データ・ファイル(cons99.txt)
1955 5430.1 6135.0 18.1 1956 5974.2 6828.4 18.3 1957 6686.3 7619.5 19.0 1958 7169.7 8153.3 19.1 1959 8019.3 9274.3 19.7 1960 9234.9 10776.5 20.5 1961 10836.2 12869.4 21.8 1962 12430.8 14701.4 23.2 1963 14506.6 17042.7 24.9 1964 16674.9 19709.9 26.0 1965 18820.5 22337.4 27.8 1966 21680.6 25514.5 29.0 1967 24914.0 29012.6 30.1 1968 28452.7 34233.6 31.6 1969 32705.2 39486.3 32.9 1970 37784.1 45913.2 35.2 1971 42571.6 51944.3 37.5 1972 49124.1 60245.4 39.7 1973 59366.1 74924.8 44.1 1974 71782.1 93833.2 53.3 1975 83591.1 108712.8 59.4 1976 94443.7 123540.9 65.2 1977 105397.8 135318.4 70.1 1978 115960.3 147244.2 73.5 1979 127600.9 157071.1 76.0 1980 138585.0 169931.5 81.6 1981 147103.4 181349.2 85.4 1982 157994.0 190611.5 87.7 1983 166631.6 199587.8 89.5 1984 175383.4 209451.9 91.8 1985 185335.1 220655.6 93.9 1986 193069.6 229938.8 94.8 1987 202072.8 235924.0 95.3 1988 212939.9 247159.7 95.8 1989 227122.2 263940.5 97.7 1990 243035.7 280133.0 100.0 1991 255531.8 297512.9 102.5
1992 265701.6 309256.6 104.5 1993 272075.3 317021.6 105.9 1994 279538.7 325655.7 106.7 1995 283245.4 331967.5 106.2 1996 291458.5 340619.1 106.0 1997 298475.2 345522.7 107.3
左から，年，名目家計最終消費支出(10億円)，家計可処 分所得(10億円)，家計最終消費支出デフレータ(1990年
=100)
PROGRAM
LINE ***********************************************
| 1 freq a;
| 2 smpl 1955 1997;
| 3 read(file=’cons99.txt’) year cons yd price;
| 4 rcons=cons/(price/100);
| 5 ryd=yd/(price/100);
| 6 lyd=log(ryd);
| 7 olsq rcons c ryd;
| 8 ar1 rcons c ryd;
| 9 olsq rcons c lyd;
| 10 param a1 0 a2 0 a3 1;
| 11 frml eq rcons=a1+a2*((ryd**a3)-1.)/a3;
| 12 lsq(tol=0.00001,maxit=100) eq;
| 13 a3=1.15;
| 14 rryd=((ryd**a3)-1.)/a3;
| 15 ar1 rcons c rryd;
| 16 end;
EXECUTION
*****************************************************
Equation 1
============
Method of estimation = Ordinary Least Squares Dependent variable: RCONS
Current sample: 1955 to 1997 Number of observations: 43
Mean of dependent variable = 146270.
Std. dev. of dependent var. = 79317.2 Sum of squared residuals = .129697E+10
Variance of residuals = .316335E+08 Std. error of regression = 5624.36
R-squared = .995092 Adjusted R-squared = .994972 Durbin-Watson statistic = .115101 F-statistic (zero slopes) = 8311.90 Schwarz Bayes. Info. Crit. = 17.3970 Log of likelihood function = -431.289
Estimated Standard
Variable Coefficient Error t-statistic
C -2919.54 1847.55 -1.58022
RYD .852879 .935486E-02 91.1696
Equation 2
============
FIRST-ORDER SERIAL CORRELATION OF THE ERROR MAXIMUM LIKELIHOOD ITERATIVE TECHNIQUE
CONVERGENCE ACHIEVED AFTER 7 ITERATIONS Dependent variable: RCONS
Current sample: 1955 to 1997 Number of observations: 43
(Statistics based on transformed data) Mean of dependent variable = 13685.2 Std. dev. of dependent var. = 5495.11
Sum of squared residuals = .145807E+09 Variance of residuals = .355627E+07 Std. error of regression = 1885.81
R-squared = .885040 Adjusted R-squared = .882236 Durbin-Watson statistic = 1.38750 Rho (autocorrelation coef.) = .945024 Standard error of rho = .040839 t-statistic for rho = 23.1405 F-statistic (zero slopes) = 315.621 Log of likelihood function = -385.419 (Statistics based on original data)
Mean of dependent variable = 146270.
Std. dev. of dependent var. = 79317.2 Sum of squared residuals = .145826E+09
Variance of residuals = .355672E+07 Std. error of regression = 1885.93
R-squared = .999480 Adjusted R-squared = .999467 Durbin-Watson statistic = 1.38714
Estimated Standard
Variable Coefficient Error t-statistic
C 1672.37 5919.24 .282531
RYD .840011 .025263 33.2501
Equation 3
============
Method of estimation = Ordinary Least Squares Dependent variable: RCONS
Current sample: 1955 to 1997 Number of observations: 43
Mean of dependent variable = 146270.
