第 5 章 先行研究 29
A.2: 定理の証明
本付録ではRBW摂動論の強結合領域への拡張に関する定理の証明を与える。ま ず初めに留意すべきことに、RBW摂動公式は十分条件(4.4)の下で極は回避され
るのでwell-definedである。したがって、RBW摂動公式を用いて直接(2.8)式の 左辺を変形し、それが右辺に等しくなることを示すことができる。
(2.8)式の左辺において状態ψ∗τ0⟩
に全ハミルトニアンを作用させたとき、その 状態は以下のようになり
( ˆH0+λVˆ)ψ∗τ0⟩
=ωτ0|τ0⟩+λ
∑N α=1
|α⟩Vατ0
+
N∑−1 l=1
∑
l−perms of Q[τ0]
(−iλ)l (
ωτl|τl⟩+λ
∑N α=1
|α⟩Vατl )(W˜τ∗
lτl−1· · ·W˜τ∗2τ1W˜τ∗1τ0 )
(A6) このとき ψ∗τ0⟩
について(3.20)式の表現と恒等演算子ˆ1を使った。
W˜τ∗
lτl−1 = −iVτkτl−1 Eτ∗
l[pl]−Eτ∗
0
, ˆ1 =
∑N α=1
|α⟩⟨α| (A7) 次に(A6)式の右辺にl= 0,1, . . . N −1に対する以下の自明な分割式を適用する。
∑N α=1
|α⟩Vατl =
∑N
τl+1̸=τi i<l+1
|τl+1⟩Vτl+1τl+
∑l k=1
|τk⟩Vτkτl+|τ0⟩Vτ0τl (A8)
これは相異なるi、jに対してτi ̸=τjとなる時に適用できる式であり、pl+1は集合 {1,2, . . . N}の(l+ 1)-順列であることを思い出せば問題なく使用することができ る。
そして以下の証明では(A6)式を第τ0とそれ以外の第τ1, . . . τN−1成分に場合分け して計算を続けることにする。まず第τ0成分に対しては(3.25)式もしくは(3.21) 式を用いることで簡単に書き換えることができる。
(A6)式の第τ0成分=ωτ0|τ0⟩+λ|τ0⟩Vτ0τ0
+i
N∑−1 l=1
∑
l−perms of Q[τ0]
(−iλ)l+1|τ0⟩Vτ0τl (W˜τ∗
lτl−1· · ·W˜τ∗
2τ1
W˜τ∗
1τ0
)
=Eτ∗0|τ0⟩ (A9)
一方で第τ1, . . . τN−1成分に対しては以下のように計算される。
λ
∑N τ1̸=τ0
|τ1⟩Vτ1τ0 +
N−1
∑
l=1
∑
l−perms of Q[τ0]
(−iλ)l (
ωτl|τl⟩+λ
∑N
τl+1̸=τi i<l+1
|τl+1⟩Vτl+1τl )(W˜τ∗
lτl−1· · ·W˜τ∗
1τ0
)
+i
N∑−1 l=1
∑
l−perms of Q[τ0]
(−iλ)l+1
∑l k=1
|τk⟩Vτkτl (W˜τ∗
lτl−1· · ·W˜τ∗1τ0 )
(A10) このとき(A10)式の第３項はτ1, . . . τlとkについての総和は交換可能であること に注意すれば、更に書き直すことができ
i
N∑−1 k=1
N−1
∑
l=k
∑
l−perms of Q[τ0]
(−iλ)l+1|τk⟩Vτkτl
(W˜τ∗lτl−1· · ·W˜τ∗2τ1W˜τ∗1τ0 )
(A11)
また上式において任意の数列aklに対して成り立つ以下の恒等式を用いた。
N∑−1 l=1
∑l k=1
akl =
N∑−1 k=1
N∑−1 l=k
akl=
N∑−1 k≤l
akl (A12)
そして更に(A11)式は以下の手続きに従い簡単にすることができ i
N∑−1 k=1
N−1
∑
l=k+1
∑
l−perms of Q[τ0]
