分岐・再結合するポテンシャル

このジグザグ振動はジョセフソン振動のなごりと解釈することができる。ジョセ フソン振動は2つのチャネルのポテンシャルの深さU0でのトンネル効果に起因し 発生する。ジョセフソン振動について以下で説明する。位相シフトを一定にして、

初期速度k_yを小さくすると、ソリトンは合流点であるy= 40の前で反射する。図 2.13(a)はk_yc = 0.37、∆ϕ=π/256における左右のポテンシャル中心線での|φ|の 時間発展を示す。反射する前は、左右にわかれた2つのソリトンの振幅はほぼ同 じであるが、反射後に２つのソリトンの差は大きくなり、最終的に2つのチャネ ル内の1つに統合される。ここで得られた臨界速度は∆ϕ=π/256にてk_yc = 0.38 である。図2.13(b)はk_ycと位相シフト∆ϕの関係を示す。水平軸は対数でプロッ トされ臨界速度k_ycは∆ϕ= 0で急激に増大している.

(a) (b)

図2.13: (a)中心線上の|φ|の時間変化,k_y = 0.37,∆ϕ= π/256、(b)反射の閾値k_y と∆ϕの関係

異なるチャネル内の2つのソリトン解の位相が異なっていると2つのソリトンが ポテンシャルの高さU₀の壁を超えトンネル効果により相互に作用するためにジョ セフソン振動が起こる。[22,23]φ(x.y)は次の様に仮定することができる。

φ(x, y) =u(y, t) exp{−[x−η(y)]²

2b² }exp(−iµt)

+v(y, t) exp{−[x+η(y)]²

2b² }exp(−iµt) (2.101)

±η(y)はx座標yにおける左右の中央点を表している。これを非線形シュレディ ンガー方程式に対するラグランジアン

L=

∫ ∫ {1

2[i(∂φ

∂tφ^∗)−i(∂φ^∗

∂t φ)]−1

2|∇φ|²+ 1

2|φ|⁴−U(x, y)|φ|²}dxdy (2.102) に代入し計算をするとラグランジュ方程式はそれぞれ

∂

∂t(δL

δu_t) = δL

δu, (2.103)

∂

∂t(δL

δv_t) = δL

δv (2.104)

となり、uとvの従う方程式は

i∂u

∂t =−1 2

∂²u

∂y² −c(|u|²+g|v|²)u−d(v−u) (2.105) i∂u

∂t =−1 2

∂²v

∂y² −c(|v|²+g|u|²)u−d(v−v) (2.106) と見積もられ、

g = 2 exp[−2η(y)²/b²] (2.107) d= 2U₀exp[−2η(y)²/b²] (2.108) である。ここでu^∗v²やv^∗u²のような複素項は無視した。ソリトンは対称でu=v で形を変えず伝搬すると仮定すると

c= 1/[√

2(1 +g)] (2.109)

と見積もることができる。ηが大きい時、相互作用は弱くソリトンは独立して伝 搬する。しかしながらyが合流点y = 40付近に近いとき、ηは小さくなり、ジョ セフソン効果は大きくなる。

図2.14(a)は|u|と|v|の方程式(2.105),(2.106)でk_y = 0.2における時間発展を示 す。uとvの初期条件は

u=A/cosh(y/W) exp(i∆ϕ) (2.110) v =A/cosh(y/W) exp(−i∆ϕ) (2.111) でb= 0.9、N₀ = 5/(√πb)、W = 4√

2/N₀、A=√

N₀/(4W)、∆ϕ=π/256であ る。2つのソリトンは反射され、反射後に1つのチャネルにソリトンは統合する。

臨界波数k_y = 0.295で非線形シュレディンガー方程式の数値計算の値とは少し異

なるが定性的には一致する。2つのソリトンの差を

R= (Nu−Nv)

(N_u+N_v) (2.112)

で定義する。それぞれのノルムは

Nu =

∫

|u|²dy, Nv =

∫

|v|²dy (2.113)

である。Rの時間発展は図2.14(b)で表している。Rは0から反射後に正の定数 値に達する。１つのソリトンが反射したあとuチャネルにソリトンが集まったこ とを意味している。

さらに

u(y, t) = Asech[(y−ξ)/W] exp[ip(y−ξ)−iθ1] (2.114) v(x, y) = Bsech[(y−ξ)/W] exp[ip(y−ξ)−iθ₂] (2.115) と仮定すると、有効ラグランジアンは

図2.14: (a)|u|（実線）、|v|（破線）の時間発展,k_y = 0.29、(b)R = (N_u−N_v)/(N_u+ N_v)の時間発展

L_eff = 1 2

∫

[i(u_tu^∗_t −uu^∗_t +v_tv^∗−vv_t^∗)− |u_y|²− |v_y|²

+c(|u|⁴+|v|⁴+ 2g|u|²|v|²) + 2d(uv^∗+vu^∗)−2d(|u|²+|v|²)]dy (2.116)

L_eff =N₀{pξ₁− p² 2 − 1

6W² + θ_1t+θ_2t

2 +R(θ_1t−θ_2t) 2 + R²N₀e

16W² + ˜d[√

1−R²cos(θ2−θ1)−1]} (2.117) と計算される。ここで

N0 =

∫

|u|²+|v|²dy= 2(A² +B²)W (2.118)

R= A²−B²

A²+B² (2.119)

e(ξ) =

∫

c(y)[1−g(y)]sech⁴(y−ξ

W )dy (2.120)

d(ξ) =˜

∫

d(y)sech²(y−ξ W )dy/

∫

sech²(y−ξ

W )dy (2.121)

W = 4

[1 +R²+ (1−R²)g]N₀c (2.122)

ξ,P,R,∆θに対するラグランジュ方程式は

dξ

dt =p (2.123)

dp

dt = R²N₀ 16W²

∂e

∂ξ + [√

1−R²cos(θ₂−θ₁)−1]∂d˜

∂ξ (2.124)

dR

dt = 2 ˜d√

1−R²sin ∆θ (2.125)

d∆θ

dt = RN0e

4W² − 2 ˜dR

√1−R² cos ∆θ (2.126)

となる。ここで、∆θ=θ2−θ1でξはソリトンの重心のy座標である。R= 0か つθ1+θ2、dp/dt= 0,の場合は2つのソリトンは一定の速度で伝搬する。R <<1 で∆θ <<1の場合(2.125)、(2.126)は

d²∆θ

dt² =−2 ˜d2 ˜d−N0e

4W² ∆θ (2.127)

となりジョセフソン振動を記述している。

N₀e

(4W²)−2 ˜d >0 (2.128) の時にジョセフソン振動は増大し、対称の状態u = vは不安定になる。e(ξ)と d(ξ)˜ は一様でないのでdp/dtはジョセフソン振動の増幅により、負の値をとるよ うになる。負の加速度のため、ソリトンは減速しさらに逆方向に動くようになる。

図2.15(a)と図2.15(b)はN₀ = 5/(√

πb)、b= 0.9、ξ(0) = 0、p(0) =k_y = 0.2で位 相変調∆θ(0) = 2∆ϕ=π/128におけるξとRの時間発展である。反射が起こる位

置でジョセフソン振動の増幅の様子がわかる。∆θ(0) =π/128でのkycの臨界値は (2.126)によりきまり0.305である。この値は(2.105),(2.106)での計算により決ま

る臨界値0.295の値に近く、よい近似になっていることがわかる。

図2.15: (a)ξの時間発展,k = 0.29,∆θ =π/128、(b)Rの時間発展