Std. dev. of dependent var. = 79317.2 Sum of squared residuals = .256040E+11
Variance of residuals = .624487E+09 Std. error of regression = 24989.7
R-squared = .903100 Adjusted R-squared = .900737 Durbin-Watson statistic = .029725 F-statistic (zero slopes) = 382.117 Schwarz Bayes. Info. Crit. = 20.3798 Log of likelihood function = -495.418
Estimated Standard
Variable Coefficient Error t-statistic C -.115228E+07 66538.5 -17.3175
LYD 109305. 5591.69 19.5478
NONLINEAR LEAST SQUARES
=======================
EQUATIONS: EQ
CONVERGENCE ACHIEVED AFTER 72 ITERATIONS Log of Likelihood Function = -414.362
Number of Observations = 43 Standard
Parameter Estimate Error t-statistic
A1 16544.5 2615.60 6.32530
A2 .063304 .024133 2.62307
A3 1.21694 .031705 38.3839
Standard Errors computed from quadratic form of analytic first derivatives (Gauss)
Dependent variable: RCONS
Mean of dependent variable = 146270.
Std. dev. of dependent var. = 79317.2 Sum of squared residuals = .590213E+09
Variance of residuals = .147553E+08 Std. error of regression = 3841.27
R-squared = .997766 Adjusted R-squared = .997655 Durbin-Watson statistic = .253234
Equation 4
============
FIRST-ORDER SERIAL CORRELATION OF THE ERROR MAXIMUM LIKELIHOOD ITERATIVE TECHNIQUE CONVERGENCE ACHIEVED AFTER 5 ITERATIONS Dependent variable: RCONS
Current sample: 1955 to 1997 Number of observations: 43
(Statistics based on transformed data) Mean of dependent variable = 23312.9 Std. dev. of dependent var. = 10432.7
Sum of squared residuals = .137718E+09 Variance of residuals = .335899E+07 Std. error of regression = 1832.75
R-squared = .970084 Adjusted R-squared = .969354 Durbin-Watson statistic = 1.44365 Rho (autocorrelation coef.) = .876923 Standard error of rho = .066300 t-statistic for rho = 13.2266 F-statistic (zero slopes) = 1319.94 Log of likelihood function = -383.807 (Statistics based on original data)
Mean of dependent variable = 146270.
Std. dev. of dependent var. = 79317.2 Sum of squared residuals = .140391E+09
Variance of residuals = .342417E+07 Std. error of regression = 1850.45
R-squared = .999470 Adjusted R-squared = .999457 Durbin-Watson statistic = 1.43657
Estimated Standard
Variable Coefficient Error t-statistic
C 12034.8 3315.11 3.63029
RRYD .140723 .275670E-02 51.0476
*****************************************************
1. Equation 1 vs. Equation 2 系列相関の検定：
Equation 2 は
RCONSt=β1+β2RYDt+ut,
ut=ρut−1+t, t∼ iidN(0, σ2) H0: ρ= 0
制約付きMLE =⇒Equation 1 制約なしMLE =⇒Equation 2 尤度関数は，
logL(β, σ2, ρ)
=−T
2 log(2π)−T
2 log(σ2) +1
2log(1−ρ2)
− 1 2σ2
∑T t=1
(RCONS∗t−β1CONST∗t−β2RYD∗t)2
となる。ただし，
RCONS∗t =
{√1−ρ2RCONSt, t= 1のとき，
RCONSt−ρRCONSt−1, t= 2,3,· · ·, T
CONST∗t =
{√1−ρ2, t= 1のとき，
1−ρ, t= 2,3,· · ·, T のとき，
RYD∗t =
{√1−ρ2RYDt, t= 1のとき，
RYDt−ρRYDt−1, t= 2,3,· · ·, T のとき，
