第 4 章 結論
A.2 判別しやすさ
A.1で説明したLDAやQDAでは，可視化や計算コストの低減を目的に，線形射影に よる低次元化が行われることがある．射影軸上でのクラス間の相対距離を最大化する射 影ベクトルは，以下のようにして求められる．
クラスの集合をK，クラスk ∈Kに属するデータxk ∈Rpの集合をXkとすると，ク ラスkの平均ベクトルµk，全体の平均ベクトルµ，クラス内散布行列Sw，クラス間散布 行列Sbは以下のように推定される．
µˆk= 1
|Xk|
∑
xk∈Xk
xk (A.10) ˆ
µ= 1
|X|
∑
k∈K
∑
xk∈Xk
xk (A.11)
Sˆw =∑
k∈K
∑
xk∈Xk
(xk−µˆk)(xk−µˆk)′ (A.12) Sˆb =∑
k∈K
( ˆµk−µ)( ˆˆ µk−µ)ˆ ′ (A.13) ただし，ˆ·は推定値，·′は転置を表し，X =∑
k∈KXkである．式（A.14）は射影軸上で のクラス間の相対距離を表し，これを最大化するw ∈Rpを求める．
w′Sˆbw
w′Sˆww (A.14)
この問題は固有値問題に帰着され，以下のように対角化することができる．
Sˆw−1Sˆb=P AP′ (A.15) ただし，Aは対角成分が固有値，P は対応する固有ベクトルを並べたものである（A = (diag(d1, d2, . . . , dp)|d1 ≥d2 ≥ · · · ≥dp)，P = (u1u2· · ·up)）．それぞれの固有値は，対
応する固有ベクトルで射影したときの式（A.14）の値であり，最大固有値d1に対応する 固有ベクトルu1が前述のwに相当する．また，クラス間の相対距離は判別しやすさと いうことができ，固有値の総和である次式は，データ全体の判別しやすさといえる．
Tr(A) =
∑p
i
di (A.16)
T 個のデータの平均を1つのデータとして扱うことにすると，クラスkの平均ベクト ル，全体の平均ベクトル，クラス間散布行列は変わらないが，クラス内散布行列は以下 のようになる．
ˆ¯ Sw =
Sˆw
T (A.17)
ただし，¯·は·に対応する平均後の値である．これにより，以下のように判別しやすさが 大きくなる．
Tr( ¯A) =T ×Tr(A) (A.18)
参考文献
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研究業績
学術論文 ( 筆頭 )
1. 高橋 弘武，吉川 大弘，古橋 武：“BCIの通信モデル化と思考判別への2元消失通 信路の導入 ，電子情報通信学会誌D，Vol.J92-D, No.1, pp.153-161, 2009.
受賞
1. 平成二十年計算理工学セミナー（中間研究発表会）教員が選んだ優秀賞 題目：“BCIへのReliability-Based ARQの適用に関する研究”
国際会議 ( 筆頭 )
1. H.Takahashi, T.Yoshikawa and T.Furuhashi: “A Study on Application of Relia-bility Based Automatic Repeat Request to Brain Computer Interfaces”, In Proc.
the 15th Int. Conf. on Neural Information Processing of the Asia-Pacific Neural Network Assembly, pp.366-367, 2008.
国内会議 ( 筆頭 )
1. 高橋 弘武，吉川 大弘，古橋 武：“脳波の可聴化による聴覚的フィードバックを用 いたα律動制御に関する考察 ，第23回ファジィシステムシンポジウム講演論文 集，pp. 557-560, 2007.
2. 高橋 弘武，吉川 大弘，古橋 武：“Brain Computer Interfaceを目的とした脳波判別 への2元消失通信路の適用 ，電子情報通信学会技術研究報告, vol. 107, no. 263, pp. 63-67, 2007.
3. 高橋弘武，吉川大弘，古橋武：“BCIへのReliability-Based ARQの適用に関する一 検討 ，第4回脳と知能研究会ワークショップ, pp. 5-1–5-4, 2008.
4. 高橋弘武，吉川大弘，古橋武：“BCIへの通信モデルの適用と誤り訂正符号による 正確さ向上の試み ，電子情報通信学会 情報・システムソサイエティ誌 2008年 総合大会 特別号, p.20, 2008.