微分光イオン化断面積の導出

本節では, 微分光イオン化断面積 ^dσ_dΩ dσ

dΩ = ωkω

2πc| ⟨k|er|0⟩ |² (236) を導く.

系のハミルトニアンは

H =−1 2∆− 1

r +V(r, t) (237a)

V(r, t) =f(t)r (237b)

ここで, 相互作用項V(r, t)は式(216)と同じである.

エネルギーE0 を持つ初期状態|0⟩^{からエネルギー}Ek ∼Ek+dEk で波数kを持つ連 続状態|k⟩への単位時間当たりの遷移確率をdωk,0 と書くと,

dω_k,0 = 2π|V_k,0|²δ(E₀+ω−E_k) dk

(2π)³ (238)

である.ここで,

Vk,0 = 1

2f⟨k|er|0⟩ (239)

と お い た. 式 (239) 右 辺 の ¹₂ は 光 子 の 吸 収 過 程 の み を 考 え て い る た め で あ る (cos(ωt) = ¹(e^iωt+e^−iωt))

. 散乱角当たりの遷移確率は, dωk,0 のエネルギーに渡る積

分を実行すれば得られるので,

∫

dωk,0 =

∫

2π|Vk,0|²δ(E0+ω−Ek)

√2EkdEkdΩ

(2π)³ (240)

= 2πf²

4 | ⟨k|er|0⟩ |²k_ω dΩ

(2π)³ (241)

を得る.ここで, kω = √

2(E0+ω)と置いた. 微分光イオン化断面積 _dΩ^dσ は∫

dωk,0 を入 射光子のフラックスで割って得られるので,

dσ

dΩ = 2π^f₄²| ⟨k|er|0⟩ |²_(2π)^kω3

c

4πf^{2 1}_2ω¹ (242)

と表される.ここで, 分母の ¹₂ はcos²(ωt)の平均から与えられる係数である. よって, dσ

dΩ = ωkω

2πc| ⟨k|er|0⟩ |² (243) を得る.

C.3 ∫

| k ⟩ ⟨ k | dΩ ^と ∑

ν

| ψ

_ν

⟩ ⟨ ψ

_ν

| ^{の関係式の導出}

本節では, 関係式

∫

|k⟩ ⟨k|dΩ = (2π)³

√2E

∑

ν

|ψν⟩ ⟨ψν| (244)

を導く. 演算子

δ( ˆH−E) (245)

を考える.ここで, ˆH はハミルトニアン, E はエネルギーである. ˆH の固有エネルギーEk

に属する固有状態|k⟩^{の完全性関係から}, δ( ˆH−E) =

∫

δ(Ek−E)|k⟩ ⟨k| dk

(2π)³ (246)

を得る. 波数k0 に属する状態に演算子(245)を作用させれば, 確かに δ( ˆH−E)|k0⟩=

∫

δ(Ek−E)|k⟩ ⟨k|k0⟩ dk (2π)³

=δ(E_k0−E)|k₀⟩ が成立する. ここで, ⟨k|k₀⟩= (2π)³δ(k−k₀)を用いた.

一方, 放物座標系で, ˆH の固有エネルギーEν に属する固有状態|ψν⟩^{を用いて 式}(245) を表すと,

δ( ˆH −E) =∑

ν

∫

dE_ν δ(E_ν −E)|ψ_ν⟩ ⟨ψ_ν| (247) と書ける. チャンネルν0に属する状態に演算子(245)を作用させれば, 確かに

δ(H−E)|ψ_ν0⟩=∑

ν

∫

dE_ν δ(E_ν0 −E)|ψ_ν⟩ ⟨ψ_ν|ψ_ν0⟩

=δ(E_ν0 −E)|ψ_ν0⟩ が成立する.

式(246)と式(247)は等しい. dk=k²dkdΩ =√

2EkdEkdΩを利用すれば,

∑

ν

|ψν⟩ ⟨ψν|=

√2E (2π)³

∫

|k⟩ ⟨k|dΩ (248)

を得る.

