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A. 準備〜方程式への代入

たとえば,円C: (x−2)2+(y−b)2=5が(3, 2)を通るならば,(x−2)2+(y−b)2 =5に(x, y)=(3, 2) を代入した等式は成り立つ,つまり

(3−2)2+(2−b)2=5 ⇔1+4−4b+b2=5

⇔b2−4b=0 ⇔ b(b−4)=0

【例題47】円C : (x−a)2+(y−3)2=13が(5, 5)を通るとき,aの値を答えよ.

【解答】 (x−a)2+(y−3)2=13(x, y)=(5, 5)を代入して (5−a)2+(5−3)2=13 ⇔25−10a+a2+4=13

⇔a2−10a+16=0 ⇔ (a−2)(a−8)=0 これを解いてa =2, 8である.

B. 与えられた3点を通る円の方程式

どんな三角形も,外接円はただ1つに定まった.これは,(同一直線上にない)3 を通る円周がただ1つに定まることを意味する.

【暗 記 48:円の方程式〜その2〜】

3A(3, 0)B(0,−2)C(−2, 1)を通る円Kの方程式について, に適する式・数値を入れよ.

1. Kの方程式をx2+y2+lx+my+n=0とおく.ここで以下が成立する.

Aを通るから方程式 Bを通るから方程式 Cを通るから方程式 3式を連立して(l, m, n)=(

, , )

と解けて,Kの方程式 キ を得る.

2. Kの中心をO(p, q)とする.ここで

OA=OBからp, qの方程式 ク が,OA=OCからp, qの方程式 ケ が成り立つ.

2つの式を連立して解けば(p, q)=(

, )

である.

つまり,OA2= であるのでKの方程式は ス と分かる.

【解答】

1. A(3, 0)を代入し32+0+3l+0+n=0 ⇔3l+n=−9(ア)

B(0,−2)を代入し0+(−2)2+0−2m+n=0 ⇔−2m+n=−4(イ)

C(−2,−1)を代入し(−2)2+12−2l+m+n=0⇔−2l+m+n=−5(ウ)

3l +n=9· · · ·1

2m+n=4· · · ·2

2l+ m+n=5· · · ·3

2 +2×3 より

2m + n = 4 +) 4l +2m +2n = 10

4l +3n = 14· · ·2 3×1 2 より13l =13 なってl=1.⃝,2 ⃝から1 m,n を求めればよい

エ:−1,オ:−1,カ:−6,キ:x2+y2−x−y−6=0 2. ク: OA=OB⇔ √

(p−3)2+q2 = √

p2+(q+2)2

(⇔ (p−3)2+q2 = p2+(q+2)2 ⇔ 5 =6p+4q ケ: OA=OC⇔ √

(p−3)2+q2 = √

(p+2)2+(q−1)2

(⇔ (p−3)2+q2 =(p+2)2+(q−1)2 ⇔ 2=5p−q 両辺2乗してp2,q2を消去し,

両辺整頓した ク,ケを整理して,連立方程式







6p+4q=5

5p−q=2 を得る.これを解い







(コ)

1 2,

(サ)

1 2





を得る.よって,O (1

2, 1 2 )

,A(3, 0)であるから,

OA2 = ( (1

2 −3 )2

+ (1

2 −0 )2

=

(シ)

13

2 であるので,K の方程式は 『2点間の距離』(p.84)

(ス)

( x− 1

2 )2

+ (

y− 1 2

)2

= 13

2 となる.

111

【練習49:円の方程式〜その2〜】

A(3,1),B(4,−4),C(−1,−5)とする.△ABCの外接円の中心と半径を求めよ.

【解答】 △ABCの外接円は3点A,B,Cを通る円に一致する.その方程 式をx2+y2+lx+my+n=0とおく.

