A. 準備〜方程式への代入
たとえば，円C: (x−2)2+(y−b)2=5が(3, 2)を通るならば，(x−2)2+(y−b)2 =5に(x, y)=(3, 2) を代入した等式は成り立つ，つまり
(3−2)2+(2−b)2=5 ⇔1+4−4b+b2=5
⇔b2−4b=0 ⇔ b(b−4)=0
【例題47】円C : (x−a)2+(y−3)2=13が(5, 5)を通るとき，aの値を答えよ．
【解答】 (x−a)2+(y−3)2=13に(x, y)=(5, 5)を代入して (5−a)2+(5−3)2=13 ⇔25−10a+a2+4=13
⇔a2−10a+16=0 ⇔ (a−2)(a−8)=0 これを解いてa =2, 8である．
B. 与えられた3点を通る円の方程式
どんな三角形も，外接円はただ1つに定まった．これは，（同一直線上にない）3点 を通る円周がただ1つに定まることを意味する．
【暗 記 48：円の方程式〜その２〜】
3点A(3, 0)，B(0,−2)，C(−2, 1)を通る円Kの方程式について， に適する式・数値を入れよ．
1. Kの方程式をx2+y2+lx+my+n=0とおく．ここで以下が成立する．
Aを通るから方程式 ア ，Bを通るから方程式 イ ，Cを通るから方程式 ウ 3式を連立して(l, m, n)=(
エ , オ , カ )
と解けて，Kの方程式 キ を得る．
2. Kの中心をO(p, q)とする．ここで
OA=OBからp, qの方程式 ク が，OA=OCからp, qの方程式 ケ が成り立つ．
2つの式を連立して解けば(p, q)=(
コ , サ )
である．
つまり，OA2= シ であるのでKの方程式は ス と分かる．
【解答】
1. A(3, 0)を代入し32+0+3l+0+n=0 ⇔3l+n=−9（ア）
B(0,−2)を代入し0+(−2)2+0−2m+n=0 ⇔−2m+n=−4（イ）
C(−2,−1)を代入し(−2)2+12−2l+m+n=0⇔−2l+m+n=−5（ウ）
◀
3l +n=−9· · · ·⃝1
−2m+n=−4· · · ·⃝2
−2l+ m+n=−5· · · ·⃝3
⃝2 +2×⃝3 より
−2m + n = − 4 +) −4l +2m +2n = −10
−4l +3n = −14· · ·⃝2′ 3×⃝1 −⃝2′ よ り13l =−13と なってl=−1．⃝，2 ⃝から1 m,n を求めればよい
エ:−1，オ:−1，カ:−6，キ:x2+y2−x−y−6=0 2. ク: OA=OB⇔ √
(p−3)2+q2 = √
p2+(q+2)2
（⇔ (p−3)2+q2 = p2+(q+2)2 ⇔ 5 =6p+4q） ケ: OA=OC⇔ √
(p−3)2+q2 =
√(p+2)2+(q−1)2
（⇔ (p−3)2+q2 =(p+2)2+(q−1)2 ⇔ 2=5p−q） ◀両辺2乗してp2,q2を消去し，
両辺整頓した ク，ケを 整 理 し て ，連 立 方 程 式
6p+4q=5 5p−q=2
を 得 る ．こ れ を 解 い
て
（コ）
1 2,
（サ）
1 2
を得る．よって，O (1
2, 1 2 )
，A(3, 0)であるから，
OA2 = ( (1
2 −3 )2
+ (1
2 −0 )2
=
（シ）
13
2 で あ る の で ，K の 方 程 式 は ◀
『2点間の距離』(p.74)
（ス）
( x− 1
2 )2
+ (
y− 1 2
)2
= 13 2
となる．
101
【練習49：円の方程式〜その２〜】
A(3,1)，B(4,−4)，C(−1,−5)とする．△ABCの外接円の中心と半径を求めよ．
【解答】 △ABCの外接円は3点A，B，Cを通る円に一致する．その方程 式をx2+y2+lx+my+n=0とおく．
