1.3 崇城大学
1.3.7 後期日程
1
次の各問に答えよ。(1) 4ABCにおいて，AB = 2，AC = 2√
3，∠ACB = 30◦ のとき，この三角 形の面積を求めよ。
(2) 連立不等式 x2−6x+ 5>0，x2+ (3−a)x−3a50 を満たす整数xが7 つあるように，定数aの値の範囲を定めよ。
(3) 点Aの座標を(7,−3)とする。点Pが円 x2 +y2+ 2x−6y−10 = 0上を 動くとき，線分APの最大値と最小値を求めよ。
2
2次関数f(x)が条件3f(x)−xf0(x) =x2−4x+ 9 を満たしている。次の各問 に答えよ。(1) f(x)を求めよ。
(2) f(x)のグラフと点(2, f(2))における接線およびy軸で囲まれた図形の面 積を求めよ。
3
座標空間において，4ABCの3つの辺BC，CA，ABの中点をそれぞれP(0, 4, 1)，Q(1, 4, 0)，R(1, 2,−1)とするとき，次の各問に答えよ．
(1) 頂点Aの座標を求めよ。
(2) ∠BACの大きさを求めよ。
4
数列{an}が a1 = 1，an+1 =an+n−10 (n = 1,2,3,· · ·)で定義されている。次の各問に答えよ。
(1) anをnで表せ。
(2) anの値が最小となるときのnの値を求めよ。
5
連立不等式 y+√3x−2√
350，x2+y2 54の表す領域をDとする。次の各 問に答えよ。
(1) Dを図示せよ。
(2) Dの面積を求めよ。
解答例
1
(1) BC =xとおく．余弦定理AB2 = BC2+ CA2−2BC·CA cosC により 22 =x2+ (2√3)2−2x·2√
3 cos 30◦ 4 =x2+ 12−4√
3x×
√3 2
整理して x2−6x+ 8 = 0
(x−2)(x−4) = 0
x >0より x= 2, 4 · · ·°1
したがって 4ABC =1
2BC·CA sinC
=1 2x·2√
3 sin 30◦
=√
3x× 1 2 =
√3
2 x · · ·°2 よって，4ABCの面積は，°，1 °2 より √
3, 2√ 3
【補足】x= 2およびx= 4の4ABCは，次のとおりである．
A
B
C
A
B 30◦ C
30◦
2 2 2√
3
2√
3 x= 4
x= 2
(2) x2−6x+ 5>0 (x−1)(x−5)>0
これを解いて x <1, 5< x · · ·°1 x2+ (3−a)x−3a50
(x+ 3)(x−a)50
a5−3 のとき a5x5−3 · · ·°2
−3< aのとき −35x5a · · ·°3 i) a5−3のとき
1
°，°2 の満たす整数xが7個であるとき，その整数は
−9，−8，−7，−6，−5，−4，−3
である．このときaの値の範囲は −10< a5−9
5 x
−3 1 a
1
° 1
°
2
°
−9 ii) −3< a のとき
1
°，°3 の満たす整数xが7個であるとき，その整数は
−3，−2，−1，0，6，7，8
である．このときaの値の範囲は 85a <9
5 x
−3 1 a
1
° 1
°
3
°
したがって，定数aの値の範囲は −10< a 5 −9, 8 5 a <8 9 (3) 方程式を変形すると
(x2+ 2x+ 1) + (y2−6y+ 9) = 10 + 1 + 9 すなわち (x+ 1)2+ (y−3)2= 20
これは，中心が点(−1, 3)，半径が2√
5の円である．
円の中心をCとすると AC =p
(−1−7)2+{3−(−3)}2
= 10 AC > 2√
5 よりAは円の外部にある からAPの
最大値10 + 2√
5，最小値10−2√ 5
C(−1,3)
A(7,−3) 10
2√ 5
2
(1) f(x) = ax2+bx+cとおくと，f0(x) = 2ax+b 3f(x)−xf0(x) = 3(ax2+bx+c)−x(2ax+b)=ax2+ 2bx+ 3c 条件より ax2+ 2bx+ 3c=x2−4x+ 9 両辺の同じ次数の項の係数が等しいから
