例3 Z= 61 61 = (4 + 3√
−5)(4−3√
−5) α= 4 + 3√
−5 とする。
Z[√
−5]/(4 + 3√
−5)∼=Z[X]/(X2+ 5,4 + 3X) J = (X2+ 5,4 + 3X)とする。
3(X2+ 5)−(X−1)(4 + 3X) = 19−X =Y これから
X = 19−Y
X2+ 5 = (19−Y)2+ 5 =Y2−38Y + 366 4 + 3X= 4 + 3(19−Y) =−3Y + 61 したがって
J = (Y2−38Y + 366,−3Y + 61)⊃(Y) このとき
366 = 2·3·61 なので
Z[X]/J∼= (Z[Y]/(Y))/J ∼=F61
ゆえに、αによる剰余環は体になる。
例4 Z= 89 89 = (3 + 4√
−5)(3−4√
−5) α= 3 + 4√
−5 とする。
Z[√
−5]/(3 + 4√
−5)∼=Z[X]/(X2+ 5,3 + 4X) J = (X2+ 5,3 + 4X)とする。
4(X2+ 5)−(X−1)(3 + 4X) =X+ 23 =Y これから
X =Y −23
X2+ 5 = (Y −23)2+ 5 =Y2−46Y + 534 3 + 4X= 3 + 4(Y −23) = 4Y −89 したがって
J = (Y2−46Y + 534,4Y −89)⊃(Y) このとき
534 = 5·89 なので
Z[X]/J∼= (Z[Y]/(Y))/J ∼=F89
ゆえに、αによる剰余環は体になる。
例5 Z= 101 101 = (9 + 2√
−5)(9−2√
−5) α= 9 + 2√
−5 とする。
Z[√
−5]/(9 + 2√
−5)∼=Z[X]/(X2+ 5,9 + 2X) J = (X2+ 5,9 + 2X)とする。
2(X2+ 5)−(X−4)(9 + 2X) = 46−X =Y これから
X = 46−Y
X2+ 5 = (46−Y)2+ 5 =Y2−92Y + 2121 9 + 2X= 9 + 2(46−Y) =−2Y + 101 したがって
J = (Y2−92Y + 2121,−2Y + 101)⊃(Y) このとき
2121 = 3·7·101 なので
Z[X]/J∼= (Z[Y]/(Y))/J ∼=F101
ゆえに、αによる剰余環は体になる。
例6 Z= 109 109 = (8 + 3√
−5)(8−3√
−5) α= 8 + 3√
−5 とする。
Z[√
−5]/(8 + 3√
−5)∼=Z[X]/(X2+ 5,8 + 3X) J = (X2+ 5,8 + 3X)とする。
3(X2+ 5)−(X−3)(8 + 3X) =X+ 39 =Y これから
X =Y −39
X2+ 5 = (Y −39)2+ 5 =Y2−78Y + 1526 8 + 3X= 8 + 3(Y −39) = 3Y −109
したがって
J = (Y2−78Y + 1526,3Y −109)⊃(Y) このとき
1526 = 2·7·109 なので
Z[X]/J∼= (Z[Y]/(Y))/J ∼=F109
ゆえに、αによる剰余環は体になる。
例7 Z= 149 149 = (12 +√
−5)(12−√
−5) α= 12 +√
−5 とする。
Z[√
−5]/(12 +√
−5)∼=Z[X]/(X2+ 5,12 +X) J = (X2+ 5,12 +X)とする。
12 +X=Y とする。
X2+ 5 = (Y −12)2+ 5 =Y2−24Y + 149 したがって
J = (Y, Y2−24Y + 149)⊃(Y)よって Z[X]/J∼= (Z[Y]/(Y))/J ∼=F149
ゆえに、αによる剰余環は体になる。
例8 Z= 181 109 = (1 + 6√
−5)(1−6√
−5) α= 1 + 6√
−5 とする。
Z[√
−5]/(1 + 6√
−5)∼=Z[X]/(X2+ 5,1 + 6X) J = (X2+ 5,1 + 6X)とする。