原子単位系と MKSA ^単位系

原子単位系(atomic unit)とMKSA単位系の関係 時間 t : 1[a.u.] = 24.1889[as]

長さ l : 1[a.u.] = 0.052917721067[nm] = 0.52917721067[˚A]

エネルギー E : 1[a.u.] = 27.21138602[eV]

電場 F : 1[a.u.] = 5.14221×10⁹[V/cm]

レーザー強度 I : 1[a.u.] = 3.509445×10¹⁶[W/cm²]

また, 電場とレーザー強度の間の関係とエネルギーと波長は以下の関係がある. I[W/cm²] = 1.327207×10⁻³×(F[V/cm])²

F[V/cm] = 27.449256×√

I[W/cm²] E[eV] = 1239.85

λ[nm]

[1] R. R. Freeman, N. P. Economou, G. C. Bjorklund, and E. T. Lu, Observa-tion of Electric-Field-Induced Resonances above the IonizaObserva-tion Limit in a One-Electron Atom, Phys. Rev. Lett.41, 1463 (1978). DOI: https://doi.org/10.

1103/PhysRevLett.41.1463.

[2] R. R. Freeman and N. P. Economou, Electric field dependence of the pho-toionization cross section of Rb, Phys. Rev. A 20, 2356 (1979), DOI: https:

//doi.org/10.1103/PhysRevA.20.2356..

[3] V. V. Kolosov, Long-lived Stark states detected at a positive energy, Pis ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 44, 457 (1986) [Sov. Phys. JETP Lett. 44, 588 (1986)], http://www.jetpletters.ac.ru/ps/1397/article_21186.pdf.

[4] T. P. Grozdanov, P. S. Krsti´c, M. J. Rakovi´c, and E. A. Solov’ev, On broad resonances in the hydrogenic Stark effect, Phys. Lett. A 132, 262 (1988), DOI:

https://doi.org/10.1016/0375-9601(88)90562-2.

[5] 新倉 弘倫著, 再衝突電子を用いたアト秒の電子・分子動力学, (2004), 2018 年 11 月 8 日アクセス http://www.jst.go.jp/kisoken/presto/complete/kozo/

scholar/16-1/niikura/PDF2.pdf.

[6] P. Kalaitzis, S. Danakas, F. L´epine, C. Bordas, and S. Cohen, Photoionization microscopy: Hydrogenic theory in semiparabolic coordinates and comparison with experimental results, Phys. Rev. A 97, 053412 (2018), DOI: https://doi.

org/10.1103/PhysRevA.97.053412.

[7] I. I. Fabrikant, Interference effects in photodetachment and photoionization of atoms in a homogeneous electric field, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 79, 2070 (1980) [Sov. Phys. JETP 52, 1045 (1981)], http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/dn/e_

lot, F. L´epine, and C. Bordas, Wave Function Microscopy of Quasibound Atomic States, Phys. Rev. Lett.110, 183001 (2013), DOI: https://doi.org/10.1103/

PhysRevLett.110.183001.

[9] S. Cohen, M. M. Harb, A. Ollagnier, F. Robicheaux, M. J. J. Vrakking, T. Barillot, F. L´epine, and C. Bordas, Photoionization microscopy of the lithium atom: Wave-function imaging of quasibound and continuum Stark states, Phys. Rev. A 94, 013414 (2016), DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.

94.013414.

[10] A. S. Stodolna, A. Rouz´ee, F. L´epine, S. Cohen, F. Robicheaux, A. Gijsbert-sen, J. H. Jungmann, C. Bordas, and M. J. J. Vrakking, Hydrogen Atoms under Magnification: Direct Observation of the Nodal Structure of Stark States, Phys. Rev. Lett.110, 213001 (2013), DOI: https://doi.org/10.1103/

PhysRevLett.110.213001.

[11] A. S. Stodolna, F. L´epine, T. Bergeman, F. Robicheaux, A. Gijsbert-sen, J. H. Jungmann, C. Bordas, and M. J. J. Vrakking, Visualizing the Coupling between Red and Blue Stark States Using Photoionization Mi-croscopy, Phys. Rev. Lett.113, 103002 (2014), DOI:https://doi.org/10.1103/

PhysRevLett.113.103002.

[12] L. B. Zhao and J. B. Delos, Dynamics of electron wave propagation in pho-toionization microscopy. II. Quantum-mechanical formulation, Phys. Rev. A 81, 053418 (2010), DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.81.053418.

[13] L. B. Zhao, I. I. Fabrikant, J. B. Delos, F. L´epine, S. Cohen, and C. Bordas, Coupled-channel theory of photoionization microscopy, Phys. Rev. A 85, 053421 (2012), DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.85.053421.

[14] L. B. Zhao, I. I. Fabrikant, M. L. Du, and C. Bordas, Test of the Stark-effect theory using photoionization microscopy, Phys. Rev. A 86, 053413 (2012), DOI:

https://doi.org/10.1103/PhysRevA.86.053413.

