f: R→C は周期 2π の周期関数で、ある程度の滑らかさを持つとすると、Fourier級数展開が出 来る。
(1.21) f(x) = a0 2 +
∑∞ n=1
(ancosnx+bnsinnx) =
∑∞ n=−∞
cneinx (x∈R).
ここで an, bn は f の Fourier 係数, cn は f の複素 Fourier係数である。いずれも f に依存するの で、それぞれan(f), bn(f), cn(f) とも書くことにする。
an=an(f) := 1 π
∫ π
−π
f(x) cosnx dx (n ∈N0), bn =bn(f) := 1 π
∫ π
−π
f(x) sinnx dx (n ∈N), cn =cn(f) := 1
2π
∫ π
−π
f(x)e−inx dx (n∈Z).
このとき、(1.21)の級数の各項を微分して出来る級数 (項別微分した級数とよぶ) と、f′(x)は等 しいだろうか？
(1.22) f′(x)=??
∑∞ n=1
(−nansinnx+nbncosnx) =
∑∞ n=−∞
incneinx (x∈R).
級数 (1.21) は収束しても、(1.22)は収束するとは限らないが、次のように、少し弱い意味では正
しい。
微分可能な f の Fourier 級数を項別微分した級数は、f′ の Fourier 級数である 実際、次の定理が成り立つ。
命題 1.4.1 (導関数のFourier係数) f: R→Cは周期2π の周期関数で、連続かつ区分的にC1 級とするとき、
an(f′) = {
nbn(f) (n∈N)
0 (n= 0) , bn(f′) = −nan(f) (n∈N), cn(f′) =incn(f) (n ∈Z).
すなわち、f′ の Fourier 級数は (収束するとは限らないが)
∑∞ n=1
(−nansinnx+nbncosnx) =
∑∞ n=−∞
incneinx (x∈R).
証明 まずf が C1 級の場合の証明を書く。
an(f′) = 1 π
∫ π
−π
f′(x) cosnx dx= 1 π
(
[f(x) cosnx]π−π−
∫ π
−π
f(x)(−nsinnx)dx )
=n1 π
∫ π
−π
f(x) sinnx dx= {
nbn(f) (n ∈N)
0 (n = 0) ,
bn(f′) = 1 π
∫ π
−π
f′(x) sinnx dx= 1 π
(
[f(x) sinnx]π−π−
∫ π
−π
f(x)(ncosnx)dx )
=−n1 π
∫ π
−π
f(x) cosnx dx=−nan(f), cn(f′) = 1
2π
∫ π
−π
f′(x)e−inx dx= 1 2π
([f(x)e−inx]π
−π−
∫ π
−π
f(x)(
−ine−inx) dx
)
=in· 1 2π
∫ π
−π
f(x)e−inx dx=incn(f) (n∈Z).
f が連続でかつ区分的に C1 級のときは、ある{xk}Nk=0 が存在して、
−π=x0 < x1 <· · ·< xN =π, f[x
k−1,xk] は C1 級である。このとき、
cn(f′) = 1 2π
∫ π
−π
f′(x)e−inx dx=
∑N k=1
1 2π
∫ xk
xk−1
f′(x)e−inx dx
= 1 2π
∑N k=1
([
f(x)e−inx]xk
xk−1 −
∫ xk
xk−1
f(x)(
−ine−inx) dx
)
= 1 2π
([f(x)e−inx]π
−π +in
∫ π
−π
f(x)e−inxdx )
=in 1 2π
∫ π
−π
f(x)e−inxdx=incn(f).
余談 1.4.1 実は、f が超関数の場合も上の公式は成立する (もちろん証明は変わる)。上の公式は、
実際上つねに成り立つと考えてよい。
cn(f)を後に出て来る Fourier 変換の記号の真似をしてF[f](n) と表すことにすると、
(1.23) F[f′](n) = inF[f](n).
後で出て来るFourier変換の場合の公式 F[f′] (ξ) =iξF[f](ξ) と同じ、と考えられる。
f が k 回微分できる場合は
(1.24) F[f(k)](n) = (in)kF[f](n).
