区 分求 積法によ る定 数ｙ＝ １ の積分

1 1.2.1.直感的な積分の理解法 

  上の直感的な積分の仕方では，ｙ＝ｘの微分は傾 きから計算して１なので，その傾き 1 を上の図に描

いていって積分するというものであった．この方法と区分求積法による小さな面積に分割してそれを足し合 わせて積分する方法を比較してみてみよう． 

!"#$

% & '

( ) * - + . (,

, (

% )

&

/"0$

1!213

"#20$

, (

% & '

( ) * - + . (,

4(

%

/"0$

56 76

       

      図 11− 2   

  267 

  左図は，微分した下の波形を Δ=１ずつ分割して，それらを足し合わせていくと上のｙ＝ｘの積分波形に 近いものが得られることを示している．ｘ＝1 と 2 の間は微分波形の 2 つの正方形が積み上がって積分波形 になり，ｘ＝４と 5 の間は 5 つの正方形が積み上がって積分波形になっている．その右図は分割数を 2 倍に して Δ=１／2 とした場合である．微分波形での面積が半分になったので，積み上げる正方形の 高さも 半分になる．下の長方形をそのまま積み上 げるわ けではなく，面積を高さに変えて積み上げる ．（Δ= １の時だけそのまま積み上げる）．ｘ＝1 と 1.5 の間は微分波形の 3 つの正方形が積み上がって積分波形にな っている．さらにΔ=１／4 としたときを一番右に示す．このように分割数を増やすと一つあたりの面積が減 少するので，積み上げていく時の高さが低くなり，積分波形に近づいていくことがわかる． 

 

微分 積分 微分 積分

 

微分 積分

 

図 11-3 

 

1 1.2.2.級数の極限としての積分 

    y=1 を a からｂまで積分するということは，下図に示すように a から b までを n 個に分割して, 

!

!

"

#

#$%$!$

&

!

' (

       図 11-4 

その刻み幅を 

  268       

! = b " a

n

 

とし，それを足し合わせて面積を求めることである．高さが１で刻み幅がΔのｎ個の長方形の集まりなので， 

   

S

_n

[ a ! b ] ^{= 1 ! " + 1! " + 1 ! " + !!! + 1! "}

" $$$$ $ #

n

$$$$$ % = n" = n b # a

n = (b # a)

 

結局，面積は(b-a)になる．このように積分する範囲を分割してそれを足し合わせる計算法を区分求積法と 呼ぶ．即ち，ｙ＝１を積分するということは,等分割したｎ個の小さな長方形の数列， 

     

y = ( ) 1! " ^{, 1} ( ) ^{! " , 1} ( ) ^{! " , 1} ( ) ^{! " , 1} ( ) ^{! " , 1! "} ( ) ^{, 1! "} ( ) ^{, !!!}

 

を足し合わせる（級数 S_nを求める）ことである． 

     

S

_n

= ( ) 1! " ⁺ ( ) ^{1! " +} ( ) ^{1! " + !!!+} ( ) ^{1! " = n} ( ) ^{1 ! "}

 

   結局,積分とは，分割数ｎを無限に増やして，刻み幅を無限に小さくしたときに得られる面積の総和であ る．刻み数ｎを無限に増やすとΔは限りなく小さくなる．これを dx とおいて，積分は足し算で総和（級数）

であるからこれを積分記号

!

^で表す． 

  この積分記号を用いると，y=1 の a からｂまでの積分は 

 

1! dx

a

"

b

^{= dx}

a

"

b

^{= lim}

n#$

&

ⁿ

1! % ^{= lim}

_n#$

^{n ! (} _)* ^{b '} _n ^{a +} _,- ^{= b ' a}

 

このとき分割数ｎは割り算されて表には出てこない． 

  数列と級数は被積分関数と積分に対応することを第６章ですでに述べた．それを詳しく見てみよう．簡単 な例として０から 20 までを区分求積法で積分すると 

       

1! dx

0

20

" ^# %

_i=1²⁰

^{1! $ = ( 1 + 1 + 1 + !!! + 1 ) $ = 20$}

 

となる．これは刻み幅をΔ=1 としたとき，図 11− 4 のように表される．左図はｙ＝１のグラフを等分割した ものであり，右図はそれに対応する級数を正確に描いたものである．左図で n=1 から n=20 まで積分すると いうことは，右図の x 軸上の n=20 の位置で，左図の n=1 から n=20 番目までの”タイル”の高さを y 軸方向 に足しあわせるということである．従って，右図の n=20 番目の一番上のタイルの高さは被積分関数の高さ である．このようにこの図から微分と積分の関係を理解することができる．なお，刻みを無限に小さくする とｙ＝ｘのグラフと等しくなることがわかる．（注：左図と右図の小さな正方形の”タイル”の面積が等し