Aを通ることから 32+12+l·3+m·1+n=0 Bを通ることから 42+(−4)2+l·4+m·(−4)+n=0 Cを通ることから (−1)2+(−5)2+l·(−1)+m·(−5)+n=0
である．これらを整頓して，連立方程式を得る． ◀⃝1 −⃝，2 ⃝2 −⃝3 か ら 得 ら れ た 2式を連立して(l,m)=(−2,4)．
⃝から1 n=−8
3l+ m+n=−10 · · · ·⃝1 4l−4m+n=−32 · · · ·⃝2
−l−5m+n=−26 · · · ·⃝3
これを解いて(l, m, n)=(−2, 4,−8)．よって，△ABCの外接円の方程式は x2+y2−2x+4y−8=0
⇔ (x−1)2+(y+2)2=13 ◀中心と半径を求めるため平方完成 型に変形
となり，△ABCの外接円の中心は(1,−2)，半径は √
13である．
【(2)の別解（略解）】 ◀(1)も 同 じ よ う に し て 解 く こ と が できる
外接円の中心をO(x, y)とすると，OA=OB=OCであるので
√
(x−3)2+(y−1)2=
√
(x−4)2+(y+4)2
√
(x−3)2+(y−1)2=
√
(x+1)2+(y+5)2 これを解いて，中心は(x, y)=(1,−2)，
外接円の半径はOA= √
(3−1)2+{1−(−2)}2= √ 13．
C. 円を図形的に考える
円が通る3点が与えられた場合も，図を描けば簡単に分かる場合がある．
【練習50：図形的に考える〜その１〜】
3点A(2, 2)，B(−4, 2)，C(−4, 4)を通る円Kについて考えてみよう．
右に3点を図示すれば，Kの中心RはABの垂直二等分線上にある
x y
O からRの ア 座標は イ ，Kの中心RはBCの垂直二等分線上
にあるからRの ウ 座標は エ と分かる．
よって，Rの座標は オ であり，Kの半径はRA= カ なので，
Kの方程式は キ と求められる．
【解答】 ア:x，イ:−1，ウ:y，エ:3，オ:(−1, 3) カ: √
10，キ:(x+1)2+(y−3)2 =10 ◀Kの 半 径 はRBやRCで 求 め て もよい．
D. 中心や半径の条件が与えられた円の方程式
中心や半径の条件が与えられた場合は，平方完成形(x−a)2+(y−b)2=r2を用いて考えよう．
【例題51】以下の に i. (2, b)，ii. (a, 2)，iii. (a, b)，iv. (a, a) のうち最も適するものを答え，
それぞれの問いに答えなさい．
1. 中 心 が 直 線 x = 2 上 に あ る 円C1 の 中 心 は ア と お く こ と が で き る ．さ ら に ，C1 がA(3, 2)， B(0, 3)を通るとき，円C1の方程式を求めよ．
2. 中 心 が 直 線y = x上 に あ る 円C2 の 中 心 は イ と お く こ と が で き る ．さ ら に ，C2 がP(1, 3)， Q(−2, 1)を通るとき，円C2の方程式を求めよ．
3. y座標が正の側でx軸に接し，円の半径が2であるC3の中心は， ウ とおくことができる．さら に，C3がT(2, 1)を通るとき，円C3の方程式を求めよ．
【解答】
1. C1の中心のx座標は2になるからi.（ア）である．これによって，
求める円の方程式は(x−2)2+(y−b)2=r2とおくことができる．
Aを通ることから (3−2)2+(2−b)2=r2 Bを通ることから (0−2)2+(3−b)2=r2
⇐⇒
{ b2−4b+5=r2 · · · ·⃝1 b2−6b+13=r2 · · · ·⃝2
⃝1 −⃝2 か ら2b−8 = 0な の でb = 4 で あ る ．こ れ を⃝2に 代 入 し て
◀整頓して，連立した
⃝の1 r2に⃝を代入すると考えて2
もよい
r2=5となるので，求める円の方程式は(x−2)2+(y−4)2 =5． 2. C2の中心は，x座標とy座標が等しいから
（イ）
iv.