とする。
• ρ= 0の制約付きMLE (Equation 1) max
β,σ2 logL(β, σ2,0) 制約付き最尤推定量=⇒βe,eσ2
Log of likelihood function = -431.289
• ρ= 0の制約なしMLE (Equation 2) max
β,σ2,ρlogL(β, σ2, ρ)
制約なし最尤推定量=⇒βb,bσ2,ρb
Log of likelihood function = -385.419
尤度比検定統計量は，
−2 log(λ)
=−2 log (
L(β,e eσ2,0) L(β,b bσ2,ρ)b
)
=−2 (
logL(β,e eσ2,0)−logL(bβ,bσ2,ρ)b )
=−2
(−431.289−(−385.419) )
= 91.74
となり，そのときの漸近分布は，
−2 log(λ)∼χ2(G) となる。Gは制約数とする。
この場合，G= 1なので，−2 log(λ)∼χ2(1)となる。
chi2(1)の上側1 %点は6.635なので，
91.74>6.635
となり，ρ= 0の仮説を棄却する。
したがって，誤差項に系列相関があると判定される。
2. Equation 1vs. NONLINEAR LEAST SQUARES 関数型の選択(線型かどうか)：
NONLINEAR LEAST SQUARESで，
RCONSt=a1 +a2RYDa3t −1 a3 +ut を推定する。
a3 = 1ならば，
RCONSt= (a1−a2) +a2RYDt+ut
となり，Equation 1を推定するのと同じ。
H0: a3 = 1とする。(G= 1)
• a3 = 1の制約付きMLE (Equation 1) Log of likelihood function = -431.289
• a3 = 1 の制約なし MLE (NONLINEAR LEAST SQUARES)
Log of likelihood function = -414.362
尤度比検定統計量は，
−2 log(λ)
=−2
(−431.289−(−414.362) )
= 33.854
となり，−2 log(λ)∼χ2(1)となる。chi2(1)の上側 1
% 点は6.635なので，
33.854>6.635
となり，a3 = 1の仮説を棄却する。
したがって，関数型は線型ではない。
3. Equation 3 vs. NONLINEAR LEAST SQUARES 関数型の選択(対数線型かどうか)：
NONLINEAR LEAST SQUARES の RCONSt=a1 +a2RYDa3t −1
a3 +ut について，a3 = 0ならば，
RCONSt=a1 +a2 log(RYDt) +ut
となり，Equation 3を推定するのと同じ。
H0: a3 = 0とする。(G= 1)
• a3 = 0の制約付きMLE (Equation 3) Log of likelihood function = -495.418
• a3 = 0 の制約なし MLE (NONLINEAR LEAST SQUARES)
Log of likelihood function = -414.362
尤度比検定統計量は，
−2 log(λ)
=−2
(−495.418−(−414.362) )
= 162.112
となり，−2 log(λ)∼χ2(1)となる。chi2(1)の上側1
%点は6.635なので，
162.112>6.635
となり，a3 = 0の仮説を棄却する。
したがって，関数型は対数線型でもない。
4. Equation 1vs. Equation 4
系列相関と関数型(線型)の同時検定：
Equation 4は
RCONSt=a1 +a2RYDa3t −1 a3 +ut, ut=ρut−1+t, t∼ iidN(0, σ2) H0: a3 = 1, ρ= 0
制約付きMLE =⇒Equation 1 制約なしMLE =⇒Equation 4 注)
PROGRAMの13〜15行について，a3 の値を0.01刻み で変えて，推定を行った結果，a3 = 1.15のときが，最 も尤度関数が大きくなった。
尤度比検定統計量は，
−2 log(λ)
=−2
(−431.289−(−383.807) )
= 94.964
となり，−2 log(λ)∼χ2(2)となる。chi2(2)の上側1
%点は9.210なので，
94.964>9.210
となり，a3 = 1かつρ= 0の仮説を棄却する。
したがって，系列相関を考慮に入れても線型ではない。
14 不均一分散
回帰式が
yt=α+βxt+ut
の場合を考える。xtが外生変数，ytは内生変数，utは互 いに独立な同一の分布を持つ攪乱項(最小二乗法に必要な 仮定)とする。「独立な同一の分布」の意味は「攪乱項 u1, u2,· · ·,uT はそれぞれ独立に平均ゼロ，分散σ2 の分布す る」である。
分散が時点に依存する場合，代表的には，分散が他の変数 (例えば，zt)に依存する場合，すなわち，utの平均はゼロ，
分散は σ∗2zt2 の場合は，最小二乗法の仮定に反する。その ため，単純には，yt=α+βxt+utに最小二乗法を適用で きない。以下のような修正が必要となる。
yt
zt =α1 zt+βxt
zt +ut
zt
=α1 zt
+βxt zt
+u∗t
このとき，新たな攪乱項 u∗t は平均ゼロ，分散σ2∗ の分布
となる(すなわち，「同一の」分布)。
E(u∗t) = E (ut
zt
)
= (1
zt
)
E(ut) = 0 utの仮定E(ut) = 0が使われている。
V(u∗t) = V (ut
zt
)
= (1
zt
)2
V(ut) =σ2∗ utの仮定V(ut) =σ∗2zt2 が最後に使われている。
よって，yt
zt
, 1 zt
, xt
zt
を新たな変数として，最小二乗法を適 用することができる。
不均一分散の検定について b
u2t =γzt+t
を推定し，γの推定値 bγ の有意性の検定を行う(通常の t 検定)。
zt は回帰式に含まれる変数でもよい。例えば，ut の平均 はゼロ，分散はσ∗2x2t の場合，各変数をxt で割って，
yt xt
=α1 xt
+β+ut xt
=α1 xt
+β+u∗t
を推定すればよい。β は定数項として推定されるが，意味 は限界係数(すなわち，傾き)と同じなので注意すること。