  一般に，関数 f(x) の下の x=a から x=b までの面積を積分することを定積分と呼び 

  

S

_ab

= lim

n!"

f (x

_i

i=1

#

n

^{)$x = f (x) dx}

a

%

b      

で表す．刻み幅を無限に小さくした場合の面積の総和の極限を 

 

lim

n!"

i=1

#

n

^$

a

%

b    

で表す．この積分記号（インテグラル）は Summention（和）の頭文字 S を縦に引き延ばした形になって いる．そのとき，刻み幅

!x

^を

dx

^{に置き換える．} 

  269  いのは刻み幅をΔ=1 としたときのみである．）

20番目：微分値 f '(x)=1

10番目 10番目

1番目

1番目

積分値 y= f (x)= x

20番目： 

微分値 f '(x)=1

ここに積み上げる

          図 11-5 

     

  ｙ=1 の関数を dｘで積分すると，分割部の面積を足し合わせて 

y = " 1! dx ⁼ " ^{dx = x + C}

            ^{（11− 1）} 

即ち，

y = x + C

となる．1 は普通書かないが重要な意味を持つのでここではわざわざ書いている．ｘが増 大するにつれて下の面積は単調に増加する．また，直感的な積分のところで述べたように，図 11-6 の右図 に示すように積分した曲線は無数に存在するので，積分定数 C で代表し，これを不定積分という． 

! "!

#

!

$

$%&%#%

'

#

    

      図 11-6 

積分したものを微分すると元の関数にもどるが，定数 C を微分すると傾きは０となる． 

! dx ^{= x + 1}

   

! ^{dx = x + 999}

 

もまた積分の答えである．積分定数 C は別の条件が与えられて初めて決まる． 

  同様に，積分する関数記号が異なっても 

! dy ⁼ ! ^{1" dy = y + C}

 ^, 

! ^{ds =} ! ^{1" ds = s + C}

^, 

! ^{dt =} ! ^{1 " dt = t + C}

^，

! ^{d = + C}

 

が成り立つ． 

 

［例題１］次の不定積分を求めよ． 

    数列被積分関数    級数積分  

  270 

    （１）

" d!

^{,  （２）}

! ^adz

^, （３）

' ^{d !} _"# ^dy _dx ^$ _%&

^{,  （４）} 

' ^{d !} _"# ^d _dx

²

^y

²

^$ _%&

 

［解答］（１） 

" d! ⁼ " ^{1# d! = ! + C}

,      （２） 

! adz ^{= a} ! ^{1 " dz = az + C}

^,  

   （３） 

d dy dx

! "# $

%&

' ^{= dy} _dx ^{+ C}

,       （４） 

d d

²

y dx

²

!

"#

$

%&

' ^{= d} _dx

²

^y

²

^{+ C}

 

 [ 問題 1 1—１]次の不定積分を求めよ． 

    （１）

! k dx

      ^（２）

! ^{df (x)}

 

         

  微分係数

dy / dx = 1

^の積分： 

これを簡単に行うには， 

（１）

dy = 1! dx

と書き直して，両辺を積分して       

y = ! dy ⁼ ! ^{1" dx = x + C}

 

（２）

dy / dx = 1

^{を x で積分して} 

     

dy dx dx

! ⁼ ! ^{1" dx = x + C}

 

  左辺は,かけ算ができて 

     

dy dx dx

! ⁼ ! ^{dy = y}

  ^ 

^{y = x + C}

 

ここが記号法の非常に重要な点である． 

  さらに重要な例は 

    

d

²

y dx

²

! ^{dx =} ! _dx ^{d "} _{#$ dx} ^{dy %} _&' ^{dx =} ! _dx ^{d "} _{#$ dx} ^{dy %} _&' ^{dx =} ! ^{d "} _#$ ^dy _dx ^% _&' ^{= dy} _dx ^{+ C}

 

で，dx は記号としてかけ算，割り算ができる． 

               

定積分：y=1 を a からｂまで積分するというような，積分する範囲が具体的に決まっている積分であり，次 のように書く． 

積分計算の基礎：これが大事！！  四角の 中は何 でも同じであれば成り立つ． 

     

! d ^{" = " + C}

 

微分と積分の関係 

     

  271 

 

dx

a

!