求める円の方程式は(x−a)2+(y−a)2=r2とおくことができる． ◀中 心 は 直 線y=x上 に あ る の で ， 中心のx座標をaとおくと，y座 標もaになる
Aを通ることから (1−a)2+(3−a)2=r2 Bを通ることから (−2−a)2+(1−a)2=r2
⇐⇒
{ 2a2−8a+10=r2 · · · ·⃝3 2a2+2a+5=r2 · · · ·⃝4
⃝3 −⃝4 から−10a+5=0なのでa= 1
2．これを⃝4に代入してr2= 13 2 となるので，求める円の方程式は
( x− 1
2 )2
+ (
y− 1 2
)2
= 13
2 ．C3の 中心は右欄外のようになり，中心のy座標は2と定まるからii.（ウ），求 ◀ 2
C3
x y
O める円の方程式は(x−a)2+(y−2)2=22とおくことができる．
Tを通ることから (2−a)2+(1−2)2 =22である．
これを整理して解けば，a2−4a+1=0 ⇔ a=2±√
3なので，求め る円の方程式は，
{x−(2± √ 3)}2
+(y−2)2 =4． ◀{x−(2+√3)}2+(y−2)2=4 {x−(2−√
3)}2
+(y−2)2=4
103
【練習52：円の方程式〜その１〜】
(1) 中心が直線y=2上にあり，(3, 5), (2,−2)を通る円の方程式を求めよ．
(2) 中心が直線y=−x上にあり，(4,−1), (−3, 0)を通る円の方程式を求めよ．
(3) (−3, 5)を通り，x座標が負の側でy軸に接する半径が2の円の方程式を求めよ．
【解答】
(1) 求める円の方程式は(x−a)2+(y−2)2=r2とおくことができる．
Aを通ることから (3−a)2+(5−2)2=r2 Bを通ることから (2−a)2+(−2−2)2=r2
⇐⇒
{ a2−6a+18=r2 · · · ·⃝1 a2−4a+20=r2 · · · ·⃝2
⃝1 −⃝2 から−2a−2=0なのでa=−1である．これを⃝2に代入すれ ばr2 =25なので，求める円の方程式は(x+1)2+(y−2)2 =25．
(2) 求める円の方程式は(x−a)2+(y+a)2=r2とおくことができる． ◀中心は直線y=−x上にあるので，
中心のx座標をaとおくと，y座 標は−aになる
Aを通ることから (4−a)2+(−1+a)2=r2 Bを通ることから (−3−a)2+(0+a)2=r2
⇐⇒
{ 2a2−10a+17=r2 · · · ·⃝3 2a2+6a+9=r2 · · · ·⃝4
⃝4 −⃝3 から16a−8=0なのでa= 1
2 これを⃝3に代入すればr2= 25 2 であるので，求める円の方程式は
( x− 1
2 )2
+ (
y+ 1 2
)2
= 25 2 ．
(3) 右 欄 外 の 図 か ら ，中 心 のx座 標 が−2と わ か る の で ，求 め る 方 程 式 を ◀
−2 x y
O
(x+2)2+(y−b)2=22とおくことができる．これが(−3, 5)を通るので (−3+2)2+(5−b)2=22⇔ 1+25−10b+b2=4
⇔ b2−10b+22=0 ∴ r=5±√ 3 なので，求める円の方程式は(x+2)2+{
y−(5± √ 3)}2
=4
【発 展 53：円の方程式〜その２〜】
1 中心が直線y=−2x+1上にあり，(4, 2), (−6,−2)を通る円の方程式を求めよ．
2 中心が直線3x−y−4=0上にあり，x軸，y軸の両方に接する円の方程式を求めよ．
【練習54：円を図形的に考える〜その２〜】
「円C: (x−a)2+(y−3)2=13がA(5,5)を通る」場合について考えてみよう．
A
5
5 A
3
(I)中心は破線上のどこかにある x y
O
⇒
P
5
5 A
3
(II)Ａを通る円はこのどちらか x y
O
⇒
P H
5
5 A
3
(III)三平方の定理を用いて
x y
O
まず，円Cの中心は(a, 3)なので，図(I)の破線上のどこかにCの中心はある．
Aのy座標が5なのでAH= ア であり，Cの半径を考えてAP= イ なので，(III)の直角三角形 APHを考えて，PH= ウ と分かる．
ここから，Cの中心の座標は エ ， オ のいずれかと分かる．
【解答】 ア:2，イ: √
13，ウ: PH= √
AP2−AH2=3，
エ，オ:(2, 3), (8, 3) ◀【確認47】の結果と一致している