1. yt=xtβ+ut, ut∼N(0, σt2)
σ2Ω =
σ12 0 · · · 0 0 σ22 ... ... . .. 0 0 · · · 0 σT2
σ21 0 · · · 0 0 σ22 ... ... . .. 0 0 · · · 0 σT2
−1
=
1 σ1
0 · · · 0
0 1
σ2
... ... . .. 0 0 · · · 0 1 σT
0
1 σ1
0 · · · 0
0 1
σ2
... ... . .. 0 0 · · · 0 1 σT
2. yt=xtβ+ut, ut∼N(0, σt2), σ2t = (ztα)2
最尤法により推定 L=−T
2 log(2π)−log(ztα)
−1 2
∑T t=1
(yt−xtβ ztα
)2
3. yt=xtβ+ut, ut∼N(0, σt2), σ2t =σ2(xtβ)p
4. yt=xtβ+ut, ut∼N(0, σt2), σ2t = exp(ztα)
5. ARCH (autoregressive conditional heteroscedastic-ity)モデル
yt=xtβ+ut, ut∼N(0, σt2), σ2t =α0+α1u2t−1
ただし，α0>0,α1≥0
15 自己相関
DW について： 最小自乗法の仮定の一つに，「攪乱項u1, u2,· · ·,uT はそれぞれ独立に分布する」というものがあっ た。ダービン・ワトソン比(DW)とは，誤差項の系列相関，
すなわち，utとut−1との間の相関の有無を検定するため に考案された。
=⇒時系列データのときのみ有効
u1,u2,· · ·,uT の系列について，それぞれの符号が，+ + + - - - - + + - - - + +のように，プラスが連続で続いた後 で，マイナスが連続で続くというような場合，u1,u2,· · ·, uT は正の系列相関があると言う。また，+ - + - + - + - + のように交互にプラス，マイナスになる場合，u1,u2,· · ·, uT 負の系列相関があると言う。
特徴：u1,u2,· · ·,utからut+1の符号が予想できる。=⇒
「u1,u2,· · ·,uT はそれぞれ独立に分布する」という仮定に 反する。
すなわち，ダービン・ワトソン比とは，回帰式が yt=α+βxt+ut,
ut=ρut−1+t,
のときに，H0 : ρ= 0, H1 : ρ6= 0 の検定である。ただ し，1,2,· · ·,T は互いに独立とする。
ダービン・ワトソン比の定義は次の通りである。
DW =
∑T
t=2(ubt−ubt−1)2
∑T t=1bu2t
DW は近似的に，次のように表される。
DW=
∑T
t=2(but−but−1)2
∑T t=1ub2t
=
∑T
t=2ub2t−2∑T
t=2butubt−1+∑T t=2ub2t−1
∑T t=1ub2t
= 2∑T
t=1ub2t−(bu21+ub2T)
∑T
t=1ub2t −2
∑T
t=2ubtbut−1
∑T t=1bu2t
≈2(1−ρ),b
以下の2つの近似が用いられる。
b u21+ub2T
∑T
t=1ub2t ≈0,
∑T
t=2ubtbut−1
∑T
t=1bu2t =
∑T
t=2butbut−1
∑T
t=2bu2t−1+ub2T
≈
∑T
t=2butubt−1
∑T t=2ub2t−1
=ρ,b
すなわち，bρはubtとubt−1の回帰係数である。ut=ρut−1+ t において，ut, ut−1 の代わりにbut,ubt−1 に置き換えて，
ρの推定値ρbを求める。
1. DW の値が2前後のとき，系列相関なし(ρb= 0のと き，DW ≈2)。
2. DW が 2 より十分に小さいとき，正の系列相関と判 定される。
3. DW が 2 より十分に大きいとき，負の系列相関と判 定される。
正確な判定には，データ数T とパラメータ数kに依存す る。表1 と表2 を参照せよ。
表 1 と表2 で，k0 は定数項を除く説明変数の数を表すも のとする。
図4： 正の系列相関
b ut
t
q q
q q q q
q
q q q
q q
q
図5： 負の系列相関 b
ut
t
q q
q q
q q
q q
q q
q q q
系列相関のもとで回帰式の推定： 回帰式が Yt=α+βXt+ut,
ut=ρut−1+t,
のときの推定を考える。ただし，1,2,· · ·,T は互いに独 立とする。
utを消去すると，
(Yt−ρYt−1) =α(1−ρ) +β(Xt−ρXt−1) +t, となり，
Yt∗= (Yt−ρYt−1), Xt∗= (Xt−ρXt−1) を新たな変数として，
Yt∗=α0+βXt∗+t,
に最小二乗法を適用する。1,2,· · ·,T は互いに独立とす るなので，最小二乗法を適用が可能となる。ただし，α0= α(1−ρ)の関係が成り立つことに注意。
より一般的に，回帰式が
Yt=β1X1t+β2X2t+· · ·+βkXkt+ut, ut=ρut−1+t,
のときの推定を考える。ただし，1,2,· · ·,T は互いに独 立とする。
表1: ダービン・ワトソン統計量の5 %点の上限と下限 (1)k0= 1
A B C D E
T 下限 上限 下限 上限 下限 上限 下限 上限 下限 上限 0 dl dl du du 4−du4−du4−dl4−dl 4 15 0 1.08 1.08 1.36 1.36 2.64 2.64 2.92 2.92 4 20 0 1.20 1.20 1.41 1.41 2.59 2.59 2.80 2.80 4 25 0 1.29 1.29 1.45 1.45 2.55 2.55 2.71 2.71 4 30 0 1.35 1.35 1.49 1.49 2.51 2.51 2.65 2.65 4 (2)k0= 2
A B C D E
T 下限 上限 下限 上限 下限 上限 下限 上限 下限 上限 0 dl dl du du 4−du4−du4−dl4−dl 4 15 0 0.95 0.95 1.54 1.54 2.46 2.46 3.05 3.05 4 20 0 1.10 1.10 1.54 1.54 2.46 2.46 2.90 2.90 4 25 0 1.21 1.21 1.55 1.55 2.45 2.45 2.79 2.79 4 30 0 1.28 1.28 1.57 1.57 2.43 2.43 2.72 2.72 4 (3)k0= 3