b

^{= [ ] x}

^ab

^{= b " a}

 

a-b 間の面積なので 1x(a-b)となる．これはまた，０からｂまでの積分から,０から a までの積分を差し引い たものと同じであるから， 

dx

a

!

b

^{= dx}

0

!

b

^{" dx}

0

!

a

^{= [ ] x}

^b0

^{" [ ] x}

^0a

^{= b " a}

 

[例題２]次の定積分を求めよ． 

（１）

kdx

a

!

b       ^（２）

^{d !}

c

"

d     ^（3）

^{d !}

0

"

x      ^（４）

^{d !}

0

"

z  

［解答］ (1) 

k dx

a

!

b

^{= k x [ ]}

^ab

^{= k b ( " a )}

 ⁽²⁾ 

^{d !}

c

"

d

^{= [ ] !}

^cd

^{= d # c}

 ⁽³⁾

^{d !}

0

"

x

^{= [ ] !}

^0x

^{= x}

 ⁽⁴⁾ 

^{d !}

0

"

z

^{= [ ] !}

^0z

^{= z}

 

  11．3.１次関数ｙ＝ｘの積 分 

  区分求積法によって，関数 y=x の０からｂまでの定積分を求める． 

    ^!

!

" "#$#!#

%

! 2! 3!4!

&  

図 11-7 

ｘ軸方向の０からｂまでを n 個に分けて，刻み幅をΔ=b/n とすると，ｙ＝ｘの関数より，矩形の面積は以下 のようになる． 9 .5. 1 で行った級数の計算結果を用いて， 

S

_n

= ( 0 + ! + 2! + 3! + 4 ! + 5 ! + """ + n! ) ^{! =} ( ^{0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +} """ + n ) ^!

²

!!!= k

k=0

#

n

$

%&

'

() !

²

= n n ( + 1 )

2 !

²  

ここで，n->∞とし，刻みを無限小にすると， 

xdx

0

!

b

⁼

n"#

^lim S

_n

= lim

n"#

n n ( + 1 )

2 b n

$ %& ' ()

2

= b

²

2 lim

n"#

1 + 1 n

$ %& '

() = b

²

2

 

結局， 

xdx

0

!

b

^{= 1} ₂ ^b

² 

となる．これは以下の様にかける． 

  272       

xdx

0

!

b

^{= 1} ₂ ^{"# $% x}

^{2 b0}

^{= 1} ₂ ^b

²

^{& 1} ₂ ⁰

²

^{= 1} ₂ ^b

² 

 

  y=x を０から 10 までを区分求積法で積分すると 

     

x dx

0

10

! ^"

_k

$

¹⁰₌₀

^{( ) k# # = ( 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + %%% + 10 ) #}

²

^{= 55#}

² 

となる．ｙ=x の被積分関数の刻み幅

! = 1

の点に対応する数列を左に，右にその数列の和(級数＝積分値)を 図 11− 8 に示す．即ち，前に説明したようにｙ=x を０から１０まで積分することとは，左図の 1 番目から 10 番目までの 10 個の長方形を，右図のｘ＝10 番目の位置において順番に下から 10 個積み重ねていったと きの高さを求めることである．また，積分の最後の項(右図の 10 番目の高さ  f’(x))が変化分で，それが 左 図の被積分関数(f’(x))に等しいことも分かる． 

10番目：

微分値 f '(x)=x

5番目 5番目

1番目

1番目

積分値 y= f (x)= x²/2

10番目： 

微分値 f '(x)=x

        図 11-8 

 

不定積分 

  図 11-7 において，bx とおくとｙ＝ｘの直線の下の，０からｘまでの面積は下の三角形で与えられるの で， 

x dx

0

!

x

^{= 1} ₂ ^x

²

^{+ C}

            ^{（11− 2）} 

これは三角形の面積を計算するときに出てくる 1/2 である．  

              

微分と積分の関係 

   

 

  273  [例題３] 

! d !

a

"

b ^{を求めよ．}   

［解答］   

!d!

a

"

b

^{= #} _$ ^{% !} ₂

²

^& _' ⁽

a b

= b

²

2 ) a

²

2

 

 [ 問題 1 1 − 2]次を積分せよ． 

（1）

ydy

a

!

b       ^（2）

^tdt

0

!

5  

 

11.4.２次関数ｙ＝ｘ

^２

の積分 

  前と同様に等分割区分求積法によって，０からｂまでの定積分を求める．刻みをΔ=b/n とすると，ｙ＝ｘ

２の関数より，矩形の面積は以下のようになる． 9.5.2 で得た計算結果を用いて， 

S

_n

= ( 0 + !

²

+ ( ) 2!