30(X2+ 5)−(5X−1)(1 + 6X) =X+ 151 =Y これから
X =Y −151
X2+ 5 = (Y −151)2+ 5 =Y2−302Y + 22806 1 + 6X= 1 + 6(Y −151) = 6Y −905
したがって
J = (Y2−302Y + 22806,6Y −905)⊃(Y) このとき
22806 = 2·32·7·181 905 = 5·181
なので
Z[X]/J∼= (Z[Y]/(Y))/J ∼=F181
ゆえに、αによる剰余環は体になる。
例9 Z= 229 229 = (7 + 6√
−5)(7−6√
−5) α= 7 + 6√
−5 とする。
Z[√
−5]/(7 + 6√
−5)∼=Z[X]/(X2+ 5,7 + 6X) J = (X2+ 5,7 + 6X)とする。
6(X2+ 5)−(X−1)(7 + 6X) = 37−X =Y これから
X = 37−Y
X2+ 5 = (37−Y)2+ 5 =Y2−74Y + 1374 7 + 6X= 7 + 6(37−Y) =−6Y + 229 したがって
J = (Y2−74Y + 1374,−6Y + 229)⊃(Y) このとき
1374 = 2·3·229 なので
Z[X]/J∼= (Z[Y]/(Y))/J ∼=F229
ゆえに、αによる剰余環は体になる。
例10 Z = 241 241 = (14 + 3√
−5)(14−3√
−5) α= 14 + 3√
−5とする。
Z[√
−5]/(14 + 3√
−5)∼=Z[X]/(X2+ 5,14 + 3X) J = (X2+ 5,14 + 3X)とする。
3(X2+ 5)−(X−5)(14 + 3X) =X+ 85 =Y これから
X =Y −85
X2+ 5 = (Y −85)2+ 5 =Y2−170Y + 7230 14 + 3X = 14 + 3(Y −85) = 3Y −241 したがって
J = (Y2−170Y + 7230,3Y −241)⊃(Y) このとき
7230 = 2·3·5·241 なので
Z[X]/J∼= (Z[Y]/(Y))/J ∼=F241
ゆえに、αによる剰余環は体になる。
例11 Z = 269 269 = (12 + 5√
−5)(12−5√
−5) α= 12 + 5√
−5とする。
Z[√
−5]/(12 + 5√
−5)∼=Z[X]/(X2+ 5,12 + 5X) J = (X2+ 5,12 + 5X)とする。
10(X2+ 5)−(2X−5)(12 + 5X) =X+ 110 =Y これから
X =Y −110
X2+ 5 = (Y −110)2+ 5 =Y2−220Y + 12105 12 + 5X = 12 + 5(Y −110) = 5Y −538
したがって
J = (Y2−220Y + 12105,5Y −538)⊃(Y) このとき
12105 = 32·5·269 538 = 2·269 なので
Z[X]/J∼= (Z[Y]/(Y))/J ∼=F269
ゆえに、αによる剰余環は体になる。
例12 Z = 281 281 = (6 + 7√
−5)(6−7√
−5) α= 6 + 7√
−5 とする。
Z[√
−5]/(6 + 7√
−5)∼=Z[X]/(X2+ 5,6 + 7X) J = (X2+ 5,6 + 7X)とする。
7(X2+ 5)−(X−1)(6 + 7X) =X+ 41 =Y これから
X =Y −41
X2+ 5 = (Y −41)2+ 5 =Y2−82Y + 1686 6 + 7X= 6 + 7(Y −41) = 7Y −281
したがって
J = (Y2−82Y + 1686,7Y −281)⊃(Y) このとき
1686 = 2·3·281 なので
Z[X]/J∼= (Z[Y]/(Y))/J ∼=F281 ゆえに、αによる剰余環は体になる。
