この章では，まず，約数・倍数を負の数にも広げて定義しなおし，整数の性質につい て学ぶ．その後，ユークリッドの互除法を学び，それを応用して1次不定方程式の解 法を学ぶ．最後に，n進法という新しい数の表し方を学ぶ．
2.1 約数と倍数
1. 約数と倍数
高校数学では，約数・倍数が負の数であってもよい．
A. （負の数も含めた）約数と倍数
たとえば，15÷5=3，つまり15=5×3から，15は5の倍数，5は15の約数である．
同様に，(−15)÷5=−3，つまり−15=5×(−3)から，−15は5の倍数，5は−15の約数と考えられる．
5の倍数は，· · ·,−20,−15,−10,−5, 0, 5, 10, 15, 20, · · · である．つまり，0や負の整数でもよい．
15の約数は，−15,−5,−3,−1, 1, 3, 5, 15となる．つまり，負の整数でもよい．
割り切れる・倍数・約数 2つの整数a, bがあって，a=bkとなる整数kがあるならば，aはbで割り切れる (devisible)といい，
aはbの倍数 (multiple)，bはaの約数 (devisor)であるという．ただし，0の倍数・約数は考えない．
【例題1】 以下の中から，4の倍数を全て選びなさい．また，36の約数を全て選びなさい．
−3, 8, −13, 18, −23, 28, 0, 1, −1
【解答】 4の倍数は0,±4,±8,· · · なので，8, 28, 0
36÷0はなし，36÷1=36, 36÷(−1)=−36は割り切れていることに注意 して，36の約数は−3, 18, 1,−1．
【練習2：約数と倍数の拡張】
次のうち，正しい文章をすべて選べ．
a. 0は，どんな数の倍数でもある． b. 100以下の10の倍数は10個である．
c. 4の正の約数は3つあり，負の約数も3つある．
【解答】
a. どんな数も0倍して0なので，正しい．
b. 10の倍数は，100, 90, · · · , 10, 0,−10,−20, · · · となって，10個より ◀倍数は負でもよいことに注意．
多く，間違っている．
c. 4の約数は1, 2, 4,−1,−2,−4であり，正と負は3個ずつある． ◀一般に，正の約数と負の約数は必 ず同数ある．
以上より，正しいものはa, c．
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B. 倍数の性質の証明
たとえば「aは7の倍数である」ことは「a=7k（kは整数）」と言い換えられ，証明などに利用できる．
（例）命題「整数a, bが7の倍数ならば，3a+2bも7の倍数である」を示せ．
（解）仮定「整数 a, b が 7 の倍数」より a = 7k, b = 7l とおける（k, l は整数）．すると，
3a+2b=21k+14l=7(3k+2l)．3k+2lは整数より，3a+2bは7の倍数であると示された．
【例題3】 次の に適当な式・言葉を入れて，証明を完成させなさい．
1. 命題「整数a, bが4の倍数ならば5a−2bは4の倍数である」を示せ．
（証明）整数a,bが4の倍数なのでa=4k, b=4lとおける（k,lは ア ）．すると，5a−2b= イ ． ウ は整数なので，5a−2bは4の倍数であると示された．
2. 命題「a+b, a−bが4の倍数ならばa, bは偶数である」を示せ．
（証明）a+b, a−bが4の倍数なのでa+b= エ , a−b= オ とおける（k,lは整数）．連立方 程式
a+b= エ
a−b= オ を解くと，a= カ , b = キ である．ク ，ケ は整数なので，a, bは 偶数であると示された．
【解答】
1. a, bが4の倍数なのでa=4k, b =4lとおける（k, lは
整数（ア））．す ると，5a−2b=20k−8l=
4(5k−2l)（イ）．（ウ）5k−2lは整数なので，
5a−2bは4の倍数であることが示された．
2. a+b, a−bが4の倍数なのでa+b=4k（エ）, a−b=4l（オ）とおける
（k, lは整数）．すると a+b=4k +) a−b=4l