[15] Yu. N. Demkov, V. D. Kondratovich and V. N. Ostrovskiˇı, Interference of elec-trons resulting from the photoionization of an atom in an electric field, Pis’ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 34, 425 (1981) [Sov. Phys. JETP Lett. 34, 403 (1981)],

http://www.jetpletters.ac.ru/ps/1520/article_23225.pdf.

[16] C. Nicole, H. L. Offerhaus, M. J. J. Vrakking, F. L´epine, and C. Bordas Photoionization Microscopy, Phys. Rev. Lett.88, 133001 (2002), DOI: https:

//doi.org/10.1103/PhysRevLett.88.133001.

[17] C. Bordas, F. L´epine, C. Nicole, and M. J. J. Vrakking, Semiclassical description of photoionization microscopy, Phys. Rev. Lett.68, 012709 (2003), DOI: https:

//doi.org/10.1103/PhysRevA.68.012709.

[18] O. I. Tolstikhin and T. Morishita, Adiabatic theory of ionization by intense laser pulses: Finite-range potentials, Phys. Rev. A 86, 043417 (2012), DOI: https:

//doi.org/10.1103/PhysRevA.86.043417.

[19] O. I. Tolstikhin, T. Morishita, and S. Watanabe, Adiabatic theory of ionization of atoms by intense laser pulses: Phys. Rev. A 81, 033415 (2010) DOI: https:

//doi.org/10.1103/PhysRevA.81.033415.

[20] W.-C. Jiang, O. I. Tolstikhin, L.-Y. Peng, and Q. Gong, Static-field-induced states and their manifestation in tunneling ionization dynamics of molecules Phys. Rev. A 85, 023404 (2012), DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.

85.023404.

[21] A. V. Gets and O. I. Tolstikhin, Static-field-induced states, Phys. Rev. A 87, 013419 (2013), DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.87.013419.

[22] S. Ohgoda, Oleg I. Tolstikhin and T. Morishita, Photoionization of hydrogen in a strong static electric field, Phys. Rev. A 95, 043417 (2017), DOI: https:

//doi.org/10.1103/PhysRevA.95.043417.

[23] O. I. Tolstikhin, T. Morishita, and L. B. Madsen, Theory of tunneling ionization of molecules: Weak-field asymptotics including dipole effects, Phys. Rev. A 84, 053423 (2011), DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.84.053423.

[24] W. L. Glab and M. H. Nayfeh, Stark-induced resonances in the photoionization of hydrogen, Phys. Rev. A 31, 530 (1985), DOI: https://doi.org/10.1103/

PhysRevA.31.530.

[25] W. L. Glab, K. Ng, D. Yao, and M. H. Nayfeh, Spectroscopy between parabolic states in hydrogen: Enhancement of the Stark-induced resonances in its pho-toionization, Phys. Rev. A 31, 3677 (1985), DOI: https://doi.org/10.1103/

PhysRevA.31.3677.

https://doi.org/10.1103/PhysRevA.33.301.

[27] V. D. Kondratovich and V. N. Ostrovskiˇı, Photoionization of a hydrogenlike atom in a homogeneous electric field, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 79, 395 (1980) [Sov. Phys.

JETP 52, 198 (1980)], http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/dn/e_052_02_0198.

pdf.

[28] I. I. Fabrikant, Interference effects in photodetachment and photoionization of atoms in a homogeneous electric field, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 79, 2070 (1980) [Sov. Phys. JETP 52, 1045 (1980)], http://www.jetp.ac.ru/cgi-bin/dn/e_

052_06_1045.pdf.

[29] D. A. Harmin, Hydrogenic Stark effect: Properties of the wave functions, Phys. Rev. A 24, 2491 (1981), DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.

24.2491.

[30] E. Luc-Koenig and A. Bachelier, Systematic theoretical study of the Stark spec-trum of atomic hydrogen I: density of continuum states, J. Phys. B 13, 1743 (1980), DOI: https://doi.org/10.1088/0022-3700/13/9/009.

[31] V. D. Kondratovich and V. N. Ostrovsky, Resonance and interference phenomena in the photoionisation of a hydrogen atom in a uniform electric field: I. Reso-nances below and above the potential barrier, J. Phys. B 17, 1981 (1984), DOI:

https://doi.org/10.1088/0022-3700/17/10/007.

[32] V. D. Kondratovich and V. N. Ostrovsky, Resonance and interference phenom-ena in the photoionisation of a hydrogen atom in a uniform electric field: II.