A B C D E
T 下限 上限 下限 上限 下限 上限 下限 上限 下限 上限 0 dl dl du du 4−du4−du4−dl4−dl 4 15 0 0.82 0.82 1.75 1.75 2.25 2.25 2.25 3.18 4 20 0 1.00 1.00 1.68 1.68 2.32 2.32 2.32 3.00 4 25 0 1.12 1.12 1.66 1.66 2.34 2.34 2.34 2.88 4 30 0 1.21 1.21 1.65 1.65 2.35 2.35 2.35 2.79 4 (4)k0= 4
A B C D E
T 下限 上限 下限 上限 下限 上限 下限 上限 下限 上限 0 dl dl du du 4−du4−du4−dl4−dl 4 15 0 0.69 0.69 1.97 1.97 2.03 2.03 3.31 3.31 4 20 0 0.90 0.90 1.83 1.83 2.17 2.17 3.10 3.10 4 25 0 1.04 1.04 1.77 1.77 2.23 2.23 2.96 2.96 4 30 0 1.14 1.14 1.74 1.74 2.26 2.26 2.86 2.86 4 (5)k0= 5
A B C D E
T 下限 上限 下限 上限 下限 上限 下限 上限 下限 上限 0 dl dl du du 4−du4−du4−dl4−dl 4 15 0 0.56 0.56 2.21 — — 2.21 3.44 3.44 4 20 0 0.79 0.79 1.99 1.99 2.01 2.01 3.21 3.21 4 25 0 0.95 0.95 1.89 1.89 2.11 2.11 3.05 3.05 4 30 0 1.07 1.07 1.83 1.83 2.17 2.17 2.93 2.93 4 A:正の系列相関あり
B:系列相関の有無を判定不能 C:系列相関なし
D:系列相関の有無を判定不能 E:負の系列相関あり
表2: ダービン・ワトソン統計量の5 %点の上限と下限
k0=1k0=2k0=3k0=4k0=5k0=6k0=7k0=8k0=9k0=10k0=11k0=12k0=13 ndldudldudldudldudldudldudldudldudldudldudldudldudldu 60.6101.400———————————————————————— 70.7001.3560.4671.896—————————————————————— 80.7631.3320.5591.7770.3672.287———————————————————— 90.8241.3200.6291.6990.4552.1280.2962.588—————————————————— 100.8791.3200.6971.6410.5252.0160.3762.4140.2432.822———————————————— 110.9271.3240.7581.6040.5951.9280.4442.2830.3152.6450.2033.004—————————————— 120.9711.3310.8121.5790.6581.8640.5122.1770.3802.5060.2682.8320.1713.149———————————— 131.0101.3400.8611.5620.7151.8160.5742.0940.4442.3900.3282.6920.2302.9850.1473.266—————————— 141.0451.3500.9051.5510.7671.7790.6322.0300.5052.2960.3892.5720.2862.8480.2003.1110.1273.360———————— 151.0771.3610.9461.5430.8141.7500.6851.9770.5622.2200.4472.4710.3432.7270.2512.9790.1753.2160.1113.438—————— 161.1061.3710.9821.5390.8571.7280.7341.9350.6152.1570.5022.3880.3982.6240.3042.8600.2223.0900.1553.3040.0983.503———— 171.1331.3811.0151.5360.8971.7100.7791.9000.6642.1040.5542.3180.4512.5370.3562.7570.2722.9750.1983.1840.1383.3780.0873.557—— 181.1581.3911.0461.5350.9331.6960.8201.8720.7102.0600.6032.2570.5022.4610.4072.6680.3212.8730.2443.0730.1773.2650.1233.4410.0783.603 191.1801.4011.0741.5360.9671.6850.8591.8480.7522.0230.6492.2060.5492.3960.4562.5890.3692.7830.2902.9740.2203.1590.1603.3350.1113.496 201.2011.4111.1001.5370.9981.6760.8941.8280.7921.9910.6912.1620.5952.3390.5022.5210.4162.7040.3362.8850.2633.0630.2003.2340.1453.395 211.2211.4201.1251.5381.0261.6690.9271.8120.8291.9640.7312.1240.6372.2900.5462.4610.4612.6330.3802.8060.3072.9760.2403.1410.1823.300 221.2391.4291.1471.5411.0531.6640.9581.7970.8631.9400.7692.0900.6772.2460.5882.4070.5042.5710.4242.7350.3492.8970.2813.0570.2203.211 231.2571.4371.1681.5431.0781.6600.9861.7850.8951.9200.8042.0610.7152.2080.6282.3600.5452.5140.4652.6700.3912.8260.3222.9790.2593.129 