2a =4(k+l)
a+b=4k
−) a−b=4l 2b=4(k−l) なので，a=
2(k+l)（カ）, b=
2(k−l)（キ）である．（ク）k+l，k−（ケ）l は整数なので，a, bは偶数であると示された．
【練習4：倍数であることの証明】
(1) a, bが5の倍数ならば，4a+2bは10の倍数であることを示せ．
(2) a, bが3の倍数ならば，a2−3bが9の倍数であることを示せ．
【解答】
(1) a=5k, b=5lとおく（k, lは整数）と，4a+2b=20k+10l=10(2k+l) である．2k+lは整数なので，4a+2bは10の倍数であると示された．
(2) a=3k, b=3lとおく（k, lは整数）と，a2−3b=9k2−9l=9(k2−l) である．k2−lは整数なので，a2−3bは9の倍数であると示された．
2. いくつかの倍数の判定法
A. 2の倍数，5の倍数
2の倍数，5の倍数は，一の位から判定できる．
12 e 4
下１桁の4は２の倍数
←２の倍数→
2399 e 0
下１桁の0は２の倍数
2399 e 0
下１桁の0は５の倍数
←５の倍数→
− 8302 e 5
下１桁の5は５の倍数
たとえば，一の位が2の倍数である124，−648，23990, は2の倍数であり，一の位が5の倍数である485，23990，
−83025は5の倍数である．
B. 4の倍数，8の倍数，25の倍数
4の倍数，25の倍数は，下2桁から判定できる．
1 ee 24
下２桁の24は４の倍数
←４の倍数→
239 ee 00
下２桁の00は４の倍数
239 ee 00
下２桁の00は２５の倍数
←２５の倍数→
− 830 ee 25
下２桁の25は２５の倍数
567 eee 008
下３桁の008は８の倍数
←８の倍数→
− 456 eee 784
下３桁の784は８の倍数
たとえば，下2桁が4の倍数である124,−648 23900は4の倍数であり，下2桁が25の倍数で ある475, 23900,−83025は25の倍数である．
また，8の倍数は下3桁から判定できる*1．た とえば，567008,−456784は8の倍数である．
【例題5】 2の倍数，4の倍数，8の倍数，5の倍数，25の倍数をそれぞれ選び，全て答えなさい．
a) 5784 b) 8975 c) −134654 d) −4500 e) 35468004 f) 1234567890
【解答】 下1桁が2の倍数である，a), c), d), e), f)が2の倍数，
下1桁が5の倍数である，b), d), f)が5の倍数．
下2桁を4で割ると，a) 84÷4=21で割り切れる，b)は余る，c) 54÷4 は余る，d)，e)は割り切れる，f) 90÷4は余る．4の倍数はa), d), e)．
下2桁を25で割ると，a)は余る，b) 75÷25=3，c)は余る，d) 0÷25=0， e)は余る，f) 90÷25は余る．25の倍数はb), d)．
下3桁を8で割ると，a) 784÷8=98で割り切れる，b)，c)は余る，d) ◀実際には，4の倍数であるa)，d)，
e)の中から探せばよい．
500÷8は余る，e)，f)も余る．8の倍数はa)．
2の倍数，5の倍数，4の倍数，25の倍数，8の倍数の判定法
• 整数nについて「nが2の倍数」⇐⇒「nの一の位が2の倍数（0, 2, 4, 6, 8）」
• 整数nについて「nが5の倍数」⇐⇒「nの一の位が5の倍数（0, 5）」
• 整数nについて「nが4の倍数」 ⇐⇒「nの下2桁が4の倍数（00, 04, 08, 12, · · ·, 96）」
• 整数nについて「nが25の倍数」⇐⇒「nの下2桁が25の倍数（00, 25, 50, 75）」
• 整数nについて「nが8の倍数」 ⇐⇒「nの下3桁が8の倍数（000, 008, 016, · · ·, 992）」
C. 3の倍数，9の倍数
3の倍数や9の倍数は，すべての位の数字を足して判定できる．
*123=8であるため．同様に，53=125の倍数は下3桁だけ調べればよく，24=16の倍数は下4桁だけ調べればよい．