Aを通ることから 32+12+l·3+m·1+n=0 Bを通ることから 42+(−4)2+l·4+m·(−4)+n=0 Cを通ることから (−1)2+(−5)2+l·(−1)+m·(−5)+n=0

である.これらを整頓して,連立方程式を得る. 1 ⃝,2 2 3 から得られた 2式を連立して(l,m)=(2,4)

⃝から1 n=8















3l+ m+n=−10 · · · ·⃝1 4l−4m+n=−32 · · · ·⃝2

−l−5m+n=−26 · · · ·⃝3

これを解いて(l, m, n)=(−2, 4,−8).よって,△ABCの外接円の方程式は x2+y2−2x+4y−8=0

⇔ (x−1)2+(y+2)2=13 中心と半径を求めるため平方完成 型に変形

となり,△ABCの外接円の中心は(1,−2),半径は √

13である.

【(2)の別解(略解) (1)も同じようにして解くことが 外接円の中心をO(x, y)とすると,OA=OB=OCであるので できる











(x−3)2+(y−1)2=

(x−4)2+(y+4)2

(x−3)2+(y−1)2=

(x+1)2+(y+5)2 これを解いて,中心は(x, y)=(1,−2),

外接円の半径はOA= √

(3−1)2+{1−(−2)}2= √ 13.

C. 円を図形的に考える

円が通る3点が与えられた場合も,図を描けば簡単に分かる場合がある.

【練習50:図形的に考える〜その1〜】

3A(2, 2)B(−4, 2)C(−4, 4)を通る円Kについて考えてみよう.

右に3点を図示すれば,Kの中心RABの垂直二等分線上にある

x y

O からR 座標は Kの中心RBCの垂直二等分線上に

あるからR 座標は と分かる.

よって,Rの座標は であり,Kの半径はRA= なので,K の方程式は キ と求められる.

【解答】 ア:x,イ:−1,ウ:y,エ:3,オ:(−1, 3) カ: √

10,キ:(x+1)2+(y−3)2 =10 Kの半径はRBRCで求めて

もよい.

D. 中心や半径の条件が与えられた円の方程式

中心や半径の条件が与えられた場合は,平方完成形(x−a)2+(y−b)2=r2を用いて考えよう.

【例題51】以下の    に i. (2, b),ii. (a, 2),iii. (a, b),iv. (a, a) のうち最も適するものを答え,

それぞれの問いに答えなさい.

1. 中心が直線x=2上にある円C1の中心は ア とおくことができる.さらに,C1がA(3, 2),B(0,3) を通るとき,円C1の方程式を求めよ.

2. 中心が直線y = x上にある円 C2 の中心は イ とおくことができる.さらに,C2 がP(1, 3), Q(−2, 1)を通るとき,円C2の方程式を求めよ.

3. y座標が正の側でx軸に接し,円の半径が2であるC3の中心は,ウ とおくことができる.さら に,C3がT(2, 1)を通るとき,円C3の方程式を求めよ.

【解答】

1. C1の中心のx座標は2になるからi.(ア)である.これによって,

求める円の方程式は(x−2)2+(y−b)2=r2とおくことができる.

Aを通ることから (3−2)2+(2−b)2=r2 Bを通ることから (0−2)2+(3−b)2=r2

⇐⇒

{ b2−4b+5=r2 · · · ·⃝1 b2−6b+13=r2 · · · ·⃝2

1 −⃝2 から2b−8 = 0なのでb = 4 である.これを2に代入して

整頓して,連立した

⃝の1 r2⃝を代入すると考えて2

もよい

r2=5となるので,求める円の方程式は(x−2)2+(y−4)2 =5. 2. C2の中心は,x座標とy座標が等しいからiv.(イ)

求める円の方程式は(x−a)2+(y−a)2=r2とおくことができる. 中心は直線y=x上にあるので,

中心のx座標をaとおくと,y 標もaになる

Aを通ることから (1−a)2+(3−a)2=r2 Bを通ることから (−2−a)2+(1−a)2=r2

⇐⇒

{ 2a2−8a+10=r2 · · · ·⃝3 2a2+2a+5=r2 · · · ·⃝4

3 −⃝4 から−10a+5=0なのでa= 1

2.これを4に代入してr2= 13 2 となるので,求める円の方程式は(

x− 1 2

)2

+ (

y− 1 2

)2

= 13

2 C3の 中心は右欄外のようになり,中心のy座標は2と定まるからii.(ウ),求 2

C3

x y

O める円の方程式は(x−a)2+(y−2)2=22とおくことができる.