4.2.2 (α) による剰余環が環の直和または体の無限小拡大環になる場合 (α)が、既約元であるが素元でない場合がある。
例1 Z= 6 6 = 2·3 = (1 +√
−5)(1−√
−5) Z[√
−5]/(2)∼=Z[X]/(X2+ 5,2) J1= (X2+ 5,2)とする。
X2+ 5−3·2 =X2−1 = (X+ 1)(X−1) Y =X−1 とすると
J1⊃(2) なので
X−1 =X+ 1 =Y これから
Z[√
−5]/(3)∼=Z[Y]/J1∼= (Z[Y]/(2))/(Y2)∼=F2/(Y2) これは無限小拡大環になる。
Z[√
−5]/(3)∼=Z[X]/(X2+ 5,3) J2= (X2+ 5,3)とする。
X2+ 5−3·2 =X2−1 = (X+ 1)(X−1) Y =X−1 とすると
J2= (3, Y(Y + 2))⊃(3) これから
Z[√
−5]/(3)∼=Z[Y]/J2∼= (Z[Y]/(3))/(Y(Y + 2))∼=F3/(Y(Y + 2))
2x≡1 mod 3を満たすxを求めるために、3a+ 2b= 1を満たすa, bを求めると a= 1, b=−1 となり、x=−1となる。
これから
A=−(Y + 2), B=Y とするとAB=−Y(Y + 2)∈(Y(Y + 2)) F3上において、−2≡1 mod 3なので
A+B=−2 = 1 したがって Z[√
−5]/(3)∼=F3[Y]/(A)⊕F3[Y]/(B) このとき
F3[Y]/(A)∼=F3,F3[Y]/(B)∼=F3 なので
Z[√
−5]/(3)∼=F3⊕F3
よって、(3)による剰余環は、環の直和になる。
α= 1 +√
−5 とする。
Z[√
−5]/(1 +√
−5)∼=Z[X]/(X2+ 5,1 +X) I= (X2+ 5,1 +X)とする。
1 +X =Y とする。
X2+ 5 = (Y −1)2+ 5 =Y2−2Y + 6 したがって
I= (Y, Y2−2Y + 6)⊃(Y) よって
Z[X]/I∼= (Z[Y]/(Y))/I ∼=Z/(6)∼=Z/(2)⊕Z/(3) =F2⊕F3
よって、(α) = (1 +√
−5)による剰余環は、環の直和になる。
ここで j1= (1 +√
−5,2), j2= (1 +√
−5,3) とする。
j1j2= (−4 + 2√
−5,3 + 3√
−5,2 + 2√
−5,6) このとき
3 + 3√
−5 = 3(1 +√
−5),2 + 2√
−5 = 2(1 +√
−5), 6 = (1−√
−5)(1 +√
−5),6 + (−4 + 2√
−5) = 2(1 +√
−5) なので
j1j2= (1 +√
−5)となる。
これから
6 = 2·3 = (1 +√
−5)(1−√
5) =j1j2¯j1¯j2
となり素イデアルの積で表せる。
例2 Z= 14 14 = 2·7 = (3 +√
−5)(3−√
−5)
例1より、(2)による剰余環は、無限小拡大環になる。
Z[√
−5]/(7)∼=Z[X]/(X2+ 5,7) J = (X2+ 5,7)とする。
X2+ 5−7·2 =X2−9 = (X+ 3)(X−3) Y =X−3 とすると
J = (7, Y(Y + 6))⊃(7) これから
Z[√
−5]/(7)∼=Z[Y]/J∼= (Z[Y]/(7))/(Y(Y + 6))∼=F7/(Y(Y + 6))
6x≡1 mod 7を満たすxを求めるために、7a+ 6b= 1を満たすa, bを求めると a= 1, b=−1 となり、x=−1となる。
これから
A=−(Y + 6), B=Y とするとAB=−Y(Y + 6)∈(Y(Y + 6)) F7上において、−6≡1 mod 7なので
A+B=−6 = 1 したがって Z[√
−5]/(7)∼=F7[Y]/(A)⊕F7[Y]/(B) このとき
F7[Y]/(A)∼=F7,F7[Y]/(B)∼=F7 なので
Z[√
−5]/(7)∼=F7⊕F7
