[定理４.11.２](１次独立な系 の各成分 の不動点定理)
系 を １ 次 独 立 な 系 に 選 ぶ ． パ タ ー ン か ら 抽 出 さ れ た 第 番 目 の 特 徴 量 として，式 (4.11.10) を採用する．このとき，不動点式 (4.9.16) が成り立つ．
(証明) のとき，式 (4.9.17) が成り立ち，以後，補助定理４.11.１を適用すればよ
い． □
(定理４.11.１の証明) ２.２節の４性質①〜④を満たすことを示す．
性質①の成立の確かめ：
(4.11.20) であるから，以後，補助定理４.11.１を適用すれば，明らか．
性質②の成立の確かめ： を任意の正定数として， を式 (4.2.11) の如くおく． の定義式 (4.9.2) ， 並びに， の定義式(4.11.17)より，次の (イ) , (ロ) が成立する．
(イ)
このとき， を得，補助定理４.11.１を適用すれば，
(4.11.21) を得る．
(ロ)
２式 (4.9.24) , (4.9.25) がわかり， の定義式 (4.9.2) より，式 (4.9.26) の成立がわかる．
性質③の成立の確かめ： を式 (4.2.15) の如くおく．
u
の定義式 (4.11.17) より，(4.11.22) (4.11.23) がわかり，更に， の定義式 (4.9.2) より，
(4.11.24) がわかり，補助定理４.11.１を適用すれば，式 (4.2.17) を得る．
性質④の成立の確かめ：補助定理４.11.１を適用すれば，明らか． □
を満たす閾値の組
(4.12.2) を用意する．そして，式 (4.9.4) の計算規則を設ける．
このとき，パターン から抽出される１次展開式 (4.8.6) での１次結合係数 の，式
(4.11.8) の組 の定数倍から，次のパターン から抽出される特徴
量 の，式(4.11.9)の組 を得る：
(4.12.3)
□ そうすると，次の定理４.12.１が成り立ち，パターン の１次展開係数 が簡単化されたパター ンモデル が得られたことがわかる．次の定理４.12.１が成り立ち，パターン の１次展開係 数 の絶対値が小の場合，0になるパターンモデル が得られたことがわかる．不等式
(4.12.4)
を満たす パターン 内の雑音部分 は除去されて，パターン モデル は0になることがわかる．
[定理４.12.１]( 基底系 を使った小雑音除去型モデルの構成定理)
系 を1次独立な系に選ぶ．パターン から抽出された第 番目の特徴量 と
して，式 (4.12.3) を選ぶ．このとき，式 (4.9.2) で定義される式 (2.8) のモデル構成作用素 は２.２の４
性質①〜④）を満たす． □
上述の定理４.12.１を証明するため，次の補助定理４.12.１を証明する．
[補助定理４.12.１](不動点定理)
各閾値 ,の設定式 (4.12.1) に基づく の定義式(4.9.2)では，
(4.12.5) ならば，式 (4.11.13) が成り立ち，特に， ならば不動点式(4.2.4)が成り立つ．
(補助定理４.12.１の証明)
パターン
1
の１次展開式 (4.8.6) の成立に注意しておく．(イ)
式 (4.11.14) が成り立ち， の定義式 (4.9.2) より，式 (4.11.15) が成り立ち,式 (4.11.16) が得られる．
(ロ)
の定義式 (4.12.3) より，
(4.12.6) を得， ＝−1, 0, ＋1の３つの場合に分けて，不等式 (4.12.1) に注意しながら，確かめれば，
２式 (4.11.18) , (4.11.19) が成り立つことがわかる． □ 補助定理４.12.１を適用して，次の定理４.12.２が得られ，基底としての１次独立な系 の各 成分 は誤差なく再現されることがわかる．
[定理４.12.２](１次独立な系 の各成分 の不動点定理)
系 を１次独立な系に選ぶ．パターン から抽出された第 番目の特徴量 として，式 (4.12.3) を採用する．このとき，不動点式 (4.9.16) が成り立つ．
(証明) のとき，式 (4.9.17) が成り立ち，以後，補助定理４.12.１を適用すればよ
い． □
(定理４.12.１の証明) ２.２節の４性質①〜④を満たすことを示す．
性質①の成立の確かめ：式 (4.11.20) が成り立つから，であるから，以後，補助定理４.12.１を適用す れば，明らか．
性質②の成立の確かめ： を任意の正定数として， を式 (4.2.11) の如くおく． の定義式 (4.9.2)，
並びに， の定義式(4.12.3)より，次の(イ),(ロ)が成立する．
(イ)
このとき， を得，補助定理４.12.１を適用すれば，式 (4.11.21)を得る．
(ロ)
２式 (4.9.24) , (4.9.25) がわかり， の定義式 (4.9.2) より，式 (4.9.26) の成立がわかる．
性質③の成立の確かめ： を式(4.2.15)の如くおく．
u
の定義式 (4.12.3) より，(4.12.7) 大分類関数BSC
がわかり，更に， の定義式 (4.9.2) より，式 (4.11.24) がわかり，補助定理４.12.１を適用すれば，式 (4.2.17) を得る．
性質④の成立の確かめ：補助定理４.12.１を適用すれば，明らか． □