²/2 = 0.17²となる。

以上の議論をリファレンス検出器に対して適用する。

ドキュメント内 NEBULA 09M (ページ 39-49)