²

⁺ ( ) ^3!

²

⁺ ( ) ^4!

²

⁺ ( ) ^5!

²

⁺ """ + ( ) n!

²

) ^!

!!!= ( 0 + 1

²

+ 2

²

+ 3

²

+ 4

²

+ 5

²

+ """ + n

²

) ^!

³

^{= k}

²

k=1

#

n

$

%&

'

() !

³

!= n n ( + 1 ) ( ^{2n + 1} )

6 !

³ 

ここで，n->∞とし刻みを無限小にすると， 

xdx =

0

!

b

^lim

n"#

S

_n

i=1

$

n

^{= lim}

_n"#

^{n n ( + 1 )} ₆ ^{( 2n + 1 ) %} _&' ^b _n ⁽ _)*

³

^{= b} ₆

³_n"#

^{lim %} _&' ^{1 + 1} _n ⁽ _)* ^% _&' ^{2 + 1} _n ⁽ _)* ^{= b} ₃

³  

結局， 

x

²

dx

0

!

b

^{= b} ₃

³  

この１／３は角錐や円錐の体積を求めるときに現れる係数と同じである． 

  被積分関数と積分の関係を，刻み幅をΔ=0.5 の場合の数列と級数で表すと下図（図 11-9）のようになる． 

分割数が ２倍に なり幅 が半分に なった ので， 右図 の長方形 の高さ は半分 になり， 積分曲 線によ り近 づいていくことがわかる． 

 

   

y=x²

y=x³/3

        図 11-9 

 

不定積分：図 11-９においての 0~ｘで積分すると 

  274 

x

²

dx

0

!

x

^{= 1} ₃ ^x

³

^{+ C}

            （1 1 − 3 ） 

             

x 方向に積分すると x³の 1/3 になる．結局，ｘ，ｙ，ｚ方向の３方向に０からｘまで積分すると， 

x

²

dx

0

!

x

^{+ y}

²

^dy

0

!

x

^{+ z}

²

^dz

0

!

x

^{= x}

³ 

となり全体積 x³になる．即ち，係数が１/３となる理由は，自 由度が３である体積を求めるために一方向にのみ積分する

（自由度 1）結果，自由度３で割らなければいけないというこ とである．このように体積の１／３は x²の積分に現れる１／

３と同じであることがわかる． 

  注：図 11-10 に示す 3 つの三角錐からなる三角柱の場合，

その体積は三角柱の体積の１／３になることがよくわかる．

図に示すように，”底面１と高さ１”と”底面２と高さ２”の 三角錐は同じ体積である．残りの体積は全体の１／３であり，

それは今度は”底面３と高さ３”からなる三角錐であり，こ れで全三角柱を埋め尽くすことになる． 

［例題 4 ］次を積分せよ．

y

²

dy =

a

!

b  

y

²

dy =

a

!

b

^" _# ^{$ y} ₃

³

^% _& ^'

a b

= b

³

3 ( a

³

3

 

 

［問題 11—３］次の定積分をせよ． 

（１）

x

²

dx

!a

"

a     ^{（2 ）}

^z

²

^dz

a

!

a     ^{（3 ）}

^t

²

^dt

0

!

5  

   

  11.5.３次関数の積分 

x

³

dx

0

!

x

^{= 1} ₄ ^{x + C}

               ^(11-4) 

面積は x⁴の４次元の座標の自由度４で割った値になる． 

 

  ここで今までに得た情報を整理してみよう． 

!"#

$%&

$%'

$%#

!"'

!"&

        図 11-10   

微分と積分の関係 

 

  275 

(1) 

y = x

  ⁽²⁾ 

y = x

^2   (3) 

y = x

³ の場合のｘ＝０~１までの積分値(灰色の部分)を下図（図 11-11）

に示す．   

        図 11-11 

これらの関数は,ｙ軸を水平軸，ｘ軸を垂直軸として眺めると， 

(1) 

x = y

  ⁽²⁾ 

x = y

^1/2  (3) 

x = y

^1/3  

  である．白色の残りの部分がｙ＝０~１までの積分値である． 

(2)の白色部分の面積は 

y

^1/2

dy =

0

!

1

₁ ¹

2 + 1

= 2

3

 

(3)の白色部分の面積は 

y

^{1/ 3}

dy =

0

!

1

₁ ¹

3 + 1

= 3

4

 

となることより， 

x

^m

dx

0

!

1

⁼ _m ¹ _{+ 1}

 

となることが推測できる． 

 

ドキュメント内 Δ =,, 3, 4, 5, L n = n (ページ 61-70)