よって、(7)による剰余環は、環の直和になる。
α= 3 +√
−5 とする。
Z[√
−5]/(3 +√
−5)∼=Z[X]/(X2+ 5,3 +X) I= (X2+ 5,3 +X)とする。
3 +X =Y とする。
X2+ 5 = (Y −3)2+ 5 =Y2−6Y + 14 したがって
I= (Y, Y2−6Y + 14)⊃(Y) よって
Z[X]/I∼= (Z[Y]/(Y))/I ∼=Z/(14)∼=Z/(2)⊕Z/(7) =F2⊕F7
よって、(α) = (3 +√
−5)による剰余環は、環の直和になる。
ここで j1= (3 +√
−5,2), j2= (3 +√
−5,7) とする。
j1j2= (4 + 6√
−5,21 + 7√
−5,6 + 2√
−5,14) このとき
21 + 7√
−5 = 7(3 +√
−5),6 + 2√
−5 = 2(3 +√
−5), 14 = (3−√
−5)(3 +√
−5),14 + (4 + 6√
−5) = 6(3 +√
−5) なので
j1j2= (3 +√
−5)となる。
これから
14 = 2·7 = (3 +√
−5)(3−√
5) =j1j2¯j1¯j2
となり素イデアルの積で表せる。
例3 Z= 46
46 = 2·23 = (1 + 3√
−5)(1−3√
−5)
例1より、(2)による剰余環は、無限小拡大環になる。
Z[√
−5]/(23)∼=Z[X]/(X2+ 5,23) J = (X2+ 5,23)とする。
X2+ 5−23·3 =X2−64 = (X+ 8)(X−8) Y =X−8 とすると
J = (23, Y(Y + 16))⊃(23) これから
Z[√
−5]/(23)∼=Z[Y]/J∼= (Z[Y]/(23))/(Y(Y + 16))∼=F23/(Y(Y + 16))
16x≡1 mod 23を満たすxを求めるために、23a+ 16b= 1を満たすa, bを求めると a= 7, b=−10となり、x=−10となる。
これから
A=−10(Y + 16), B= 10Y とするとAB=−100Y(Y + 16)∈(Y(Y + 16)) F23上において、−160≡1 mod 23なので
A+B=−160 = 1 したがって
Z[√
−5]/(23)∼=F23[Y]/(A)⊕F23[Y]/(B) このとき
F23[Y]/(A)∼=F23,F23[Y]/(B)∼=F23
なので Z[√
−5]/(23)∼=F23⊕F23
よって、(23)による剰余環は、環の直和になる。
α= 1 + 3√
−5とする。
Z[√
−5]/(1 + 3√
−5)∼=Z[X]/(X2+ 5,1 + 3X) I= (X2+ 5,1 + 3X)とする。
6(X2+ 5)−(2X−1)(1 + 3X) =X+ 31 =Y これから
X =Y −31
X2+ 5 = (Y −31)2+ 5 =Y2−62Y + 966 1 + 3X= 1 + 3(Y −31) = 3Y −92 したがって
I= (Y2−62Y + 966,3Y −92)⊃(Y) このとき
966 = 2·3·7·23 92 = 22·23 なので
Z[X]/I∼= (Z[Y]/(Y))/I ∼=Z/(46)∼=Z/(2)⊕Z/(23) =F2⊕F23 よって、(α) = (1 + 3√
−5)による剰余環は、環の直和になる。
ここで j1= (1 + 3√
−5,2), j2= (1 + 3√
−5,23)とする。
j1j2= (−44 + 6√
−5,23 + 69√
−5,2 + 6√
−5,46) このとき
23 + 69√
−5 = 23(1 + 3√
−5),2 + 6√
−5 = 2(1 + 3√
−5), 46 = (1−3√
−5)(1 + 3√
−5),46 + (−44 + 6√
−5) = 2(1 + 3√
−5) なので
j1j2= (1 + 3√
−5)となる。
これから
46 = 2·23 = (1 + 3√