つまり、“1回微分すること”= “in を1回かけること”、である。この「Fourier 係数と微分との関 係」により、微分方程式への応用がもたらされる(簡単な場合は、微分方程式が代数方程式に変換さ れる)。それについては、後述する予定である (時間に余裕があれば…)。
以下、この節では、f が微分できると、n → ∞ のとき、Fourier 係数は速く減衰し、その結果、
Fourier 級数が良い収束をすることが導けることを説明する。
Fourier 係数は、番号 n が大きくなると小さくなる (収束するためには必要でもある)。次の定理
は基本的である (前節の内積空間での結果を、普通の Fourier 級数に適用したもの)。
命題 1.4.2 (Fourier係数の有界性、減衰性、Parsevalの等式) f: R→C が周期 2π とする。
(1) f が積分可能ならば (a) |an|,|bn| ≤ 1
π
∫ π
−π
|f(x)|dx, |cn| ≤ 1 2π
∫ π
−π
|f(x)|dx. 特に |f(x)| ≤M であれば、
|an|,|bn| ≤2M, |cn| ≤M (n∈Z).
(b) lim
n→∞an= lim
n→∞bn= 0, lim
n→±∞cn= 0 (Riemann-Lebesgue の定理).
(2) |f|2 が積分可能ならば π
(|a0|2 2 +
∑∞ n=1
(|an|2+|bn|2))
=
∫ π
−π
|f(x)|2 dx,
2π
∑∞ n=−∞
|cn|2 =
∫ π
−π
|f(x)|2 dx.
証明 (1) (a)
|an|= 1
π
∫ π
−π
f(x) cosnx dx ≤ 1
π
∫ π
−π
|f(x) cosnx|dx ≤ 1 π
∫ π
−π
|f(x)|dx.
|bn| の評価も同様である。
|cn|= 1
2π
∫ π
−π
f(x)e−inx dx ≤ 1
2π
∫ π
−π
f(x)e−inxdx≤ 1 2π
∫ π
−π
|f(x)|dx.
また |f(x)| ≤M ならば ∫ π
−π
|f(x)|dx≤
∫ π
−π
M dx= 2πM.
(b)「数学とメディア」でやった (らしい)。|f|2 が積分可能な場合は、(2) から、一般項 →0が 導ける。
(2) 命題 1.3.2と
∫ π
−π
|cosnx|2dx= {
π (n ∈N) 2π (n = 0) ,
∫ π
−π
|sinnx|2dx=π から導ける。
f が微分可能なとき、導関数 f′ について命題1.3.2を使うと、f についての良い評価が得られる。
1つ例を示す。
定理 1.4.3 (連続かつ区分的にC1級の関数のFourier級数) f: R → C が周期2π の周期関数 で、連続かつ区分的に C1 級ならば、f の Fourier 級数は一様収束して、和は f に等しい。
証明 前半の、一様収束する、というところだけ証明する。和がf に等しいことは付録に回す(定 理 C.1.1, p. 123)。
複素Fourier級数の場合に証明する。incn は f′ の Fourier 係数で、それについて、命題1.3.2 を 用いると、
2π
∑∞ n=−∞
|incn|2 =
∫ π
−π
|f′(x)|2dx.
ゆえに ∑∞
n=−∞
n2|cn|2 = 1 2π
∫ π
−π
|f′(x)|2dx.
|cneinx|=|cn|であり、
∑∞
n∈Z n̸=0
|cn|=∑
n̸=0
(
n|cn| · 1 n
)
≤√∑
n̸=0
n2|cn|2√∑
n̸=0
1 n2 =
√ 1 2π
∫ π
−π
|f′(x)|2dx·
√π2 3
=
√ π 6
∫ π
−π
|f′(x)|2dx <∞.
Weierstrass の M test により、
∑∞ n=−∞
cneinx は一様収束する。
この議論を理解すると、より一般に、f が Ck 級であれば (1.25)
∑∞ n=−∞
n2k|cn|2 = 1 2π
∫ π
−π
f(k)(x)2dx
が導かれることが分かる。n→ ±∞ のとき急速に増大する n2k をかけても収束するということは、
cn が速く減衰することを意味している。