241.2731.4461.1881.5461.1011.6561.0131.7750.9251.9020.8372.0350.7502.1740.6662.3180.5842.4640.5062.6130.4312.7610.3622.9080.2973.053 251.2881.4541.2061.5501.1231.6541.0381.7670.9531.8860.8682.0130.7842.1440.7022.2800.6212.4190.5442.5600.4702.7020.4002.8440.3352.983 261.3021.4611.2241.5531.1431.6521.0621.7590.9791.8730.8971.9920.8162.1170.7352.2460.6572.3790.5812.5130.5082.6490.4382.7840.3732.919 271.3161.4691.2401.5561.1621.6511.0841.7531.0041.8610.9251.9740.8452.0930.7672.2160.6912.3420.6162.4700.5442.6000.4752.7300.4092.860 281.3281.4761.2551.5601.1811.6501.1041.7471.0281.8500.9511.9590.8742.0710.7982.1880.7232.3090.6492.4310.5782.5550.5102.6800.4452.805 291.3411.4831.2701.5631.1981.6501.1241.7431.0501.8410.9751.9440.9002.0520.8262.1640.7532.2780.6812.3960.6122.5150.5442.6340.4792.754 301.3521.4891.2841.5671.2141.6501.1431.7391.0711.8330.9981.9310.9262.0340.8542.1410.7822.2510.7122.3630.6432.4770.5772.5920.5132.708 311.3631.4961.2971.5701.2291.6501.1601.7351.0901.8251.0201.9200.9502.0180.8792.1200.8102.2260.7412.3330.6742.4430.6082.5530.5452.665 321.3731.5021.3091.5741.2441.6501.1771.7321.1091.8191.0411.9090.9722.0040.9042.1020.8362.2030.7692.3060.7032.4110.6382.5180.5762.625 331.3831.5081.3211.5771.2581.6511.1931.7301.1271.8131.0611.9000.9941.9910.9272.0850.8612.1810.7962.2810.7312.3820.6672.4840.6062.588 341.3931.5141.3331.5801.2711.6521.2081.7281.1441.8081.0791.8911.0151.9780.9502.0690.8852.1620.8212.2570.7582.3550.6952.4540.6342.553 351.4021.5191.3431.5841.2831.6531.2221.7261.1601.8031.0971.8841.0341.9670.9712.0540.9082.1440.8452.2360.7832.3300.7222.4250.6622.521 361.4111.5251.3541.5871.2951.6541.2361.7241.1751.7991.1141.8761.0531.9570.9912.0410.9302.1270.8682.2160.8082.3060.7482.3980.6892.492 371.4191.5301.3641.5901.3071.6551.2491.7231.1901.7951.1311.8701.0711.9481.0112.0290.9512.1120.8912.1970.8312.2850.7722.3740.7142.464 381.4271.5351.3731.5941.3181.6561.2611.7221.2041.7921.1461.8641.0881.9391.0292.0170.9702.0980.9122.1800.8542.2650.7962.3510.7392.438 391.4351.5401.3821.5971.3281.6581.2731.7221.2181.7891.1611.8591.1041.9321.0472.0070.9902.0850.9322.1640.8752.2460.8192.3290.7632.413 401.4421.5441.3911.6001.3381.6591.2851.7211.2301.7861.1751.8541.1201.9241.0641.9971.0082.0720.9522.1500.8962.2280.8402.3090.7852.391 451.4751.5661.4301.6151.3831.6661.3361.7201.2871.7761.2381.8351.1891.8951.1391.9581.0892.0221.0382.0880.9882.1560.9382.2250.8872.296 501.5031.5851.4621.6281.4211.6741.3781.7211.3351.7711.2911.8221.2461.8751.2011.9301.1561.9861.1102.0441.0642.1031.0192.1630.9732.225 551.5281.6011.4901.6411.4521.6811.4141.7241.3741.7681.3341.8141.2941.8611.2531.9091.2121.9591.1702.0101.1292.0621.0872.1161.0452.170 601.5491.6161.5141.6521.4801.6891.4441.7271.4081.7671.3721.8081.3351.8501.2981.8941.2601.9391.2221.9841.1842.0311.1452.0791.1062.127 