Overlapping resonances and interference, J. Phys. B 17, 2011 (1984), DOI:

https://doi.org/10.1088/0022-3700/17/10/008.

[33] V. D. Kondratovich and V. N. Ostrovsky, Resonance and interference phenom-ena in the photoionisation of a hydrogen atom in a uniform electric field: III.

Comparison with recent experimental and theoretical results, J. Phys. B 23, 21 (1984), DOI: https://doi.org/10.1088/0953-4075/23/1/005.

[34] V. D. Kondratovich and V. N. Ostrovsky, Resonance and interference phenom-ena in the photoionization of a hydrogen atom in a uniform electric field: IV.

Differential cross sections, J. Phys. B 23, 3785 (1990), DOI: https://doi.org/

10.1088/0953-4075/23/21/015.

[35] C. Blondel, C. Delsart, and F. Dulieu, The Photodetachment Micro-scope, Phys. Rev. Lett.77, 3755(1996), DOI: https://doi.org/10.1103/

PhysRevLett.77.3755.

[36] Handbook of Mathematical Functions, edited by M. Abramowitz and I. A. Stegun (Dover Publications Inc., New York, 1972),

[37] George Aefken 著(1970), 権平健一郎・神原武志・小山直人訳(1978)『特殊関数と 積分方程式』(講談社).

[38] 戸川隼人著『計算機のための数値計算』(サイエンス社, 1976).

[39] 犬井鉄郎, 石津武彦著『複素函数論』(東京大学出版会, 1966).

[40] A. Messiah著(1959), 小出昭一郎・田村二郎訳 (1972)『量子力学2』 Appendix C (東京図書株式会社).

[41] 大森賢治編, 『アト秒科学』 (化学同人, 2015).

[42] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, “Quantum Mechanics (Non-relativistic The-ory)” , (Pergamon Press, Oxford, 1977).

[43] T. Yamabe, A. Tachibana, and H. J. Silverstone, Theory of the ionization of the hydrogen atom by an external electrostatic field, Phys. Rev. A 16, 877 (1977), DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.16.877.

[44] B. H. Bransden and C. J. Joachain, “Physics of Atoms and Molecules , (2nd Edition), Addison-Wesley(2003).

[45] A. J. F. Siegert, On the Derivation of the Dispersion Formula for Nuclear Re-actions, Phys. Rev. 56, 750 (1939), DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRev.

56.750.

[46] P. A. Batishchev, O. I. Tolstikhin, and T. Morishita, Atomic Siegert states in an electric field: Transverse momentum dis- tribution of the ionized electrons, Phys. Rev. A 82, 023416(2010), DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.

82.023416.

[47] U. Fano, Effects of Configuration Interaction on Intensities and Phase Shifts, Phys. Rev. 124, 1866 (1961), DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRev.124.

1866.

[48] D. Farrelly and W. P. Reinhardt, Uniform semiclassical and accurate quantum calculations of complex energy eigenvalues for the hydrogen atom in a uniform

[49] W. P. Reinhardt, Method of complex coordinates: Application to the stark effect in hydrogen, Int. J. Quant. Chem. 10, 359 (1976), DOI: https://doi.org/10.

1002/qua.560100840.

[50] E. Anderson, Z. Bai, S. Blackford, J. Demmel, J. Dongarra, J. Du Croz, A. Green-baum, S. Hammarling, A. Mckenny, and D. Sorensen. LAPACK User’s Guide.

Society for Industrical and Applied Mathematics, Philadelphia, PA, third edi-tion, 1999.

関連学術論文

1. Shun Ohgoda, Oleg I. Tolstikhin and Toru Morishita,

Photoionization of hydrogen in a strong static electric field, Phys. Rev. A 95, 043417 (2017),

DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevA.95.043417.

本論文は, 筆者が電気通信大学大学院 情報理工学研究科 先進理工学専攻博士後期課程 に在籍中の研究成果をまとめたものであり,多くの方々にご指導, ご支援を賜りました. こ の場でご指導, ご支援いただいた皆様に深く感謝いたします.

森下 亨教授には, 本研究の遂行にあたり多大なるご指導を賜りました. 博士後期課程の 4年間, 様々な発表の機会を下さったり, 理論物理学の厳密さ, 面白さをお教えいただきま した. 配属直後に, 私が希望した数値計算で確かめながら理論物理を進めていきたいとい う希望を完全に叶えていただき充実した研究室生活を送ることが出来ました. さらに, 私 の稚拙なプレゼンの構成や文章などに対して, 非常に丁寧で熱心なご指導をいただきまし た. また, 常に素晴らしい計算機環境を用意して下さいまして, 深く感謝いたします. 経済 状況に関しても気にかけてくださり, 大学の支援制度に関することをお教えいただいた事 も非常に印象に残っております.