(−iλ)l+1|τk⟩Vτkτl
(W˜τ∗lτl−1· · ·W˜τ∗k+1τk
)(W˜τ∗kτk−1· · ·W˜τ∗1τ0 )
+i
N∑−1 k=1
∑
k−perms of Q[τ0]
(−iλ)k+1|τk⟩Vτkτk (W˜τ∗
kτk−1· · ·W˜τ∗
1τ0
)
(A13) そのとき上式の総和の定義を思い出すと
∑
l−perms of Q[τ0]
≡
∑N τ1̸=τ0
· · ·
∑N
τk̸=τi i<k
∑N
τk+1̸=τi i<k+1
· · ·
∑N
τl̸=τi i<l
(A14)
よって i
N∑−1 k=1
∑N τ0̸=τ1
· · ·
∑N
τk̸=τi i<k
(−iλ)k|τk⟩ { N−1
∑
l=k+1
∑N
τk+1̸=τi i<k+1
· · ·
∑N
τl̸=τi i<l
(−iλ)l−k+1Vτkτl
(W˜τ∗lτl−1· · ·W˜τ∗k+1τk )
+ (−i)λVτkτk }(W˜τ∗
kτk−1· · ·W˜τ∗
1τ0
)
(A15)
上式の波括弧に対してはダミー変数をl →l′ =l−kのように変えることで自己エ ネルギーの表式(3.23)に置き換えることができ
i
N∑−1 k=1
∑
k−perms of Q[τ0]
(−iλ)k|τk⟩(−i∆∗τ
kτk[pk]) (W˜τ∗
kτk−1· · ·W˜τ∗1τ0 )
(A16)
(A16)式を(A10)式に戻すと(A6)式の第τ1, . . . τN−1成分は以下のように書き直さ れる。
λ
∑N τ1̸=τ0
|τ1⟩Vτ1τ0 +
N∑−1 l=1
∑
l−perms of Q[τ0]
(−iλ)l (
Eτ∗
lτ0 +λ
∑N
τl+1̸=τi i<l+1
|τl+1⟩Vτl+1τl )(W˜τ∗
lτl−1· · ·W˜τ∗
1τ0
)
+Eτ∗0
N∑−1 l=1
∑
l−perms of Q[τ0]
(−iλ)l|τl⟩( W˜τ∗
lτl−1· · ·W˜τ∗1τ0 )
(A17)
ここで(3.25)式とEτ∗
lτ0 =Eτ∗
l[pl]−Eτ∗0を用いた。
そしてEτ∗
lτ0W˜τ∗
lτl−1 =−iVτlτl−1を用いて上式を整理すると、ちょうど最後の項を 残して全てキャンセルされる。最後に(A9)と(A17)を合わせて(A6)式の右辺を 書き直すと
( ˆH0+λVˆ)ψ∗τ0⟩
=Eτ∗0ψτ∗0⟩
(A18) これはエネルギー固有値問題の表式である。このときEτ∗0とψ∗τ0⟩
はそれぞれエネ ルギー固有値と固有状態となり、これで証明は完了する。
謝辞
他の専門分野にも関わらず本研究の機会を与えて下さった安田修教授、温かい ご支援を頂いた北澤敬章助教に感謝の意を表します。この２年間では贅沢かつと ても貴重な経験をさせて頂きました。そして多大な時間を割いて議論させて頂い た非線形物理研究室の田中先生に心から御礼申し上げます。これまでの経験は何 一つ無駄はなく、今後の人生の糧になると確信しております。最後に、私が困難 に直面した時、常に支えてくれた研究室メンバー、学友そして家族に深く感謝申 し上げます。
参考文献
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[12] L. Mower, Projection-operator approach to perturbation theory, Phys. Rev.
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