651.5671.6291.5361.6621.5031.6961.4711.7311.4381.7671.4041.8051.3701.8431.3361.8821.3011.9231.2661.9641.2312.0061.1952.0491.1602.093 701.5831.6411.5541.6721.5251.7031.4941.7351.4641.7681.4331.8021.4011.8381.3691.8741.3371.9101.3051.9481.2721.9871.2392.0261.2062.066 751.5981.6521.5711.6801.5431.7091.5151.7391.4871.7701.4581.8011.4281.8341.3991.8671.3691.9011.3391.9351.3081.9701.2772.0061.2472.043 801.6111.6621.5861.6881.5601.7151.5341.7431.5071.7721.4801.8011.4531.8311.4251.8611.3971.8931.3691.9251.3401.9571.3121.9901.2832.024 851.6231.6711.6001.6961.5751.7211.5501.7471.5251.7741.5001.8011.4741.8291.4481.8571.4221.8861.3961.9161.3691.9461.3421.9771.3152.008 901.6351.6791.6121.7031.5891.7261.5661.7511.5421.7761.5181.8011.4941.8271.4691.8541.4451.8811.4201.9091.3951.9371.3691.9661.3441.995 951.6451.6871.6231.7091.6021.7321.5791.7551.5571.7781.5351.8021.5121.8271.4891.8521.4651.8771.4421.9031.4181.9301.3941.9561.3701.984 1001.6541.6941.6341.7151.6131.7361.5921.7581.5711.7801.5501.8031.5281.8261.5061.8501.4841.8741.4621.8981.4391.9231.4161.9481.3931.974 1501.7201.7471.7061.7601.6931.7741.6791.7881.6651.8021.6511.8171.6371.8321.6221.8461.6081.8621.5931.8771.5791.8921.5641.9081.5491.924 2001.7581.7791.7481.7891.7381.7991.7281.8091.7181.8201.7071.8311.6971.8411.6861.8521.6751.8631.6651.8741.6541.8851.6431.8971.6321.908 nは標本数，k0は定数項を除く説明変数の数とする。（出所）http://www.stanford.edu/∼clint/bench/dwcrit.htm
utを消去すると，
(Yt−ρYt−1) =β1(X1t−ρX1,t−1) +β2(X1t−ρX2,t−1) +· · ·
+βk(X1t−ρXk,t−1) +t, となり，
Yt∗= (Yt−ρYt−1), X1t∗ = (X1t−ρX1,t−1), X2t∗ = (X2t−ρX2,t−1),
· · ·,
Xkt∗ = (Xkt−ρXk,t−1) を新たな変数として，
Yt∗ =β1X1t∗ +β2X2t∗ +· · ·+βkXkt∗ +t
最小二乗法を適用する。1,2,· · ·,T は互いに独立とする なので，最小二乗法を適用が可能となる。
ρの求め方について
1. ダービン・ワトソン比がゼロに近い場合，ρ= 1と近 似して，
Yt∗=β1X1t∗ +β2X2t∗ +· · ·+βkXkt∗ +t, として推定する。ただし，Yt∗ = Yt−Yt−1, X1t∗ = X1t−X1,t−1,· · ·,Xkt∗ =Xkt−Xk,t−1 とする。
2. DW は近似的に DW ≈ 2(1−ρ)b と表されるので，
DW からρの推定値ρbを逆算して，
Yt∗= (Yt−ρYb t−1), X1t∗ = (X1t−ρXb 1,t−1), X2t∗ = (X2t−ρXb 2,t−1),
· · ·,
Xkt∗ = (Xkt−bρXk,t−1) を新たな変数として，
Yt∗=β1X1t∗ +β2X2t∗ +· · ·+βkXkt∗ +t, に最小二乗法を適用する。
3. 収束計算によって求める。
(i) まず，
Yt=β1X1t+β2X2t+· · ·+βkXkt+ut, に最小二乗法を適用し，bu1,bu2,· · ·,ubT を求める。
(ii) 次に，
b
ut=ρbut−1+t,
に最小二乗法を適用し，bρを求める。
(iii) データを変換する。すなわち，
Yt∗= (Yt−ρYb t−1), X1t∗ = (X1t−ρXb 1,t−1), X2t∗ = (X2t−ρXb 2,t−1),
· · ·,
Xkt∗ = (Xkt−bρXk,t−1) を新たな変数として，
Yt∗=β1X1t∗ +β2X2t∗ +· · ·+βkXkt∗ +t, を計算して，βb1, βb2,· · ·,βbk を求める。
(iv) さらに，
b
ut=Yt−βb1X1t−βb2X2t− · · · −βbkXkt, からbut を再計算して，
b
ut=ρbut−1+t,
から，最小二乗法によりρbを求める。
(v) (iii)と(iv)を収束するまで繰り返す。
=⇒コクラン・オーカット法
(iv)で得られたρbの有意性から，H0: ρ= 0の検定 を行う方法もある。=⇒Wald検定
1. 攪乱項に一階の自己相関があるモデル yt=xtβ+ut, ut=ρut−1+t, t∼iidN(0, σ2)
2. utの分散共分散行列
σ2Ω =σ2
1 ρ ρ2 · · · ρT−1 ρ 1 ρ · · · ρT−2 ρ2 ρ 1 . .. ...
