2次元平面上で同位相の2つの波源S1とS2から球面波の連続波を発生させた場合を考え ましょう．S1とS2が山の瞬間，重ね合わせの原理に従い，どのような様子になるかを描 いたのが図“干渉”です．（波動の減衰は無視しています．）例えば，図の点Pの場合，S1か
m=0 m=1 m=-1
m=2 m=-2
mʼ =-2
mʼ =-1 mʼ =0
mʼ =1 S₁ S₂
Q P
山の線谷の線 強め合う点 弱め合う点 強め合う線 弱め合う線
Figure 6.3:干渉
らの波動は山，S2からの波動も山であり，重ね合わせの原理より，大きな山ができて強め あいます．このとき，波源からの距離の差の絶対値（経路差）を計算すると次のようにな ります．
|S1P−S2P|=|2λ−λ|=λ
一般に，経路差が波長の整数倍のとき強め合います．すなわち，強め合う点Pが満たす条 件は，
|S1P−S2P|=mλ(m=0,1,2,· · ·) すなわち，
r1−r2=mλ(m=0,±1,±2,· · ·) (6.2) です．ただし，S1P≡r1,S2P≡r2とおきました．一方，図の点Qの場合，S1からの波動 は山，S2からの波動は谷であり，重ね合わせの原理より弱め合い，ほとんど振動しません．
このとき，波源からの距離の差の絶対値（経路差）を計算すると次のようになります．
|S1Q−S2Q|=|λ−3 2λ|= 1
2λ
一般に，経路差が波長の整数倍から半波長ずれたとき弱め合います．すなわち，弱め合う 点Qが満たす条件は，
|S1Q−S2Q|=m′λ+λ
2(m′=0,1,2,· · ·) すなわち，
r1−r2=m′λ+λ
2(m′=0,±1,±2,· · ·) (6.3) です．ただし，S1Q≡r1,S2Q≡r2とおきました．このように，2つの波動が強め合ったり，
弱め合ったりする現象を干渉といいます．なお，線分S1S2上は，振幅・波長・周期の等し い2つの正弦波が衝突するので，定常波ができています．図の青い実線は強め合う線です が，この線上には外向きの進行波ができていて，元の球面波よりも速く進むことが図より 理解されます．
図ではS1とS2が山の瞬間の場合を描きましたが，半周期後はS1,S2ともに谷になっ ていて，(6.2)式と(6.3)式の条件式はそのまま成立しています．一般に，S1とS2が同位相 の場合，その位相をθ(t)[rad]とおき，(6.2)式と(6.3)式の条件式が確かに成立することを 確認しましょう．点RにおけるS1からの波動の位相をθR1(t)[rad]，点RにおけるS2から の波動の位相をθR2(t)[rad]とします．距離1波長につき，位相は2π[rad]遅れるので，次 式が成立します．
θR1=θ(t)−2πS1R λ θR2=θ(t)−2πS2R
λ
Rが強め合う点 Pの場合，θP1(t)[rad]とθP2(t)[rad]の位相が揃っているので，位相差は
2π[rad]の整数倍です．故に，
|θP1(t)−θP2(t)|=2πm (m=0,1,2,· · ·)
∴|{θ(t)−2πS1P
λ } − {θ(t)−2πS2P
λ }|=2πm
∴2π
λ | −S1P+S2P|=2πm
∴|S1P−S2P|=mλ(m=0,1,2,· · ·)
∴r1−r2=mλ(m=0,±1,±2,· · ·)
となり，前述した条件式(6.2)式が導出されました．一方，R が弱め合う点 Q の場合，
θQ1(t)[rad]と θQ2(t)[rad]の位相が反対なので，位相差は2π[rad]の整数倍からπ[rad]ず
れています．故に，
|θQ1(t)−θQ2(t)|=2πm′+π(m′=0,1,2,· · ·)
∴|{θ(t)−2πS1Q
λ } − {θ(t)−2πS2Q
λ }|=2πm′+π
∴2π
λ | −S1Q+S2Q|=2πm′+π
∴|S1Q−S2Q|=m′λ+λ