Tを通ることから (2−a)2+(1−2)2 =22である.

これを整理して解けば,a2−4a+1=0 ⇔ a=2±√

3なので,求め る円の方程式は,{

x−(2± √ 3)}2

+(y−2)2 =4. {x(2+ 3)}2

+(y2)2=4 {x(2

3)}2

+(y2)2=4

113

【練習52:円の方程式〜その1〜】

(1) 中心が直線y=2上にあり,(3, 5), (2,−2)を通る円の方程式を求めよ.

(2) 中心が直線y=−x上にあり,(4,−1), (−3, 0)を通る円の方程式を求めよ.

(3) (−3, 5)を通り,x座標が負の側でy軸に接する半径が2の円の方程式を求めよ.

【解答】

(1) 求める円の方程式は(x−a)2+(y−2)2=r2とおくことができる.

Aを通ることから (3−a)2+(5−2)2=r2 Bを通ることから (2−a)2+(−2−2)2=r2

⇐⇒

{ a2−6a+18=r2 · · · ·⃝1 a2−4a+20=r2 · · · ·⃝2

1 −⃝2 から−2a−2=0なのでa=−1である.これを2に代入すれ ばr2 =25なので,求める円の方程式は(x+1)2+(y−2)2 =25.

(2) 求める円の方程式は(x−a)2+(y+a)2=r2とおくことができる. 中心は直線y=x上にあるので,

中心のx座標をaとおくと,y 標はaになる

Aを通ることから (4−a)2+(−1+a)2=r2 Bを通ることから (−3−a)2+(0+a)2=r2

⇐⇒

{ 2a2−10a+17=r2 · · · ·⃝3 2a2+6a+9=r2 · · · ·⃝4

4 −⃝3 から16a−8=0なのでa= 1

2 これを3に代入すればr2= 25 2 であるので,求める円の方程式は(

x− 1 2

)2 +

( y+ 1

2 )2

= 25 2

(3) 右欄外の図から,中心のx座標が−2とわかるので,求める方程式を

2 x y

O

(x+2)2+(y−b)2=22とおくことができる.これが(−3, 5)を通るので (−3+2)2+(5−b)2=22⇔ 1+25−10b+b2=4

⇔ b2−10b+22=0 ∴ r=5±√ 3 なので,求める円の方程式は(x+2)2+{

y−(5± √ 3)}2

=4

発 展 53:円の方程式〜その2〜】

1 中心が直線y=−2x+1上にあり,(4, 2), (−6,−2)を通る円の方程式を求めよ.

2 中心が直線3x−y−4=0上にあり,x軸,y軸の両方に接する円の方程式を求めよ.

【練習54:円を図形的に考える〜その2〜】

「円C: (x−a)2+(y−3)2=13A(5,5)を通る」場合について考えてみよう.

A

5

5 A

3

(I)中心は破線上のどこかにある x y

O

P

5

5 A

3

(II)Aを通る円はこのどちらか x y

O

P H

5

5 A

3

(III)三平方の定理を用いて

x y

O

まず,円Cの中心は(a, 3)なので,図(I)の破線上のどこかにCの中心はある.

Ay座標が5なのでAH= であり,Cの半径を考えてAP= なので,(III)の直角三角形 APHを考えて,PH= と分かる.

ここから,Cの中心の座標は エ ,オ のいずれかと分かる.

【解答】 ア:2,イ: √

13,ウ: PH= √

AP2−AH2=3,

エ,オ:(2, 3), (8, 3) ◀【確認47】の結果と一致している

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