a = 1，2b=−4，3c= 9 すなわち a = 1，b =−2，c= 3 したがって f(x) = x2 −2x+ 3 (2) f(x) = x2−2x+ 3 より f0(x) = 2x−2
f(2) = 22−2·2 + 3 = 3 f0(2) = 2·2−2 = 2
ゆえに，点(2, f(2))における接線の方程式は y−3 = 2(x−2)
y= 2x−1
よって，求める図形の面積Sは，右の図の斜線 部分であるから
O y
2 x 3
−1
S = Z 2
0
{(x2−2x+ 3)−(2x−1)}dx
= Z 2
0
(x−2)2dx
=
· 1
3(x−2)3
¸2
0
= 1
3(2−2)3− 1
3(0−2)3 = 8 3 重要な積分法
¶ ³
nが自然数のとき Z
(x−α)ndx= 1
n+ 1(x−α)n+1+C
µ ´
3
(1) 中点連結定理により −→PQ = 1 2
−→BA RはABの中点であるから 1
2
−→BA = −→
RA したがって −→
RA =−→
PQ · · ·°1 原点をOとすると
A
B C
R Q
−→ P OA =−→
OR +−→
RA 1
° から =−→
OR +−→
PQ
= (1, 2,−1) + (1−0 ,4−4, 0−1)
= (2, 2,−2) よって A(2, 2,−2)
(2) ∠RAQの大きさを求めればよい．
−→AR = (1−2, 2−2,−1−(−2))
= (−1, 0, 1)
−→AQ = (1−2, 4−2, 0−(−2))
= (−1, 2, 2) よって −→
AR·−→
AQ =−1×(−1) + 0×2 + 1×2 = 3 また |−→
AR|=p
(−1)2+ 02+ 12 =√ 2
|−→
AQ|=p
(−1)2+ 22+ 22 = 3
−→AR，−→
AQのなす角をθとする．
したがって cosθ=
−→AR·−→
AQ
|−→
AR||−→
AQ| = 3
√2×3 = 1
√2 0◦ 5θ5180◦ であるから θ = 45◦
ゆえに ∠BAC = 45‹ 中点連結定理
¶ ³
4ABCにおいて，辺ABの中点をM，辺AC の中点をNとするとき，次のことが成り立つ．
MN//BC, MN = 1 2BC
A
B C
M N
µ ´
4
(1) 条件より an+1−an =n−10数列{an}の階差数列の第n項がn−10であるから n=2 のとき an=a1+
Xn−1
k=1
(k−10)
= 1 + 1
2(n−1){(n−1) + 1} −10(n−1)
=1
2(n2−21n+ 22)
初項は a1 = 1 なので，上のanは n= 1 のときも成り立つ．
したがって，一般項は an = 1
2(n2 −21n+ 22) (2) (1)の結果から
an= 1
2(n2−21n) + 11
= 1 2
(µ
n−21 2
¶2
− µ21
2
¶2) + 11
= 1 2
µ
n− 21 2
¶2
− 397 4
nは整数なので，anはn= 10, 11のとき最小となる．
5
(1) Dの表す領域は 直線 y+√3x−2√
3 = 0 の下側，
円 x2+y2 = 4の内部 に共通する部分である．
すなわち右の斜線部分である．
ただし，境界線を含む．
O y
x 2√
3
2 2
−2
−2 (2) 直線y+√
3x−2√
3 = 0と円x2+y2 = 4 の共有点を，図のようにA，Bとする．
この直線の傾きは−√
3であるから
∠BAO = 60◦ OA = OB であるから
∠BAO =∠ABO
したがって，4OABは1辺が2の正三 角形である．
Dの面積Sは，1辺が2の正三角形と半 径2，中心角300◦の扇形の面積の和で あるから
O y
x 2√
3
2 2
−2
−2
A B
S = 1
2·2·2 sin 60◦+π·22×300 360
=√
3 + 10 3 π