2(m=0,1,2,· · ·)
∴r1−r2=m′λ+λ
2(m′=0,±1,±2,· · ·) となります．やはり，前述と同じ条件式(6.3)式が導かれました．
それでは，同位相の2つの波源からの振幅・波長・周期の等しい3次元球面波の干渉 を，正弦波の波動一般量ψ(t,r)の表式を使って扱ってみましょう．3次元球面波の波動方 程式の解は，“波動方程式”のChapterの最後の議論により，
ψ(t,r)= 1 rf1(t−r
v)+1 rf2(t+r
v)
です．r[m]は波源からの距離です．ここでは，外向きの減衰する正弦波を考えて，右辺第 1項の解のみを取り上げることにします．平面上のある点Rに対して，S1からの波動の一 般量ψ1(t,r1)と，S2からの波動の一般量ψ2(t,r2)は次のように表されます．
ψ1(t,r1)= A r1
sin (ωt−kr1) ψ2(t,r2)= A
r2
sin (ωt−kr2)
ただし，Aは定数です．点Rにおける2つの球面波が重ね合わされた波動一般量ψ(t,r1,r2) は，重ね合わせの原理より次のように計算されます．
ψ(t,r1,r2)=ψ(t,r1)+ψ(t,r2)
= A r1
sin (ωt−kr1)+ A r2
sin (ωt−kr2)
= A r1
(sinωt cos kr1−cosωt sin kr1)+ A r2
(sinωt cos kr2−cosωt sin kr2)
=(A
r1cos kr1+ A
r2cos kr2) sinωt−(A
r1sin kr1+ A
r2 sin kr2) cosωt ここで，次のようにおきます．
A r1
cos kr1+ A r2
cos kr2=A′(r1,r2) sinδ A
r1 sin kr1+ A
r2sin kr2=A′(r1,r2) cosδ
このとき，
ψ(t,r1,r2)=A′(r1,r2)(sinδsinωt−cosδcosωt)
=−A′(r1,r2) cos(ωt+δ) であり，A′(r1,r2)[m]は次のように計算されます．
A′2(r1,r2) sin2δ+A′2(r1,r2) cos2δ=(A r1
cos kr1+ A r2
cos kr2)2+(A r1
sin kr1+ A r2
sin kr2)2
∴A′2(r1,r2)=(A r1
)2(sin2kr1+cos2kr1)+(A r2
)2(sin2kr2+cos2kr2)+2 A2 r1r2
(cos kr1cos kr2+sin kr1sin kr2)
∴A′2(r1,r2)=(A r1
)2+(A r2
)2+2 A2 r1r2
cos k(r1−r2) 故に，
A′(r1,r2)={(A r1
)2+(A r2
)2+2 A2 r1r2
cos k(r1−r2)}12 (6.4) となります．また，δ[rad]は次のように表されます．
A′(r1,r2) sinδ A′(r1,r2) cosδ =
A
r1cos kr1+ A r2cos kr2
A r1
sin kr1+ A r2
sin kr2
∴tanδ= A r1
cos kr1+ A r2
cos kr2
A
r1sin kr1+ A r2sin kr2
(6.4)式からわかるように，強め合う条件式(6.2)式は次のように導出されます．
cos k(r1−r2)=1
∴2π
λ (r1−r2)=2πm (m=0,±1,±2,· · ·)
∴r1−r2=mλ(m=0,±1,±2,· · ·) 一方，弱め合う条件式(6.3)式は，次のように導出されます．
cos k(r1−r2)=−1
∴2π
λ(r1−r2)=2πm′+π(m′=0,±1,±2,· · ·)
∴r1−r2=m′λ+λ
2(m′=0,±1,±2,· · ·) 以上の条件は，前述したものと一致することが確認されます．