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たとえば，3+4+6+5 =18は3でも9でも割り切れるの
3465, eeee − 3465 eeee
3+4+6+5=18は３の倍数＆９の倍数
←３の倍数＆９の倍数
1245, eeee − 1245 eeee
1+2+4+5=12は３の倍数（９で割れない）
←３の倍数
8744, eeee − 8744 eeee
8+7+4+4=22は３でも９でも割れない
で，−3465, 3465は3の倍数でも9の倍数でもある．
たとえば，1+2+4+5=12は3の倍数であるが9の倍数で ないので，−1245, 1245は3の倍数であるが9の倍数でない．
たとえば，8+7+4+4=22は3の倍数でも9の倍数でもな いので，−8744, 8744は3の倍数でも9の倍数でもない．
【例題6】 123456，−111111111は3の倍数か，9の倍数か．
【解答】 1+2+3+4+5+6=21は3の倍数だが9の倍数でない，つま り123456は3の倍数だが9の倍数でない．
−111111111は各位の和が9になり，3の倍数でも9の倍数でもある．
3の倍数・9の倍数の判定法
• 整数nについて「nが3の倍数」⇐⇒「nのすべての位の和が3の倍数」
• 整数nについて「nが9の倍数」⇐⇒「nのすべての位の和が9の倍数」
【練習7：倍数の判定法のまとめ】
次の条件を満たすよう，□に当てはまる数をすべて答えよ．
(1) 987□が2の倍数 (2) 987□が5の倍数 (3) 987□が4の倍数
(4) 123□5が9の倍数 (5) 11□11が3の倍数 (6) 25□2が9の倍数
【解答】
(1) □=0, 2, 4, 6, 8． (2) □=0, 5． (3) 下2桁7□が4の倍数ならよいので，□=2, 6．
(4) 1+2+3+□+5=11+□ が9の倍数となるのは，□=7． (5) 1+1+□+1+1=4+□ が3の倍数となるのは，□=2, 5, 8． (6) 2+5+□+2=9+□ が9の倍数となるのは，□=0, 9．
D. 倍数の判定法の証明〜その１〜
2の倍数に，2の倍数を足しても引いても，やはり2の倍数である．
これは，2以外の倍数でも成り立つ．この事実を用いて，倍数の判定法を証明しよう．
（問）2の倍数の判定法，5の倍数の判定法を示せ．
（証明）整数nの一の位がaならばn=10A+a(· · · ⃝)1 と表せる（Aは整数）． 10Aは2の倍数なので，⃝1よりaが2の倍数ならばnは2の倍数，
10Aは5の倍数なので，⃝1よりaが5の倍数ならばnは5の倍数である．
逆に*2，⃝1からa=n−10A(· · · ⃝2)である．
10Aは2の倍数なので，⃝2よりnが2の倍数ならばaは2の倍数，
10Aは5の倍数なので，⃝2よりnが5の倍数ならばaは5の倍数である．
*2 この行以降は，「また，⃝から1 a=n−10Aなので，逆も同様にして正しい」でもよい．
【練習8：倍数の判定法の証明〜その１〜】
(1) 整数nの下2桁がaならば，整数Aを用いn=100A+aと表せる．これを用いて，4の倍数，25 の倍数の判定法を証明しなさい．
(2) 8の倍数の判定法を証明しなさい．
【解答】
(1) n=100A+a( · · · ⃝1)（Aは整数）について
100Aは4の倍数なので，⃝1よりaが4の倍数ならばnは4の倍数，
100Aは25の倍数なので，⃝1よりaが25の倍数ならばnは25の倍数．
また，a=n−100Aについて， ◀この行以降は「また，⃝から1 a=
n−100Aなので，逆も同様にして 正しい．」でもよい．
100Aは4の倍数なので，nが4の倍数ならばaは4の倍数，
100Aは25の倍数なので，nが25の倍数ならばaは25の倍数である．
(2) 整数nの下3桁がaならばn=1000A+a(· · · ⃝2)と表せる（Aは 整数）．1000Aは8の倍数なので，⃝2 よりaが8の倍数ならばnは8 の倍数である．
逆に，a=n−1000Aについて，1000Aは8の倍数なので，nが8の倍 数ならばaは8の倍数である．
