2.2 2 次元接合関数の 1 パラメータ族の例
A.2 多次元アルキメデス型接合関数
定義により，正準ヴァインでは各木Tiにおいて，d−i本の辺で結ばれて いる頂点が唯一つ存在する．上の例では変数1からその重要度の順に変数 が並んでいるものと考えられる．d= 5について対応するヴァインのグラフ 表示は図5のようになる．
T1 1n
2n
3n
4n
5n
12 13 14
15 12n T2
13n
14n
15n
23|1
cc24|1
##
25|1
T3
®
©
23|1ª
®
©
24|1ª ®25|1©ª
34|12 35|12 T4
®
©
34|12ª
®
©
35|12ª
45|123
図 5: 正準ヴァインのグラフ表示 (d= 5)
高次元（d≥3）では接合関数の族として使いやすいものは少ない一方で，
2.2節で述べたように，2次元接合関数については多くの具体的な族が知ら れている．そのため，上記のような2次元接合関数と条件付き分布関数の みを用いて一般の多次元分布を構成するアプローチは非常に有効であると 考えられる．しかし，このモデリングでは，条件付き接合関数が条件付け 変量に依存しないという形になっており，これがどのくらい一般性を失う ことになるのか，その影響についてはわかっていない．また，このクラス の同時分布で表現される従属性についての理解もまだ十分に進んでいると は言えないのが現状である．
ヴァインの平易な解説と多次元従属性モデリングについてはKurowicka and Cooke (2006)を参照せよ．Aas et al. (2009)は，多次元分布の対接合関 数構成に関して，その分布からの乱数発生法やモデル選択，統計的推測の 方法について様々な提案を行っている．ヴァイン接合関数全般について，最 新の成果をまとめた有益な書物としてはKurowicka and Joe (2011)がある．
と書いておく．さらに次の定義を置く．
定義 A.4 ψがアルキメデス生成素であるとは，ψが単調減少かつ連続であ り，ψ(0) = 1, limx→∞ψ(x) = 0を満たし，さらに[0,inf{x: ψ(x) = 0})上 で狭義単調減少となることである．
まず問題になるのは，dを1つ固定したとき，Cが接合関数となるために ψが満たすべき条件であるが（すべてのdについて上のCが接合関数とな るための条件はψが完全単調の場合である），最近McNeil and Neˇslehov´a
(2009)により必要十分条件が得られた．まず，d単調性を定義する．
定義 A.5 実数値関数fが(a, b)上でd単調であるとは（a,b ∈ R, d≥2），
fがd−2回微分可能であり，導関数がすべてのx∈(a, b)に対して (−1)kf(k)(x)≥0, k = 0,1, . . . , d−2
を満たし，かつ(−1)d−2f(d−2)が単調減少な凸関数となることである．
この定義を用いれば，(A.2)のCが接合関数となるための必要十分条件は次 のように述べられる．
定理 A.6 ψをアルキメデス生成素とする．このとき，(A.2)で定義される 関数Cがd次元接合関数であるためには，ψがd単調であることが必要十 分である．
アルキメデス生成素ψが完全単調であるためには，ψが非負確率変数の ラプラス変換となることが必要十分である（Widder (1946)参照）．これに 類似の結果を述べるためには，次の定義が必要である．
定義 A.7 (Williamson(1956)) Xを非負確率変数，F をその分布関数と する．F のWilliamson d変換とは，
WdF(x) = Z
(x,∞)
³ 1−x
t
´d−1
dF(t) =
E
³ 1− x
X
´d−1 +
x >0のとき 1−F(0) x= 0のとき で定義される[0,∞)上の関数WdF である．
定理 A.8 アルキメデス生成素ψがd単調であるためには，ψが，0に正の 確率をもたない非負確率変数の分布関数F のWilliamson d変換であること が必要十分である．
この証明については，Williamson (1956)とMcNeil and Neˇslehov´a (2009) を参照せよ．後者の論文では，このクラスの接合関数と`1ノルム対称分布 の関係についても詳述している（`1ノルム対称分布についてはFang et al.