モスクワ物理工科大学(Moscow Institute of Physics and Technology, MIPT)のOleg.

I. Tolstikhin教授には熱心なご指導をいただきました. 私が疑問に思ったことに余すこと

なく全てにお答えいただき, その深い知識と既に答えを知っているような先を見通した考 えに, 私はいつも驚きを隠せませんでした. 物理の本質を考える大切さや, 新しい問題への 取り組方を学びました. また, 私がモスクワ物理工科大学のインターンシッププログラム に参加し1ヶ月モスクワに滞在した際に, 詳しい議論や論文に関するあれこれを丁寧に教 えてくださったこと, 滞在期間中は常に気にかけてくださり, お世話して戴いたことは感 謝してもしきれません. ありがとうございました. また, Inga Yu. Tolstikhina教授は私 がモスクワに滞在している間, 休日になるとOleg. I. Tolstikhin教授と共にモスクワの名 所を案内していただきました. また, MIPT-LPI-UECワークショップを開催していただ き, そのおかげで発表する機会を得られたこと, ロシアの学生と交流を持てたことは非常 に印象に残っております. 誠に感謝しております.

また, モスクワ物理工科大学へ格別の感謝をいたします. 私が1 ヶ月間のインターン シッププログラムへ参加し, ロシアに滞在していた間, 金銭的な援助や寮をサポートして 下さり, そのおかげで滞在中の不安が無く, 研究活動に大いに集中できたことを心より感 謝いたします.

学部4年から修士課程に至るまで,渡辺信一教授には多くの考え方, 取り組み方, 理論建 ての方法から問題解決のアプローチ方法に至る基本をご指導, ご教授いただきました. 渡 辺研究室と森下研究室は同じ学生室ですので, 先生が学生室に来られた時にもお尋ねして

授の各先生方にも感謝を申し上げます.

また, 山越 智健氏に格別の感謝を申し上げます. 学部4年から現在に至るまで, 特に長 く研究生活を共にしてきました. 数値計算方法に関する膨大な知識は追いつこうにも追い つく事が出来ません.

学生生活の最初期から数年間,同研究室のHuang Hsumin (黄 緒明)氏, Pham Nguyen Thanh Vinh 氏, Trinh Hoai Vinh 氏, Yueming Zhou (周 月明) 氏, 大海 真貴 氏, 伴 修氏の各位とは, 長い間を同じ研究室で過ごしました. 研究室配属直後のサポートや, 私の拙い物理学の知識にも拘らず質問にお答えくださったこと感謝いたします. また私の 英語が, 読めない話せない聞き取れないにも関わらず, 英語で話をしたい, 議論したいとあ れば貴重な時間を割いてまで付き合って下さった留学生, ポスドクの方々には大変申し訳 なく, また大変な感謝をいたします. 現在, 日常生活で臆することなく英語で会話ができる ことは彼ら無くして語ることが出来ません. 研究のみならず, 学生生活や様々な活動の刺 激を戴きました. また, 夏休みに私の実家に来ていただき, 一緒に釣りに出かけたことは今 でも良い思い出です.

短い間でしたが, ポスドクのJens Svensmark 氏, Tor Kjellsson Lindblom 氏, また 修士課程の松井 大和 氏, 鈴木 優士郎 氏各位とは研究室生活最後の数年間を共にし, お 世話になりました. 他愛もない会話に突き合わせてしまったり申し訳ない気持ちを抱くと ともに, 楽しい時を過ごさせていただきました.

そして, 秘書の宮前美和子氏には煩雑な事務手続きを尋ねたり, 学生が書く書類を迷う ことなく, 直ぐに終えられるように付箋で注意書きを加えて戴いたりと, 非常に助けられ ました.

最後に, 学生生活の全てにおいて経済的, 精神的に支えて下さった両親, 兄に感謝したし ます. 私が大学へ通っていた10年間において, 良い事だけでなく悲しい出来事もありまし た. それでも決して大学に通うのを諦めろと言わず, 支援し続けてくれた事に最大の感謝 をいたします. ここまで育ててくださったおかげで, 本論文を通して, 量子物理学の網羅す る範囲を少しだけ広げることが出来ました.

ドキュメント内 電気通信大学 大学院 情報理工学研究科 博士（理学）の学位申請論文 (ページ 102-115)