E. 倍数の判定法の証明〜その２〜
（問）3桁の整数について，3の倍数の判定法を示せ．
（証明）3桁の整数nは，0から9の整数a, b, cを用いてn=100a+10b+cと表せる．すると n=(99a+a)+(9b+b)+c=99a+9b+a+b+c=3(33a+3b)+(a+b+c) · · · ·⃝3 3(33a+3b)は3の倍数なので，⃝3より各位の和a+b+cが3の倍数ならばnも3の倍数である．
逆に*3，⃝3からa+b+c=n−9(11a+b) ( · · · ⃝4)である．
9(11a+b)は3の倍数なので，⃝4よりnが3の倍数ならば各位の和a+b+cも3の倍数であり，
以上から，nが3の倍数であることと，各位の和a+b+cが3の倍数であることは同値である．
【発 展 9：倍数の判定法の証明〜その２〜】
4桁の整数について，9の倍数の判定法を証明しなさい．
【解答】 4 桁の整数 n は，0 から9 の整数 a, b, c, d を用いて n = 1000a+100b+10c+dと表せる．すると
n =(999a+a)+(99b+b)+(9c+c)+d
=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d) · · · ·⃝1 9(111a+11b+c)は9の倍数なので，⃝1より各位の和a+b+c+dが9の 倍数ならばnも9の倍数である．
逆に，⃝1からa+b+c+d=n−9(111a+11b+c)なので，nが9の倍数 ならばa+b+c+dは9の倍数である．
*3 「また，⃝から3 a+b+c=n−9(11a+b)なので，逆も同様にして正しい」でもよい．
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3. 約数の性質〜素因数分解・約数の個数
「504の約数の個数」は，時間さえかければ小学生でも求められる．しかし，ここで 学ぶ方法を使うと，ずっと速く求められ，整数の性質の理解も深まる．
A. 素数
2以上の自然数pの正の約数が1, pだけの時，pを素数 (prime number)という．1は素数ではない*4． B. 素因数分解
2以上の自然数を，素数だけの積で表すことを素因数分解 (prime fac- 2) 24 2)
12 2)
6 3 24=23×3
5) 75 5)
15 3 75=52×3 torization)と言い，nの素因数分解に含まれる素数をnの素因数 (prime
factor)と言う．たとえば，24=23·3と素因数分解でき，24の素因数は 2, 3である．どんな数の素因数分解も，必ず1通りに定まる．
素因数分解をするには，右のように割り算をしていくとよい．
【例題10】 42, 60, 72を素因数分解しなさい．
【解答】 42=2×3×7, 60=22×3×5, 72=23×32
C. 素因数分解と倍数
素因数の指数から，倍数かどうかを考えよう． 24=23 ·3
72=23 ·3 ·3 ←２４の倍数 672=23 ·3 ·22·7 ←２４の倍数
36=22·3 ·3 ←２が足りない 320=23 ·23·5 ←３が足りない
---
---たとえば，24=23·3と素因数分解できる．
72=23·32や672=25·3·7のように，2の指数が3以上で3 の指数が1以上の数は，24の倍数である．
一方，36=22·32，320=26·5などの数は，24の倍数でない．
【例題11】 5つの数25·32, 23·3·5, 22·32·7, 24·3·7, 25の中から，24の倍数，21の倍数を すべて選びなさい．
【解答】 24=23·3なので，24の倍数は，2の指数が3以上，3の指数が 1以上ならよい．つまり，24の倍数は25·32, 23·3·5, 24·3·7． 21=3·7なので，21の倍数は，3の指数と7の指数が1以上ならよい．つ まり，21の倍数は22·32·7, 24·3·7．
*41を素数にしてしまうと，素因数分解が無限通りにできてしまう．「素数とは，正の約数が2個の数」と覚えてもよい．