(1990)も参照せよ）．Genest et al. (2011)は，さらに進んで多変量アルキメ デス型接合関数モデルに関する統計的推測と漸近理論を論じており，いく つかの未解決の課題も提示されている．
B 数学付録
定理2.2の証明 X = (X1, . . . , Xd)が分布関数F をもつとする．また，
V1, . . . , Vdを独立，かつ同一分布U(0,1)をもつ確率変数とし，Xとは独立 であるとする．Fi(x−) := limt↑xFi(t)とするとき，
Ui := (1−Vi)Fi(Xi−) +ViFi(Xi), i= 1, . . . , d
で定義される確率変数U1, . . . , Udの分布関数を Cとおく．Ui が一様分布 U(0,1)に従うことは容易に確認できる．さらに，Ui ≤Fi(xi)⇔Fi−1(Ui)≤ xiであり，確率1でFi−1(Ui) =Xiとなることを用いれば，
P(U1 ≤F1(x1), . . . , Ud≤Fd(xd)) = P(X1 ≤x1, . . . , Xd ≤xd) が得られる．よって，(2.1)が成り立つ． ¥
この証明はMoore and Spruill (1975)によるものであるが，与えられた分 布をもつ確率変数をある確率空間上に構成できるというKolmogorovの定理 を暗に用いているため，他の直接的な証明（例えばNelsen (2006)参照）よ りはるかに簡単になっている．
定理2.3の証明 同時分布関数Cをもつ確率ベクトル(U1, . . . , Ud)を考え ると，明らかにすべてのiに対して
C(u1, . . . , ud) = P¡
{U1 ≤u1} ∩ · · · ∩ {Ud≤ud}¢
≤P(Ui ≤ui) = ui が成り立つから，(2.3)の2番目の不等号が示される．次に，確率の劣加法 性より
C(u1, . . . , ud) = P¡
{U1 ≤u1} ∩ · · · ∩ {Ud≤ud}¢
= 1−P¡
{U1 > u1} ∪ · · · ∪ {Ud > ud}¢
≥1− Xd
i=1
P(Ui > ui) = 1− Xd
i=1
(1−ui) = Xd
i=1
ui−d+ 1
C(u1, . . . , ud)≥0は明らかだから，これで(2.3)の下限が示された． ¥ (2.4)の証明 分布関数F をもつ確率ベクトル(X1, X2)と，それとは独立に 分布関数F をもつ(Xe1,Xe2)を考えると，
2 cov(X1, X2) = E£
(X1−Xe1)(X2−Xe2)¤ と書ける．ここで，任意のa ∈Rとb∈Rに対して，
a−b = Z ∞
−∞
¡1{b≤x}−1{a≤x}¢ dx
という恒等式を(X1−Xe1)と(X2−Xe2)に適用すると，Fubiniの定理から 2 cov(X1, X2)
= E
·Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
³ 1{Xe
1≤x1}−1{X1≤x1}
´ ³ 1{Xe
2≤x2}−1{X2≤x2}
´
dx1dx2
¸
= 2 Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
[P(X1 ≤x1, X2 ≤x2)−P(X1 ≤x1)P(X2 ≤x2)]dx1dx2 を得る（この証明はLehmann (1966)による）． ¥
定理2.6の証明 まず定理の後半から示す．定理2.3から，
max{F1(x1) +F2(x2)−1,0} ≤F(x1, x2)≤min{F1(x1), F2(x2)} が成り立つが，F1とF2が固定されていれば，F(x1, x2)の接合関数がC(u1, u2)
= min{u1, u2}であるとき，すなわちX1とX2が共単調の場合に，(2.4)の 被積分関数は各点で最大化される．同様に，被積分関数が最小化されるの は，X1とX2が反単調である場合である．
次に，明らかにρ≥0であるが，ρ= 0ではあり得ない．なぜならば，す べてのx1, x2に対して，min{F1(x1), F2(x2)}=F1(x1)F2(x2)が成り立つと，
F1かF2が1点に退化した分布となってしまい，それは分散がゼロではない という仮定に反するからである．同様の議論により，ρ <0も得られる．さ らに，混合分布λW(F1, F2) + (1−λ)M(F1, F2), 0 ≤ λ ≤ 1を考えること により，ρとρの間の任意の値ρを相関係数とする同時分布を作ることがで きる． ¥
定理2.7の証明 Fiは連続だからFi(Fi−1(ui)) = uiが成り立つ．このこと
から，X1, . . . , Xdが独立ならば，C = Πとなることは明らかである．逆に
C = Πとすると，F の連続性よりCは(2.2)で一意的に与えられるから，
F¡
F1−1(u1), . . . , Fd−1(ud)¢
=u1· · ·udがすべての(u1, . . . , ud)∈[0,1]dについ て成り立たなければならない．xi =F1−1(u1)とおくと，{(x1, . . . , xd) : (u1, . . . , ud)∈ [0,1]d}はFの台となる．Fi(xi) = uiだからF(x1, . . . , xd) =F1(x1)· · ·Fd(xd) が容易に従う． ¥
定理2.8の証明 定義を素直に確認していけばよい． ¥ 定理2.9の証明 ui ≥vi，i= 1, . . . , dとw1, . . . , wdに対して，
C(w1, . . . , ui, . . . , wd)−C(w1, . . . , vi, . . . , wd)
= P(U1 ≤w1, . . . , vi < Ui ≤ui, . . . , Ud≤wd)≤P(vi < Ui ≤ui) =ui−vi ここで，(U1, . . . , Ud)は分布関数Cをもつ確率ベクトルである．よって，任意 のui,vi，w1, . . . , wdに対して，|C(w1, . . . , ui, . . . , wd)−C(w1, . . . , vi, . . . , wd)|
≤ |ui−vi|が成り立つ．これを繰り返し用いると，
|C(u1, . . . , ud)−C(v1, . . . , vd)|
≤ |C(u1, . . . , ud)−C(u1, v2, . . . , vd)|+|C(u1, v2, . . . , vd)−C(v1, . . . , vd)|
≤ |C(u1, . . . , ud)−C(u1, v2, . . . , vd)|+|u1−v1|
≤ |C(u1, . . . , ud)−C(u1, u2, . . . , vd)|+|C(u1, u2, . . . , vd)−C(u1, v2, . . . , vd)| +|u1−v1|
≤ |C(u1, . . . , ud)−C(u1, u2, . . . , vd)|+|u2−v2|+|u1−v1|
≤ · · · ≤ Xd
i=1
|ui−vi|. ¥
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