川﹂寸

J i t

図

4 .1 1  

振動波形 (y⁼ 0.2， P = 0.2) 

‑59 ‑

図

4 .1 2  

振動波形 (y= 0.2， P = 0.3) 

‑60‑

図

4 . 1 2

振動波形 (y= 0.2， P = 0.3) 

(e)カオスの危機直後の非周期振動

(f)発散直前の非周期振動

( 3 )

図

4 . 1 1  

‑61 ‑

図4.8(a) y = 0.2， P = 0.2，ω= O. 938 _~ 0.95の場合の分岐過程における波 形の変化

(a) 1/4次分数調波振動 (b) 1/8次分数調波振動 (c) 1116次分数調波振動

(d)周期倍分岐集積直後の非周期振動 (e)ウインドウ内の 1/12次分数調波振動 (f)カオスの危機直前の非周期振動 (g)カオスの危機直後の非周期振動 (h)発散直前の非周期振動

( 3 )

図

4 . 1 2  

図4.8(b) y = 0.2， P = 0.3，ω= 0.50 ~ 0.51の場合の分岐過程における波形 の変化

(a) 1/4次分数調波振動 (b) 1/8次分数調波振動 (c) 1/16次分数調波振動

(d)周期倍分岐集積直後の非周期振動 (e)ウインドウ内の 1/6次分数調波振動 (f)発散直前の非周期振動

位相平面上の軌道からわかるように，周期倍分岐の過程では振動波形は一つの 軌道が二つに分離するように変化する. しかし，その変化は小さく軌道が太く なっているように見える.また，カオスの危機前後での波形の変化は比較的大 きいことがわかる.

ーーー‑‑‑

骨 62‑

4 .   5 

ポアンカレ写像

図

4 . 1 3

から図

4 .1 6

は分岐過程におけるポアンカレ写像の変化を描いたもので ある.パラメータは振動波形のそれと全く同じであり，表している状態も等し い.なお，過渡振動を収束させるための計算区間は256周期，データの点数は 10，000点とした.

図

4 .1 3

より y= 0.1， P = 0.2，ω =  0.4376 ‑‑0.44の場合の分岐過程において，集 積直後の非周期振動ではポアンカレ写像は複数の線分により構成されているよ

うに見える.発散直前のポアンカレ写像は折り畳み構造の特徴を有するためス トレンジアトラクタであると推察され，カオス振動の証明となる.

図

4 .1 4

より y= 0.1， P = 0.3，ω =  0.5255 ‑‑0.53の場合の分岐過程において，カオ スの危機の前後ではポアンカレ写像が大きく変化していることがわかる.また，

発散直前のポアンカレ写像はストレンジアトラクタの特徴を強く示している.

図

4 . 1 5

および図

4 . 1 6

においても同様の傾向が現れ，非周期振動はカオス振動 であることが示される.

4 .   6 

スペクトル解析

図

4 .1 7  " " ' 4 .  2 0

は分岐過程におけるスペクトルの変化を表したものである.過 渡状態、が収束した後の

5 1 2

周期分の波形データによりスペクトルの推定を行っ た.なお，一周期のきざみ数は256とし，非周期振動に対してはより平滑なス ペクトルを得るために初期条件の異なる波形から計算した

1 0

種のスペクトルの 単純平均を行った.前節と同様にパラメータは振動波形のそれと全く同じであ

り，表している状態も等しい.

図

4 .1 7

より y= 0.1， P = 0.2，ω =  0.4376 ‑‑0.44の場合の分岐過程において，集 積直後の非周期振動では;連続的なスペクトルとなり，この場合もカオス振動で あることがわかる.また，カオスの危機の前後では， (f)カオスの危機直前で はn/6次の成分が大きく現れているのに対して， (g)カオスの危機直後ではn/8 次の成分が大きく現れているところが異なる.発散直前ではよりなめらかなス

‑63 ‑

一 一 寸

03 

.  . 

、3t、=  、3t、=、

お 02 お 0.2十

1 1

  11 

} ー

・ 」. 

‑

屯信、、、 屯ヨ「、、、

0.1 

r = 0.1  γ=0.1 

P=O.2  P=0.2 

ω= 0.43960  ω=0.43950 

。 。

0.1  02  03  x [1 = 2n1CAω] 

(a)ω= 0.43960  (b)ω ^c: 0.43950 

ー..、 _{ーー『、、} 、 『

， 

/ 

^『

11  11 

‘‘~ 、.開喝・.

‑

屯也、、 屯、芳、、

0.1  0.1 

γ= 0.1  γ= 0.1 

P=0.2  P=0.2 

ω= 0.43936  ω= 0.43925 

。 。

(c)ω= 0.43936  (d)ω= 0.43925 

図

4 . 1 3

_{ポアンカレ写像} (y=0.1， P=0.2) 

11 

M、・同・~

屯

、

^、、、

0.1 

。

0.31‑

J3 k ¥502  

昔話

。

T  ^r  y 

  ， ‑

、

¥  Jヨk 502 

u 

」句.

4

き32 

0.1  r = 0.1 

P=0.2  ω= 0.439"...3 

。

(e)ω= 

0.43923 

/一一¥

/ 

11 

、.同司・4

き 432 

0.1  γ=0.1 

P=0.2  ω= 0.43880 

。

(g)ω= 

0.43880 

。

‑64‑

/一六¥

/ 

γ= 0.1  P=0.2  ω= 0.43890  0.1  0.2  03  x [t = 2nπ/ω] 

( f ) ω

^:0:: 0.43890 

γ= 0.1  P=0.2  ω= 0.43800 

(h)ω= 

0.43800  図

4 . 1 3

ポアンカレ写像 (y= 0.1， P = 0.2) 

‑65‑

O.l~

^{'1  冒 I}

γ=0.1  7=0.1 

0.1ト P=0.3  P=0.3  → 

ω= 0.528

∞ 

^ω=052775 

、t3、之  

お

1 1

  11 

よ

話4SL  0 0 5  ^午 0.05ト 3 42 

0.2  0.3  0.4  05  0.2  03  0.4  05  x [t = 2nπ/ω]  x (t = 2nπ/ω] 

(a)ω= 

0.52800 

(b)ω= 

0.52775 

E 

γ=0.1  γ= 0.1 

0.1ト P=0.3  P=0.3 

. .

 ，  ω= 0.52763  ω=052720 

、、k3 、

tk 2号  お

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1  11 

品 0.05 品 0.05ト ^‑吋

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ドキュメント内 非対称ばね-自由度力学系の非線形振動に関する研究 (ページ 63-70)