−5)(1−3√
5) =j1j2¯j1¯j2 となり素イデアルの積で表せる。
例4 Z= 86
86 = 2·43 = (9 +√
−5)(9−√
−5)
例1より、(2)による剰余環は、無限小拡大環になる。
Z[√
−5]/(43)∼=Z[X]/(X2+ 5,43) J = (X2+ 5,43)とする。
X2+ 5−43·2 =X2−81 = (X+ 9)(X−9) Y =X−9 とすると
J = (43, Y(Y + 18))⊃(43) これから
Z[√
−5]/(43)∼=Z[Y]/J∼= (Z[Y]/(43))/(Y(Y + 18))∼=F43/(Y(Y + 18))
18x≡1 mod 43を満たすxを求めるために、43a+ 18b= 1を満たすa, bを求めると a=−5, b= 12となり、x= 12となる。
これから
A= 12(Y + 18), B=−12Y とするとAB=−144Y(Y + 18)∈(Y(Y + 18)) F43上において、216≡1 mod 43なので
A+B= 216 = 1 したがって Z[√
−5]/(43)∼=F43[Y]/(A)⊕F43[Y]/(B) このとき
F43[Y]/(A)∼=F43,F43[Y]/(B)∼=F43 なので
Z[√
−5]/(43)∼=F43⊕F43
よって、(43)による剰余環は、環の直和になる。
α= 9 +√
−5 とする。
Z[√
−5]/(9 +√
−5)∼=Z[X]/(X2+ 5,9 +X) I= (X2+ 5,9 +X)とする。
9 +X =Y とする。
X2+ 5 = (Y −9)2+ 5 =Y2−18Y + 86 したがって
I= (Y, Y2−18Y + 86)⊃(Y) ゆえに
Z[X]/I∼= (Z[Y]/(Y))/I ∼=Z/(86)∼=Z/(2)⊕Z/(43) =F2⊕F43
よって、(α) = (9 +√
−5)による剰余環は、環の直和になる。
ここで j1= (9 +√
−5,2), j2= (9 +√
−5,43)とする。
j1j2= (76 + 18√
−5,387 + 43√
−5,18 + 2√
−5,86) このとき
387 + 43√
−5 = 43(9 +√
−5),18 + 2√
−5 = 2(9 +√
−5), 86 = (9−√
−5)(9 +√
−5),86 + (76 + 18√
−5) = 18(9 +√
−5) なので
j1j2= (9 +√
−5)となる。
これから
86 = 2·43 = (9 +√
−5)(9−√
5) =j1j2¯j1¯j2
となり素イデアルの積で表せる。
例5 Z= 94
94 = 2·47 = (7 + 3√
−5)(7−3√
−5)
例1より、(2)による剰余環は、無限小拡大環になる。
Z[√
−5]/(47)∼=Z[X]/(X2+ 5,47) J = (X2+ 5,47)とする。
X2+ 5−47·2 =X2−324 = (X+ 18)(X−18) Y =X−18とすると
J = (47, Y(Y + 36))⊃(47) これから
Z[√
−5]/(47)∼=Z[Y]/J∼= (Z[Y]/(47))/(Y(Y + 36))∼=F47/(Y(Y + 36))
36x≡1 mod 47を満たすxを求めるために、47a+ 36b= 1を満たすa, bを求めると a=−13, b= 17となり、x= 17となる。
これから
A= 17(Y + 36), B=−17Y とするとAB=−289Y(Y + 36)∈(Y(Y + 36)) F47上において、612≡1 mod 47なので
A+B= 612 = 1 したがって Z[√
−5]/(47)∼=F47[Y]/(A)⊕F47[Y]/(B) このとき
F47[Y]/(A)∼=F47,F47[Y]/(B)∼=F47
なので Z[√
−5]/(47)∼=F47⊕F47
よって、(47)による剰余環は、環の直和になる。