... ... . .. . .. ρ ρT−1 ρT−2 · · · ρ 1
1 ρ ρ2 · · · ρT−1 ρ 1 ρ · · · ρT−2 ρ2 ρ 1 . .. ...
... ... . .. . .. ρ ρT−1 ρT−2 · · · ρ 1
−1
=
1 −ρ 0 · · · 0
−ρ 1 +ρ2 −ρ ... 0 −ρ . .. . .. 0 ... . .. . .. −ρ 0 · · · 0 −ρ 1
=
√1−ρ2 0 0 · · · 0
−ρ 1 0 · · · 0
0 −ρ 1 ...
... . .. . .. 0 0 · · · 0 −ρ 1
0
×
√1−ρ2 0 0 · · · 0
−ρ 1 0 · · · 0
0 −ρ 1 ...
... . .. . .. 0 0 · · · 0 −ρ 1
σ2= σ
1−ρ2 3. uととの関係
√1−ρ2 0 0 · · · 0
−ρ 1 0 · · · 0
0 −ρ 1 ...
... . .. . .. 0 0 · · · 0 −ρ 1
u1 u2
... uT
=
1 2
... T
4. 系列相関があるかないかの検定
(a) ダービン・ワトソン比(遅れのある変数が説明変 数に含まれているとき，h統計量)
(b) H0: ρ= 0 の検定(LM, LR, W)
遅れのある変数： 習慣的効果を考慮に入れたモデル：
yt=α+βxt+γyt−1+ut,
ラグ付き内生変数が説明変数に用いられる。
(注)
1. xt の yt への効果は，短期効果，長期効果の2つあ る。β は短期効果を表す係数である。長期効果とは，
yt =yt−1 となるときの，xtから yt への影響を示す 効果である。
yt=α+βxt+γyt+ut, として，ytについて解くと，
yt= α
1−γ+ β
1−γ+ 1 1−γut, となり， β
1−γ がxtのytへの長期効果を表す係数と なる。
問題点：
1. 最小二乗法の仮定の一つに，説明変数は確率変数では ないという仮定がある。ラグ付き内生変数を説明変数 に加えることによって，この仮定が満たされなくなる。
最小二乗推定量は最小分散線型不偏推定量ではなく なる。
2. yt とxt とは，経済理論的に考えると，相関が高いは ず。ytとyt−1 は相関が高い。当然，yt−1 とxtも高 い相関を示す。
=⇒多重共線性の可能性が高い。
3. DW 統計量は意味をなさない(詳細略)。実際には誤 差項に系列相関があるにもかかわらず，標本数(デー タ数) が増えるにつれて，DW は 2 に近づいてしま う。すなわち，系列相関なしと判定されてしまう。
=⇒代わりに，h統計量を使う。
h統計量は次のように求められる。
h=ρb
√ T 1−T s2
bγ ,
T は標本数 (データ数)，sbγ は bγ の標準誤差，ρb は b
ρ=
∑T
t=2butbut−1
∑T
t=2bu2t−1 で，but はもとのモデルの最小二乗 法による残差である。
帰無仮説は，ut=ρut−1+tのモデルにおいて，H0: ρ= 0であり，対立仮説はH1 : ρ6= 0である。帰無
仮説 H0 : ρ= 0 のもとで，標本数T が増加するに つれて，hは標準正規分布に近づくことが知られてい る。よって，
(a) |h|> zα/2 のとき，有意水準 100 %で H0 を棄 却する。
(b) |h|< zα/2 のとき，有意水準 100 %で H0 を採 択する。
ただし，zα/2は標準正規分布表から得られた100×α
%点の値である。 2
16 特定化誤差
適切な変数がない場合 (omitting relevant variables)と不 適切な変数を含めた場合(including irrelevant variable)
y=X1β1+X2β2+u,
β1: k1×1, β2: k2×1 からの推定値をβb1,βb2,s2 とする。
y=X1β1+u
からの推定値をβ1∗,σ∗2 とする。
1. 適切な変数がない場合 (omitting relevant variables) 真のモデル
y=X1β1+X2β2+u 推定モデル
y=X1β1+u (a) β1 のOLSE は
β1∗= (X10X1)−1X10y
= (X10X1)−1X10(X1β1+X2β2+u)
=β1+ (X10X1)−1X10X2β2+ (X10X1)−1X10u E(β1∗) =β1+ (X10X1)−1X10X2β2
6
=β1